3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе
{r](auh)f)(a2,k2)) = C^{2n)d+15d+l{k1 + k2)al5(a1-a2)D(a2,k2),
D{a, k) = S(a-a0)a0D( k). (3.53)
(Множитель ao при дельта-функции введен для сохранения правильной размерности D(k) при переходе к импульсному представлению путем интегрирования по всем масштабам, он отвечает дельта-функции от логарифмов масштабов.) Случайная сила (3.12), действующая на одном фиксированном масштабе является идеализацией узкополосной случайной силы применяемой при численном моде-лировании стохастических уравнений [156, 21].
Она также технически удобнее случайной силы, действующей в выделенной полосе волновых чисел [61]— J ' kmin ^ к < ктах 1 0 : в противном случае,
так как не создает сложностей при аналитическом интегрировании по импульсам в бесконечных пределах.
Приведем теперь конкретный пример вычисления однопетлевого вклада в функцию отклика для п = 2 ("мексиканской шляпы") в эффективном корреляторе силы (3.55). Вычислим эффективный коррелятор А(к) для случайной силы (3.12). Выберем в качестве базисного вейвлета "мексиканскую шляпу"
^(к) = (2тг)^2(-гк)2 ехр(-к2/2), Сф = (2ir)d, (3.54)
второй вейвлет из семейства гауссовых вейвлетов (3.26)
фп(к) = (27г)^2(—гк)п ехр(—к2/2), Сфп = (2тг)йГ(п).
Вычислим эффективный коррелятор одномасштабной случайной силы (3.53) для семейства вейвлетов (3.26):
Д»(*) = ^(аок)2"е-(а°к>2ОД. (3.55)
Г (п)
Для вычисления однопетлевого интеграла в правой части (3.49), следуя работе [40], произведем симметризацию импульсов в петле с помощью замены перемен-
76
ной интегрирования ki = q + |
<*(«+§) k.(q+|)Ob
После интегрирования по частоте qo, в низкочастотном пределе w —> 0, получим в» Г ?
«W-оо 2тг
с. 5-,
« + 5
2"V(| + q)2(Ґ + 2q2) Симметризованное выражение для однопетлевого вклада в функцию отклика (3.49), в низкочастотном пределе и —> 0, принимает вид («і)
(3.56)
G(k) = G0(k) +
f ddq (2q2 + Ґ)(k-q+f) WW (| + q)2(y + 2q2) Для интегрирования по угловым переменным в выбираем в качестве оси z, от которой отсчитывается телесный угол, направление вектора к.
Тогда для интегрирования по телесному углу dCl, связанному с вектором q, и вычисления скалярного произведения к • q, имеем (3.57)dQd = Sd-1 sind 2 OdO, kq = kq cos в. Проводя вычисления в длинноволновом пределе |к| —> 0, интегрирование по углам удобно провести вводя малый параметр х = к/q и угловую переменную у = cos 9, тогда, разложив дробь в выражении (3.56) в ряд Тейлора в точке х = О, получим
(3.58)
(4 — X2)(y + ху)
= ху + х
(4 + x*)(l+xy + f) после чего можно выполнить интегрирование по телесному углу используя соотношения
J dCld = Sd, J cosM7 77
dA(q)/dq можно пренебречь), получим выражение для однопетлевого вклада в функцию отклика І^ГЯН^-4- (з-59) Для конкретного вида базисного вейвлета п = 2, ("мексиканской шляпы"), выражения выражения (3.55) и (3.59), в размерности d > 2, приводят к однопетлевому вкладу ОД = Go(k) + X2GlD(q) ехр (-(acq)2) qd+ldq + 0(A4). 0 (3.60) В полной аналогии с вычислениями работы [40], проделанными для обычной, не имеющей параметра масштаба а, случайной силы. Для независящей от q амплитуды шума, D(q) = D0, выражение (3.60) конечно, оно не требует дальнейшей перенормировки. В пределе к —> 0, однопетлевая поправка к коэффициенту поверхностного натяжения и, следующая из (3.60), равна г A2 d-2 Sd ,2- Следует отметить, что выражения (3.60,3.61) получены из однопелевого интеграла (3.49) путем замены к\ = q + к/2, и последующего разложения по малому параметру х = к/q, [40]. Для конкретного вида корреляционной функции шума более адекватной является непосредственная численная оценка интеграла (3.49). Полностью аналогичным образом проводятся вычисления и для других потенциалов взаимодействия. Например, для квадратичного взаимодействия выражения для (3.49) и (3.52) будут отличаться от приведенных выше лишь отсутствием скалярных произведений в вершинах. Что касается вклада высших порядков теории возмущений, то при использовании вейвлетов il>(k), локализованных в ^-пространстве, и шума D(a, к) с ограниченной по а полосой, эффективная константа связи А, по которой реально производится разложение [61], может быть сделана малой за счет малой амплитуды шума. Так, для базисных вейвлетов семейства -ф{к) = (27t)d/2(-ik)n ехр(~к2/2), п > 0 и коррелятора D(a, к) = D05(a — ao), эффективной константой связи является величина-2 _ A2 D0 л — -т .Vі а0…