1.3.1 Математическое описание алгоритма модели движения НКА
Прогнозирование параметров движения центра масс НКА осуществляется путем численного интегрирования системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение центра масс НКА на пассивном участке орбитального полета, в следующем виде:
t= V ; o V = + а"с + a"s + ак; t = 1 ;
где Г (х, у, z) - радиус-вектор положения центра масс НКА в ГСК;
V (Vx, Vyt Vz) - вектор скорости центра масс НКА в ГСК;
а0 - ускорение от силы притяжения сферической Земли;
ас - ускорите, вызванное отличием модели Земли от сферической;
as - ускорение, вызванное аэродинамическим торможением НКА в атмосфере Земли;
ак - сумма переносного и кориолисового ускорений.
Составляющие ускорения ао вычисляются по формулам:
Составляющие вектора ускорения ас центра масс НКА, вьпванного отличием модели Земли от сферической при учете четырех полных гармоник разложения в ряд гравитационного потенциала Земли в проекциях на оси ГСК.
Составляющие Xc,yc,Zc определяются через проекции ас на вектор положения Г (qr), на нормаль к вектору положения Г в плоскости меридиана по широте ф (qm) и на нормаль к вектору положения Г в плоскости меридиана по долготе A(q^) по формуле:ас (хс Ус zc) = i N Г х Ч fan ЧЩ- Ча). где j N |т- матрица перевода вектора ускорения q(qr, qm,qA) в ГСК имеет X _У Z г г г x*z У-z _ Jl г-г, г-г, г X X 0 и Гт
в j N |т обозначены Г, = 1/х2 + у2 - модуль проекции вектора положения центра масс НКА на плоскость экватора, Г = JX2 + у2 + z2 - длина вектора положения центра масс НКА.
Составляющие вектора ускорения q (qr, qm, q^) определяются, как суммы членов
тригонометрического ряда разложения гравитационного потенциала Земли по сферическим функциям:
1 п-2Ч г / т-0
Чт=-МгЕ|^1 ЕАпт(РПт+1-т-1дф'Рпт);
Г л-24 Г / т=0
"^р^КТЛ™-8--"--
где ф - геоцентрическая широта центра масс НКА, (определяется выражениями:
Z г
sinq> = -, соэф = - );
ц - гравитационный параметр Земли;
R3 - большая полуось общего земного эллипсоида (значения ц, 1Ъ приведены в таблице 1.1);
р - количество учитываемых гармоник в разложении гравитационного потенциала Земли в ряд по сферическим функциям;
Алш, впт - коэффициенты, определяемые, как Anm = Cnni *cos( mX) + Snm *sin(mX); Bnrn=Snm.cos(m>.) -Cnm-sin(mX).
в последнем выражении обозначены Cnm .
Snm - ненормированные коэффициенты разложения гравитационного потенциала Земли в ряд по сферическим функциям. Значения коэффициентов Cnm,Snm (п=2,...,р; ш=0,1,...,п) соответствуют "Параметрам Земли 1990 года" /28/;А - геоцентрическая долгота центра масс НКА (определяется выражениями
X Y
cosA = -, sinA = -); Г, Г,
Pnm - полиномы Лежандра и присоединенные сферические функции являются функциями от sintp и определяются по следующим рекуррентным зависимостям:
= /{n-m)n~'0s'n('J'^n-i>m -(n+m-1)-Pn_2>m ] ( при m Составляющие ускорения a3, вызванного аэродинамическим торможением НКА в атмосфере Земли, вычисляется по формулам: xs=-S6.p.V.Vx; ye=-Se-p-V.VҐ; zs =-Se-p-V-V2; где S6- баллистический коэффициент (м3/кг*с2). Баллистический коэффициент при моделировании векторов навигационных измерений (см, раздел 3.5) является переменной величиной, которая изменяется в заданном диапазоне возможных значений. в последней формуле, плотность р для статической модели атмосферы по ГОСТ 4401-81 рассчитывается с помощью полинома, аппроксимирующего ее в зависимости от высоты над поверхностью Земли в диапазоне высот от б до 1200 км: p = pi-exp[Ai(H-Hi)+Bi (H-Hi)2+Cj (H-Hj)3] (коэффициенты полинома pit Aj, Bj( Ci( Hj (i = 1 -r9 ) - коэффициенты аппроксимации модели атмосферы ГОСТ 440181); I 2 j V --\/Vx+Vy+Vz - модуль вектора скорости; Н - текущая высота полета над общим земным эллипсоидом вращения, определяемая как Н = г-Ra (l-aCTsin2 Составляющие суммы переносного и кориолисового ускорений ак рассчитываются по формулам: хк =10* x + 2w3Vy; ук y-2a)3Vx; zk = 0; где юз - угловая скорость вращения Земли (см. таблицу 1.1). Численное интегрирование системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений движения центра масс НКА осуществляется методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом. Обозначим оператор, реализующий алгоритм прогнозирование вектора qi=q(t|) ПДЦМ НКА с момента tj на момент времени tj с использованием р гармоник в разложении геопотенциалла Земли (р=4, 8, 16) и баллистическим коэффициентом Se: ^p(tj!qi, Sg):qi->qj. Оператор пересчитывает при помощи численного интегрирования вектор qj с момента времени tj на момент времени tj. На низких высотах (от 200 до 300 км ) ощутимо влияние на точность прогноза отклонений фактических значений плотности атмосферы (р) от стандартных описанных в ГОСТ 4401-81. Это свойство является отличительной чертой использования описанной модели движения для прогнозирования положения низковысотного КА. Таблица 1.1- Значение параметров Земли
Наименование параметра, единица измерения Условное обозначение Значение
Экваториальный радиус Земли, км R3 6378,136
Гравитационный параметр Земли, KMJ/C2 И 398600,44
Коэффициент сжатия Земного эллипсоида С*сж 3,3528131-10"J
Угловая скорость вращения Земли, 1/с ®З 7,292115-10'5
Коэффициенты гравитационного поля Земли ш=0,1,...,п; р от 2 до 16 Соответствует "Параметрам Земли 1990 года"
1)