2.1; Сравнительный анализ алгоритмов расчета контрольных пределов для кар контроля качества

Точки, наносимые на контрольные карты, отображают различные характеристики выборок. Так, точки на Х-карте являются выборочными-средними. Подобным образом, на R-карте и S-карте точки представляют собой соответственно выборочные размахи, стандартные отклонения или дисперсии (при условии, что каждая выборка содержит по крайней мере 2 наблюдения).

Если при- построении R-карты, S-карты или 82-карты каждая выборка содержит по одному наблюдению, то программа автоматически переходит к построению карты скользящего размаха. При построении данных карт точки графика карты для каждой выборки j (за исключением первой выборки) рассчитываются с помощью следующей формулы:

48

rj = absj(x-xj-l ),              (2Л)

где rj - величина скользящего размаха для каждой выборки j (при j gt; 1), a xj -значение измерения (наблюдения) для каждой выборки j. Скользящие средние для каждой выборки, следующей за первыми №очек - 1 выборками, при* построении карт скользящего' среднего рассчитываются следующим образом:

aj = (ігу-г\Гточек+1+ ... + mj ) / №очек, если j gt; їчРгочек - 1,              (2-2)

где aj - значение скользящего среднего для каждой выборки], следующей'за первыми №очек выборками, mj - среднее каждой выборки j, и №очек -протяженность, или число членов в уравнении скользящего среднего. Точки графика карты экспоненциально взвешенного, скользящего среднего (EWMA -карты) для каждой выборки j рассчитываются с помощью рекурсивной процедуры:

Ej = w*mj + (l-w)* mj-1,              (2-3)

где Ej - скользящее среднее для каждой выборки ), mj - среднее для каждой выборки j, aw- параметр веса (лямбда), который по умолчанию равен 0.1.

Центральные линии на контрольных картах указывают общие характеристики выборок. Так, на Х-карте центральная линия представляет собой ожидаемое значение выборочных средних, оценкой которого является общее среднее наблюдений, или взвешенное среднее выборочных средних. Таким образом, в случае равных объемов выборок п, центральная линия Х-карты представляет собой просто среднее выборочных средних. Таким же образом, для R-карты и S-карты с объемами выборок п, большими или равными двум по крайней мере для некоторых из выборок, значения центральных линий представляют собой оценки ожидаемых значений выборочных размахов или стандартных отклонений. При равенстве объемов

49

выборок п эти величины будут равны среднему выборочному размаху или средневыборочному стандартному отклонению. При равенстве объемов выборок п, центральные линии С-карты, U-карты и Np-карты будут представлять собой среднее выборочных относительных частот, а в случае Р-карт значение центральной линии будет равно среднему выборочных процентных долей. Для карт скользящего размаха, скользящего среднего и экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA-карт) с равными объемами выборок п, значения центральных линий будут равны взвешенным средним значений точек графики соответствующих карт.

При построении карты для неравных объемов выборок п и выборе установки Отдельные пределы, значение расчетной центральной-линии для j-той выборки на R-карте, S-карте и S**2-KapTe будет равно произведению множителей, зависящих от объема выборки и описываемой ниже сигмы процесса. Подобный образом, в U-карте, Np-карте и Р-карте с неравными объемами выборок, при использовании установки Отдельные пределы положение центральной линии будет зависеть от объема выборок. Однако, важно отметить, что при применении установки Отдельные пределы к данным с равным объемом выборок значение центральной линии будет соответствовать описанным выше общим характеристикам выборок.

Контрольные пределы представляют собой экстремальные значения, при выходе за которые выборочная точка контрольной карты считается "выбросом", который указывает на "разладку процесса".

50

описаны в следующем разделе - Альтернативные методы расчета контрольных пределов для неравных объемов выборок п. Приведенная формула для вычисления сигмы процесса отличается от формул, используемых при вычислении статистик на основе значений контролируемых характеристик:

HKIIj = max( ( d2( nj) * о- ( q * d3( nj) * a) ), 0 ).              (2-4)

Сигма процесса на основе выборок файла данных вычисляется  как

частное  среднего размаха (R) и d2,  вычисленного для среднего  объема

выборок п (округленного до целого числа).

При использовании метода Отдельные пределы в Х-карте и R-карте,

согласно которому дисперсия оценивается по выборочным размахам, сигма

процесса     (стандартное     отклонение     для     совокупности     измерений)

определяется как:

a=( rl / d2 + ... + rk / d2 ) / k              (2-5)

для каждой из к выборок с объемом п больше 1, где rl ... rk - размахи для

каждой из к выборок и d2 - постоянная для данного объема выборок (см.

