3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой
Возможность конструирования случайных процессов путем задания корреляционных свойств их вейвлет-коэффициентов может быть использована для решения конкретных физических задач [193].
Используя в уравнении Ланжевена (3.29) вместо гауссовой случайной силы т?(і,х) случайную функцию r](t,a,x), зависящую также и от масштаба, мы получаем дополнительную степень свободы - разрешение по координате х. Наличие дополнительной степени свободы предоставляет дополнительные аналитические возможности: как было показано (3.26,3.28), многомасштабные случайные процессы с различными корреляционными свойствами вейвлет-коэффициентов, после обратного преобразования, могут приводить к случайным процессам с совпадающими (в обычном пространстве L2(Q,U,n)) свойствами. Это означает, что при имеющихся физических ограничениях на случайную силу r](t,x) в уравнении Ланжевена (3.29), мы можем экспе-риментировать со случайными вейвлет-коэффициентами r](t,a,x), подбирая их так, чтобы устранить расходимости, возникающие при пертурбативном решении (например (3.38)), или удовлетворить другим возможным физическим ограничениям.Следуя [193], рассмотрим решение стохастического уравнения КПЗ в d-мерном евклидовом пространстве (3.33)
ди . А,_ .о - = uAu + -(S7u)2 + r).
Применим к уравнению (3.33) непрерывное вейвлет-преобразование по пространственному аргументу х. При этом, для сокращения записи мы используем вейвлет-
71
преобразование в іЛнорме и будем считать базисный вейвлет изотропным:
u(t,a, b) = J^-ф -^Ju(t,x)ddx, (3.41)
«(«,*) = 7Г )u(t,a,b)-ddb. (3.42)
Ьф J аа \ а / а
Проводя вейвлет-преобразование по пространственному, но не по временному аргументу, мы получаем возможность разделить флуктуации различных про-странственных масштабов, сохранив при этом однородность по времени.
Для построения теории возмущений и отвечающей ей диаграммной техники воспользуемся частотно-масштабным разложением
u(t, х) = ± J е«~-"Щак)й(ш, а, , (3.43)
представляющим собой спектральную форму непрерывного вейвлет-преобразования (3.41,3.42). Частотно-масштабные компоненты й(а,к) определены посредством преобразования Фурье
й(а,к) = 'ф(ак)й(к), й(к) = 77- [— і/>(ак)й(а, к). (3-44)
Сф J а
Подставляя разложение (3.43) в уравнение КПЗ (3.33), получим интегральное уравнение
(-ш + ик2)й(а, к) = і)(а, к) - ^(ак)Сф2 Jф{ахкх)хр(а2{к - кх)) х
х кх(к - кі)«(аьЛі)гг(а2,к - (3l45)
Теперь мы можем строить стохастическую теорию возмущений по константе связи Л используя свойство гауссовости при усреднении по случайной силе Т]. Ите-
72 рируя уравнение (3.45) по it (аг, к — к{), получим й(а,к) = Go(k)r](a,k)
- \с0(к)1Щс;2 J ~ k0)ki(k - кО x
x й(аикі) ^Go{k - ki)fj(a2) k-ki)- ^G0{k - кі)-ф(а{к - kx)) x
x k3(k - ki - к3)й(а3, ?3)й(а4, k-kx- &3)j, (3.46)
где G0{k) = (-Ш + i/k2)-1.