3.2.1 Случайные вейвлет-коэффициенты
Зная корреляционные свойства случайного процесса можно определить корреляционные свойства коэффициентов вейвлет-разложения этого процесса. Справедлива и обратная постановка задачи: можно, исходя из требований конкретной физической задачи, некоторым специальным образом задать корреляционные свойства вейвлет-коэффициентов и, осуществив обратное вейвлет-преобразование, синтезировать случайный процесс.
Для этого удобно использовать спектральное представление.
Напомним, что спектральным представлением случайной функции Ј(t,u),t Є R1, о; Є Г2 называется стохастический интеграл вида (3.12)
S(t) = J (t,\)v(d\) где ф(1, Л) - квадратично интегрируемая функция, a r)(d\) - случайная мера, удовлетворяющая условиям
Erj(dA) = 0, E|7?(dA)|2 = F(d\).
Частным случаем случаем спектрального представления (3.12) является представление стационарного случайного процесса в виде преобразования Фурье от случайной меры
(3.13) В случае многих масштабов, например (3.5), можно ввести набор случайных процессов, каждый из которых принадлежит своему собственному пространству многомасштабного разложения, индексируемому параметром а
(3.14) Специфика многомасштабного спектрального разложения стохастических процессов состоит в том, что в отличие от разложение неслучайной квадратично интегрируемой функции по заданному базисному вейвлету ф, функция фа(Ь, Л), зависящая как от свойств случайного процесса, так и от фильтрационных свойств измерительной аппаратуры, в общем случае, не известна. Это означает, что многомасштабное спектральное представление (3.14) реальных физических процессов, имеющее хорошо определенный предельный переход к детерминированному случаю, должно строиться таким образом, чтобы его можно было использовать без точного знания базисного вейвлета.
(3.15)
61
С этой целью в работе [13] было предложено строить многомасштабное спектральное разложение случайных процессов путем факторизации "чисто стохастической части" - случайной меры T]a(d\), определенной для каждого слоя многомасштабного разложения - и инвариантной меры на группе масштабных преобразований ос1 = ах:
Случайный процесс ? здесь синтезируется из случайных процессов существующих на каждом масштабном слое.
В случае дискретной сетки масштабов щ = In ai процессу (3.15) соответствовала бы сумма*(о = Е/ wu)^).
Удобно, выполнив преобразование Фурье отдельно на каждом масштабе, пред-ставить многомасштабный случайный процесс в спектральной форме
№ = 7[ е^{ХаЫйХ)-. (3.16)
Ц/, J а
Случайную меру r]a(d\) в выражениях (3.14,3.15,3.16) можно рассматривать как обобщенные вейвлет-коэффициенты, существование которых не требует никакого внемасштабного прототипа - представление группы трансляций уже содер-жится в экспоненциальном множителе в выражении (3.16). Таким образом, выражение (3.16) является обобщением обратного вейвлет-преобразования (1.22) для случайных процессов, вероятностная мера которых может произвольным образом зависеть от масштаба и не связана с каким-либо прототипом в обычном пространстве случайных процессов второго порядка.