3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами

Имея ввиду возможность предельного перехода случайной силы к белому шуму при суммировании вкладов всех масштабных компонент и используя рассмотренную ранее масштабно-зависимую силу (3.28), выберем случайную силу в виде

<7/(аіЛЖа2, h)) = Сф{2^)ш5м{кх + - a2)D(a2, k2),

(ii(a,k)) = 0; (3.47)

множитель ai5(ai — a2) соответствует Ь1-нормировке вейвлет-преобразования.

При усреднении по гауссовой случайной силе (3.47) линейный по А член в уравнении (3.46) вклада не даст: (rj) = 0. Первый нетривиальный вклад - одно- петлевое приближение - имеет порядок О (А2). Подстановка нулевого приближения

й^(а,к) = G0(k)fj(a,k)

в правую часть уравнения (3.46) и усреднение по случайной силе (3.47) проводится точно таким же образом, как и при обычном итерационном решении, использующем преобразование Фурье, см. рис. 3.1. Техническое отличие состоит лишь в том, что на каждой диаграммной линии теперь появляется множитель ¦ф(ак), а каждое интегрирование по импульсам теперь сопровождается интегрированием по соответствующему масштабу:

[ dd+% [ dd+1kj dat

J {2ir)d+l J (2ir)d+1 a; ' { }

73

а2

Рис. 3.2: Однопетлевой вклад в функцию отклика для уравнения КПЗ

Однако коррелятор случайной силы г] теперь может зависеть от масштабов обеих входящих линий {fj(ai,ki)fj(a2,k2)) = D(ai,fci,02,^2).

Рассмотрим однопетлевой вклад в функцию отклика G, следующий из уравнения (3.46). Учитывая, что

r)(a, к) = i/j(ak)rj(k), й(а, к) = ij)(ak)u(k),

мы можем рассматривать полную функцию отклика G(k) как функцию отклика для фурье-компонент

й{к) = G(k)rj(k) = (G0{k) + А 2ед + 0(Х4))т](к).

(Это возможно лишь тогда, когда вершина взаимодействия - в нашем случае |(Vu)2 - не зависит от масштаба а.) В однопетлевом приближении получим

/

rfd+lи

Ji-JiAMkxC k - k1)|Co(A;1)|2kk1Go(A: - h) + 0( А4).

(3.49)

Величина

Д(*0 = С;1 J ^|^(ak)|2D(a,k) (3.50)

возникает вследствие конкретного выбора корреляционной функции случайной силы.

Аналогичным образом, для парной корреляционной функции C(ai, кі, аг, кг) = Рис. 3.3: Однопетлевой вклад в парную корреляционную для уравнения КПЗ

(й(аі,кі)й(а2,к2)), подставляя в качестве и его итерационное выражение

х ki(k - к1)ц(аь кх)й(а2, к - к{) ^y+i ^ ^ (3'51)

и используя в правой части нулевое приближение U = GQT], получим

Л2

C(auki,a2,k2) = G0{ki)(rj{au ki)fj(a2, k2))G0{k2) + — G0(fci)Go(fc2) x ^(aiki)^(a2k2) f dd+1k3 da3da5 ~ . ~

x ц J щг+I--^(a3k3)0(a5(k1 - ВД) X

x (кз(кі-кз)С?о(А:зЖаз, h)G0{ki - k3)fj(a5, Ь-кзЩа^) x x ^(аб(к2—k4))k4(k2—k4)Go(A;4)7)(a4,A;4)Go(fc2—^4)77(06, fcj)).

Учитывая два возможных варианта усреднения по случайной силе (две топологически эквивалентные диаграммы), после подстановки коррелятора (3.47) и ин-тегрирования по внутренним линиям, см. рис. 3.3, получим однопетлевой вклад в парный коррелятор

C(ai,ki,a2,k2) = C0(ai,ki,a2,k2) + X2C2(ai,ki,a2,k2) + 0(А4),

где

СгК^Л) = Sd+\h+k2)^ |С0(А:і)|2^(а1к1)^(-а2к1) (3.52)

Х / ^Ж^о(А;з)|2|Со(А;1-Ы|2[кз(к1-кз)]2Д(А;з)Д^1-Ы

Для не зависящего от масштаба коррелятора силы, после интегрирования (3.50), выражения (3.49,3.52) сводятся к известному результату[98].