§ 2.9. ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Рассмотрим теперь более общий случай электрической цепи, в которой последовательно соединены проводник с активным сопротивлением R и малой индуктивностью, катушка с большой индуктивностью L и малым активным сопротивлением и конденсатор емкостью С (рис.
2.20).Чему равна амплитуда силы тока в такой цепи (колебательном контуре), если на ее концах поддерживается напряжение u{t) = Uт sin cof? Мы видели, что при включении по отдельности в цепь проводника с активным сопротивлением R, конденсатора емкостью С или катушки с ин- Рис 2 20 дуктивностью L амплитуда силы тока определяется соответственно формулами (2.6.2), (2.7.3) и (2.8.4). Амплитуды же напряжений на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе связаны с амплитудой силы тока так:
UmR = IJi> UmC = Im±, Umh = Im<*L. (2.9.1)
В цепях постоянного тока напряжение на концах цепи равно сумме напряжений на отдельных последовательно соединенных участках цепи. Однако, если измерить результирующее напряжение на контуре и напряжения на отдельных элементах цепи переменного тока, окажется, что напряжение на контуре (действующее значение) не равно сумме напряжений на отдельных элементах.
Почему это так? Дело в том, что гармонические колебания напряжения на различных участках цепи сдвинуты по фазе друг относительно друга.
Действительно, квазистационарный ток в любой момент времени одинаков во всех участках цепи. Это значит, что одинаковы амплитуды и фазы токов, протекающих по участкам с емкостным, индуктивным и активным сопротивлением. Однако только на участке с активным сопротивлением колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе. На конденсаторе колебания напряжения отстают по фазе от колебаний силы тока на тс/2 (см. § 2.7), а на катушке индуктивности колебания напряжения опережают колебания силы тока на л/2 (см. § 2.8).
Векторная диаграмма электрической цепи Для вывода закона Ома в случае электрической цепи переменного тока, изображенной на рисунке 2.20, нужно уметь складывать мгновенные колебания напряжений, сдвинутых по фазе друг относительно друга.
Проще всего выполнять сло-жение нескольких гармонических колебаний с помощью век- торных диаграмм, о которых было рассказано в § 1.11. Векторная диаграмма электрических колебаний в цепи позволит нам определить амплитуду силы тока в зависимости от амплитуды напряжения и сдвиг фаз между силой тока и напряжением.Так как сила тока одинакова во всех участках цепи, то построение векторной диаграммы удобно начать с вектора силы
тока I . Этот вектор изобразим в виде вертикальной стрелки (рис. 2.21). Напряжение на резисторе совпадает по фазе с силой тока. Поэтому вектор UmR должен совпадать по направле-
нию с вектором 1т. Его модуль равен UmR = ImR-
Колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на я/2 и соответствующий вектор
UmL должен быть повернут относительно вектора 1т на я/2. Его модуль равен UmL = Im®L. Если считать, что положитель-ному сдвигу фаз соответствует поворот вектора против часовой стрелки, то вектор UmL следует повернуть налево на я/2. (Можно было бы, конечно, поступить и наоборот.)
Вектор напряжения на конденсаторе UmC отстает по фазе от вектора 1т на я/2 и поэтому повернут на этот угол относительно вектора 1т направо. Его модуль равен UmC =
Для нахождения вектора суммарного напряжения U нужно сложить три вектора: UmR, UmL и UmC. Вначале удобнее сложить два вектора UmL и UmC (рис. 2.22). Модуль этой суммы равен Im((oL - , если a>L > ^ . Именно такой случай изо-
бражен на рисунке. После этого, сложив вектор UmL + UmC
—> —>
с вектором UmR, получим вектор Um, характеризующий колебания напряжения в сети.
По теореме Пифагора (из треугольника АОВ):
К = и%я + (UmL - UmCf = + - , или
ч2-,
(2.9.2)
Ui = li\R2 + Гсоі -
т т { (й С) Из равенства (2.9.2) можно найти амплитуду силы тока в цепи:
ит
I = , (2.9.3)
m Г^ п2
Это и есть закон Ома для электрической цепи переменного тока, изображенной на рисунке 2.20.
Благодаря сдвигу фаз между напряжениями на различных участках цепи полное сопротивление Z цепи (см.
рис. 2.20) выражается так:Z=jR2 + (coL-±j. (2.9.4)
От амплитуд силы тока и напряжения можно перейти к действующим значениям этих величин. Они связаны друг с другом точно так же, как и амплитуды в формуле (2.9.3):
и
(2.9.5)
+ И - М
Мгновенное значение силы тока меняется со временем гар-монически:
і = Im sin (соt + фс), (2.9.6)
где фс — разность фаз между силой тока и напряжением в сети. Она зависит от частоты со и параметров цепи R, L, С.
Сдвиг фаз между током и напряжением
Сдвиг фаз фс между колебаниями силы тока и напряжения
равен по модулю углу ф между векторами JJт и Iт (см. рис. 2.22). Как следует из этого рисунка,
(О L ^
tg
Согласно рисунку 2.22, сила тока отстает от напряжения по фазе при условии соL > ^ . Поэтому сдвиг фаз фс = -ф и
©-L —Ті
tg фс • (2.9.8)
В частных случаях цепей с активным, емкостным и индуктивным сопротивлениями из этой формулы получаются правильные значения сдвига фаз.