3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений

Для построения итерационного решения уравнения Ланжевена, потенциал U представляют в виде суммы линейной части Ьф, нелинейного взаимодействия У[ф) и регулярной внешней силы f(x):

^ = Ьф(х) + А У[ф(х)\ + /(*) + ф). (3.30)

Случайная сила предполагается однородной по пространственной и временной координатам и имеет нулевое среднее значение:

(ф)ф)) = D(x - х'), (ф)) = 0. (3.31)

В операторной форме решение уравнения (3.30) может быть символически записано с помощью функции Грина Go:

ф = д0[ХУ[ф] + / + л], (3.32)

А ^ А

где GQ = dt - L, может быть разложена в степенной ряд по А - формальному малому параметру разложения

Ф = Фо + Хфі + А2 фі + —

Как в квантовой теории поля, так и в статистических задачах, среднее значение решения (ф) получается путем применения теоремы Вика при усреднении по гауссовой случайной силе г].

ф(х) = [ G{x, x')f(x')dx', t > t',

67 определяющая усредненный по случайной силе 77 отклик системы на регулярную силу /, также раскладывается в ряд по Л

G = G0 + AG1 + A2G2 + ....

Для определенности, рассмотрим уравнение Кардара-Паризи-Занга (КПЗ) - частный случай уравнения Ланжевена, описывающий локальный рост границы фаз в флуктуирующей среде [98,198]:

^=иАф + ^(Щ)2 + г1. (3.33)

Переменная ф(Ь, х) в уравнении КПЗ (3.33) имеет смысл высоты локального профиля растущей границы относительно среднего уровня, и - коэффициента по-верхностного натяжения границы фаз. Рост границы раздела происходит за счет осаждения случайным образом движущихся частиц на растущую границу раздела. Скорости и координаты частиц некоррелированы, поэтому приближение дельта-коррелированной как по пространственному, так и по временному аргументу случайной силы является для задачи о росте границы раздела достаточно обоснованной

ШФ')) = D05d+1(x - х'), (ф)) = 0. . (3.34)

Тем не менее, в некоторых работах, например [40], используется случайная сила, учитывающая конечный радиус корреляции; сама схема вычислений при этом существенно не меняется.

Для итерационного решения уравнения КПЗ (3.33) удобно использовать преобразование Фурье. Подставляя

(гтг)^1

в (3.32) получим формальное решение (3.35)

т = Go(k)

где

т-ІІ^ЛЬ-чЖяЖк-д)

G0(k) = 1

-гк0 + ик2'

Уравнение (3.35) решается рекурсивно, в каждом порядке теории возмущений по А, путем усреднения по парным корреляторам случайной силы

(№)№)) = DfaWb + b),

68

Рис. 3.1: Диаграммная техника для итерационного решения уравнения Кардара- Паризи-Занга

вычисляются вклады соответствующего порядка в функцию отклика и корреляционную функцию. Первые нетривиальные вклады теории возмущений для функции отклика G^fc), парной корреляционной функции случайной силы D2(A;) и потенциала взаимодействия V для уравнения КПЗ показаны на рис. 3.1. Каждой вершине на диаграмме отвечает множитель — кі — fc2)kik2 , каждой ли

нии со стрелкой - функция отклика Go(k), а каждой линии с кружком - эф-фективный парный коррелятор поля ф в нулевом порядке теории возмущений - Go (к) DQ (к) Go (- к). Аналитическое выражение для однопетлевого вклада в функцию отклика приведено ниже

ед = GS(fc) J • (k - q)\Go(q)\2Do(q)Go(k - q)(-k • q). (3.36)

Множитель 4 перед соответствующей диаграммой, возникающий вследствии четырех возможных способов усреднения по парным корреляторам случайной си-лы, сокращается с двумя вершинными факторами А/2. Интеграл (3.36), очевидно, расходится при больших значениях импульса q.

При описании систем в флуктурирующей среде обычно представляет интерес исследование их крупномасштабного и долговременного поведения. Это означает, что определенную информацию можно получить исследуя асимптотику функций отклика и корреляционных функций при малых импульсах. В стоха-стических задачах исследование длинноволновой асимптотики удобно проводить введя максимальный импульс А, называемый также импульсом обрезания, и по-следовательно интегрируя по сферическим оболочкам в импульсном пространстве, учитывая на каждом шаге лишь влияние более высокочастотных мод на менее высокочастотные.

69 Однопетлевой вклад в функцию отклика (3.36), после симметризации по петлевым импульсам q —» q + к/2, принимает вид

(?(fc) = Go(fc) + G20(fc)A2/0A^roo(q2-Ґ)(q-k + Ґ)x

X G0(l-q)\G0(l-q)\2D0(l + q).

Этот интеграл легко вычисляется в d измерениях путем перехода к сферическим координатам, k- q = kq cos в. В главном порядке по малому параметру x = k/q- рассматривается длинноволновое приближение - асимптотика функции отклика в однопетлевом приближении имеет вид [40]

G( 0, k) = Go (0, к) + Gq(0, к)^А;2 jf* %'-y2A)(g)d~28+/l(g), (3.38)

где Kd = Sd/(2n)d, Sd - площадь единичной сферы в fi(q) = Точно

таким же образом вычисляется и однопетлевой вклад в парную корреляционную функцию D(k) [40]:

D{k) = D0{k)

+ Ґ/(^r[(f+q)-(!-q)J2|^o(| + q)|2|Go(|-q)|2x (3.39) x D0(l + q)D0(l-q).

Заметим, что в однопетлевом приближении О (А2) вклад в вершинную функцию Г отсутствует.

К расходящемуся при больших q интегралу (3.38) обычно применяют какой- либо метод регуляризации. В простейшем случае динамической ренормализационной группы [111] выполняется интегрирование по тонкой сферической оболочке в импульсном пространстве e~lA < |q| < Л с последующим масштабированием координат и полей

х' = Є~1х, і! = e~zlt, ф' = е~х1ф.

Изменение масштаба координат в импульсном пространстве должно компенсировать потерянные при интегрировании по большим импульсам степени свободы.

Для дельта-коррелированной случайной силы с D(q) = DQ = const, после интегрирования по сферической оболочке e~lA < |q| < Л, система уравнений,

70 определяющая зависимость от масштаба имеет вид [98]: du 1І

2 -d

= v

z- 2 + KdX

8 d z-d-2X + Kd\2-

(3.40)

™ = D dl

dF

— = X[x + z — 2], где Л2 = \2Do/v3 - эффективная безразмерная константа связи, значение которой управляет динамикой роста границы фаз.