§ 6.8. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ
В замкнутой системе тел положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энергию и уменьшает потенциальную. Отрицательная работа, напротив, увеличивает потенциальную энергию и уменьшает кинетическую.
Именно благодаря этому выполняется закон сохранения энергии.Снова обратимся к уже рассматривавшейся простой системе тел, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня.
Под действием силы тяжести камень падает вниз. Силу сопротивления воздуха учитывать не будем. Работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня из одной точки в другую, равна изменению (увеличению) кинетической энергии камня:
А = AEk. (6.8.1)
В то же время эта работа равна уменьшению потенциальной энергии:
А = -А Ер. (6.8.2)
Так как в выражениях (6.8.1) и (6.8.2) левые части одинаковы, то равны между собой и правые части:
AEk = -AEp. (6.8.3)
Равенство (6.8.3) означает, что увеличение кинетической энергии системы равно убыли ее потенциальной энергии (или наоборот). Отсюда вытекает, что
AEk + AEp = 0,
или
A(Ek + Ер) = 0. (6.8.4)
Изменение суммы кинетической и потенциальной энергий равно нулю.
Величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергий системы, называют механической энергией системы:
Е = Ek + Ер. (6.8.5)
Так как изменение полной энергии, согласно (6.8.4), равно нулю, то энергия остается постоянной: (6.8.6)
Е = Eh + Ер — const. Таким образом, в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется.
В этом состоит закон сохранения энергии. Энергия не создается и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную или наоборот.
Учитывая, что в рассматриваемом конкретном случае 2
т v
2 и Ер = mgh, можно закон сохранения энергии запи
сать так: т v
+ mgh = const, или 2 2 mv 1 mv2
(6.8.7)
-х- + mghx = -=- + mgh 2 Это уравнение позволяет очень просто находить скорость камня i>2 на любой высоте h2 над Землей, если известна начальная скорость vx камня на исходной высоте hv
Закон сохранения энергии (6.8.6) обобщается для любого числа тел и любых консервативных сил взаимодействия между ними. Под Ек нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел, а под Ер — полную потенциальную энергию системы.
Для системы, состоящей из двух тел массами тх и т2 и пружины (см. рис. 6.13), закон сохранения энергии имеет вид: т v.
mv
(6.8.8)
const.
+
2 k(Al) Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий. В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется.?