Montgomery, 1991). Стандартная ошибка среднего, сигмаср., рассчитывается

как:

сигмаср. =а / ( ( nl + ... + nk ) / к ) !4,              (2-6)

а   стандартная   ошибка  размаха,   сигмаразм.,   находится   следующим образом:

сигмаразм. = ( d3 ( Ср. N ) )* су,              (2-7)

где d3 - постоянная для данного объема выборки, а Ср.

средний объем выборок. При использовании метода Отдельных пределов

верхний контрольный предел (ВКП) и нижний контрольный предел (НКП)

для каждой j-той выборки Х-карты рассчитываются по формулам:

НКЦ] = М - ( ( q * a) / nj 1/2),              (2-Ю

ВКП] = М + ( ( q * о) / njl/2),              (2-9)

51

где М - взвешенное среднее выборочных средних, a q - множитель, по умолчанию равный 3.

Нижний контрольный предел (НКП) и верхний контрольный предел (ВКП) R-карты для каждой j-той выборки рассчитываются по формулам:

НКЦ] = тах( ( d2( nj) * а- ( q * d3( nj) * а) ), 0 )              (2Л0)

BKXIj = d2( nj) * а + ( q * d3( nj) * а )              (2Л1)

При использовании метода Отдельные пределы в Х-карте и S-карте,

согласно которому дисперсия оценивается по выборочным размахам, сигма

процесса     (стандартное     отклонение     для     совокупности     измерений)

определяется как:

а = ( si/ с4( nl) + ... + sk/ с4( nk) / к              (2Л2)

для каждой из к выборок с объемом п, большим 1, где si ... sk - стандартные отклонения для каждой из к выборок, а с4 - постоянная для данного объема выборок. Тогда стандартная ошибка среднего, сигмаср., рассчитывается как:

сигмаср. = а / ((nl+ ... + nk) / к )1/2,              (2Л3)

а    стандартная    ошибка    стандартного    отклонения,    сигмаст.откл., находится следующим образом:

сигмаст.откл.= c5(Cp.N)* а,              (2Л4)

где с5 определяется как квадратный.корень из (1-с4**2). При использовании метода Отдельных пределов верхний контрольный предел (ВКП) и нижний контрольный предел (НКП) для каждой j-той выборки Х-карты рассчитываются по формулам:

Hb01j= М - ( ( q *ст) / njl/2),              (2Л5)

BKXIj= М + ( ( q * а) / nj 1/2),              (2Л 6)

где М - взвешенное среднее j выборочных средних, a q - множитель, по умолчанию равный 3.

Нижний контрольный предел (НКП) и верхний контрольный предел (ВКП) S-карты для каждой j-той выборки рассчитываются по формулам:

52

НКЦр max( ( с4( nj) * а - ( q * с5( nj) * а ) ), 0 ),              (2-17)

ВКЦр с4( nj) * а + ( q * с5( nj) * а).              (2Л8)

Контрольные пределы для С-карты, U-карты, Np-карты и Р-карты.

применении метода Отдельные пределы для С-карт получаются одинаковые

значения контрольных пределов для всех выборок. В данном случае ВКП и

НКП для С-карты рассчитываются по формулам:

НКП = тах( ( М - ( q * Ml/2) ), 0 ),              (2.19)

ВКП = М + ( q * Ml/2),              (2.20)

где М - взвешенное среднее выборочных средних чисел дефектов, a q -множитель, по умолчанию равный 3. Для U-карт, при расчете НКП и ВКП для каждой j-той выборки используются формулы:

HKnj=max((M-(q*(M/nj)l/2)),0),              (2-21)    *

BKnj=M + (q*(M/nj)l/2),              (2-22)

где М - взвешенное среднее выборочных средних чисел дефектов, q -множитель, по умолчанию равный 3, a nj - объем выборок. В Np-картах НКП и ВКП для каждой j-ой выборки находятся как:

HEOIj= max( (nj*p-(q*(nj*p*(l-p) )1/2)), 0 ),              (2-23)

BKnj=min((nj*p-(q*(nj*p*(l-p))l/2))5nj),              (2.24)

где р - взвешенное среднее выборочных процентов дефектов. Для Р-карт НКП и ВКП для каждой j-той выборки находятся как:

НКП = тах( ( р - ( q * ( р * ( 1 - р ) / nj)l/2) ), 0 ),              (2-25)

ВКДі = min( (p-(q*(p*(l-p)/ nj)l/2) ), 1 ).              (2-26)

Контрольные пределы для карт скользящего размаха, скользящего среднего и EWMA-карт. В картах скользящего среднего для расчета НКП и ВКП используются те же формулы, что и для установления контрольных пределов в R-картах, за исключением того, что вместо N=1 используется N=2 (поскольку   скользящие  размахи   всегда   вычисляются   от  двух   смежных

53

наблюдений). Таким образом, нижний и верхний' контрольный; предел для карт скользящего среднего находится как:.

