4.4. Затухающие колебания
В уравнении (4.9) второго закона Ньютона суммой всех сил является возвращающая сила, без которой колебания невозможны. В случае, когда действует сила трения (а она действует практически всегда), следует учесть ещё эту силу.
Она, как известно, направлена в сторону, противоположную скорости, и ее величина пропорциональна скорости тела: , | (4.17) |
где 
– коэффициент сопротивления среды.
С учетом этой силы второй закон Ньютона для тела массой m, колеблющегося вдоль оси ОХ примет вид:
 . | (4.18) |
Работа сил трения приводит к убыли энергии колеблющегося тела:
 . | (4.19) |
Уравнение имеет тот недостаток, что не содержит t , хотя очевидно, что убыль энергии пропорциональна времени. Введём его:
 . | (4.20) |
Тогда, с учетом (4.17), из выражения (4.19) получим:
 . | (4.21) |
Опыт показывает, что затухание – убыль энергии колеблющегося тела – зависит от его массы. Более инертное тело, тело с большей массой труднее останавливается, энергия его убывает медленно. Введя в (4.21) массу, получим:
 . | (4.22) |
Поскольку при колебательном движении полная энергия может быть представлена как две кинетических, то
 , | (4.23) |
и после интегрирования в пределах от 0 до t и от Wo до W получим:
 . | (4.24) |
Заменив полную энергию по (4.16) через kA2/2, после сокращения и извлечения корня получим выражение для амплитуды затухающих колебаний:
 . | (4.25) |
Величину 
называют коэффициентом затухания.
 |
Уравнение (4.25) свидетельствует, что амплитуда колебаний убывает, асимптотически приближаясь к оси времени (рис.
4.5). Отношение двух амплитуд, взятых через период, носит название декремента затухания. Найдем его, записав значения амплитуд: ;  . | (4.26) |
В приведенных выше уравнениях индексом ноль помечена амплитуда на момент начала колебаний. Поделив уравнения (4.26) одно на другое, получим:
 , | (4.27) |
и, после логарифмирования:
 . | (4.28) |
В уравнении (4.27) определяется декремент затухания, а в следующем, (4.28) – его логарифм k ("каппа"). Последний носит название логарифмического декремента. Он связан с периодом через коэффициент затухания и является характеристикой затухающего колебания, оставаясь постоянным в течение всего колебательного процесса.
Подводя итог, заметим, что уравнение затухающих колебаний записывается в привычном для нас виде периодической функции смещения x от времени, но амплитуда колебаний уменьшается с течением времени по полученному выше закону (4.25):
 . | (4.29) |