HKIlj=M-(q*(a/minG,NTO4eK))*((l/nl+max(j-NTO4eK,0))+...+(l/nj))172,       (2!27)

BKnj=M+(q*(a/min(j,NT04eK^              (2.28)

где-Ml- взвешенное среднее выборочных средних, сигмаї - оценка, сигмы процесса- наї основе выборочных; стандартных отклонений^ а №очек -протяженность скользящего среднего.

biKTIj=M-(q*a*w*cfactorl/2),              .              (2.29)

'    •   BKnj=M+(q*a^w*cfactorl/2),              (2.30gt;

где w - весовой параметр (лямбда)* и cfactor - поправочный; фактор, рассчитываемый как; сумма данных выражений от к=0 до j -1:

(l-w)2j/nj-k.              (2-3:1) і

Альтернативные методы расчета контрольных пределов для неравных объемов выборок п. При неравенстве объемов выборок анализируемых данных, кроме метода Отдельных пределов, для расчета значений контрольных пределов карты можно воспользоваться; также двумя другими методами. Это - метод Средних п, который применяется по умолчанию в случае обнаружения выборок с неравными объемами п, а также метод Нормировки карты. Преимущество- метода Средних п состоит в том, что, как и прш применении; метода* Отдельных, пределов; для равных объемов. выборок п, данный метод приводит к получению5 контрольных карт- с постоянными; контрольными, пределами для всех выборок, даже при изменении их объемов. Это; может упростить контрольную карту, когда, например, имеется:несколько слегка отличающихся друг от друга.объемов? выборок, но приблизительные объемы выборок равны. Метод Средних п заключается в расчете среднего объема выборок, на основании- которого вычисляется сигма процесса (сюда для R-карты, S-карты или S2-KapTbi включаются все выборки, объем которых п больше 1, а для Х-карты — все

54

выборки): Затем во все приведенные выше формулы расчета контрольных пределов подставляется среднее значение объемов выборок п. Таким образом, в результате получаются контрольные карты, контрольные пределы которых одинаковы для всех выборок.

Метод Нормировки. карты заключается в стандартизации контролируемой характеристики: качества г (среднего значения^ средней: доли: и т.п.) согласно единицам сигмы. Контрольные пределы, такойgt; карты будут изображены прямыми* линиями^ но расположение выборочных точек накарте будет зависеть, не только, от значений контролируемой; характеристики, но и* от объемов соответствующих выборок 'п.. Недостаток этой процедуры заключается в том, что при ее применении значения, вертикальной оси (Y); контрольной карты выражаются в:единицах сигма, а не в первоначальных единицах измерения, контролируемой- характеристики, поэтому их нельзя считывать по выводимому на;графике значению. Так, например, выборочная? величина со значением 3: отстоит на; 3 сигма от плановой спецификации. Для: перевода данного значения в: первоначальные единицы измерения придется выполнить некоторый объем-вычислений.

Карта накопленных сумм (CuSum) вычисляется на основе приведенного ниже алгоритма. При этом вычисляются табулированные, алгоритмические пределы для CuSum карты, а не "старомодные" контрольные пределы на основе V-маски, которые широко применялись во времена, когда: эти карты строились буквально от руки.

А именно, в качестве і точки* контрольной: карты: выводится одно из значений СІ+ или Сі-, в зависимости от того, какая.из абсолютных величин-|Gi+| или |Ci|- больше, где Gbf- и СІ- вычисляются как:;

Ci+ = max[0,xi-(muOH-K)+G(i-l)+],.              (232)

Gi- = max[0,(muO+K)-xi+C(i-l)-].              (2-33)

При этом С0+ и GO- равны нулю.  Значение К обычно называется

опорной: величиной (или допуском) и соответствует параметру смещения,

55

выраженному   в   единицах   стандартного   отклонения   (т.е.,   delta=|mul-пшО|/сигма, где mul - это сдвиг, который вы желаете зафиксировать:

К = delta/2 * sigma.

(2.34)