2. Задачи на собственные значения
Многие задачи математической физики приводят к так называемым задачам на собственные значения, которые, как правило, представляют собой однородные уравнения с параметром. Значения параметра, при ко-торых уравнение имеет ненулевые решения, называются собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями.
Простейшие задачи на собственные значения решались Л.
Эйлером, а широкое внимание эти задачи получили в XIX веке при формировании классической теории уравнений математической физики.2.1. Постановка и физический смысл задач на собственные значения. Рассмотрим простейший пример, который приводит к задаче на собственные значения. Пусть имеется однородная струна длины /, концы которой закреплены и на которую не действуют никакие внешние силы.
Выберем начало координат в одном из концов струны, а ось х направим по струне. Функция и(х-, t), описывающая свободные малые колебания такой струны, удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению
и однородным краевым условиям
и(0; t) = 0; «(/;/) = 0.
Каждое конкретное движение струны определяется, кроме уравнения и краевых условий, еще некоторыми начальными условиями.
Изучим простейшие возможные движения рассматриваемой струны — так называемые стоячие волны. Стоячей волной называется такое движение, при котором формы струны в различные моменты времени подобны между собой. Стоячая волна задается функцией, имеющей вид
u(x;t)=X(x)T(t),
где функция T(t), зависящая только от времени t, называется законом колебания и описывает характер движения отдельных точек струны, а функция зависящая только от координаты х, описывает форму струны в различные моменты времени, одинаковую с точностью до множителя T(t).
Для струны с закрепленными концами, прежде всего, очевидно, что функция Х(х) должна удовлетворять условиям Х(0) = 0; Х(1) — 0.
Кроме того, Х(х) и T(t) должны удовлетворять некоторым уравнениям, выте-кающим из уравнения (1). Чтобы получить эти уравнения, подставим в выражение и через X и Т; в результате придем к равенствуX(x)T"{t) = a2T(t)X"(x).
Разделив обе части этого равенства на a2X(x)T(t), получим
T"(t) _ Х"(х)
a2T(t) ~ W
Так как левая часть этого равенства зависит только от t, а правая часть от t не зависит, то эта левая часть, а значит, и правая равны одной и той же постоянной. Обозначим эту постоянную через —X:
T"(t) = =
a2T(t) Х(х)
откуда Т" + Ха2Т — 0, X" + XX — 0. Это и есть простейшие задачи на собственные значения. Легко видеть, что постоянная X может принимать только значения Х„ = п2и2//2 (п — 1,2,3,...), и у струны с закрепленными концами возможны только стоячие волны следующей формы.
Л, / \ • Ппх
Х„(х) = С Sin -У-, с = const.
Теперь найдем функции (/), соответствующие форме волны Х,,(х). Для этого подставим значение Х„ в уравнение для Т:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
„ . лап „ пап , . /Пап \ Тп (г) = Вп sin — t + Сп cos - t — А„ sin {-j-1 + всех возможных стоячих волн: . . . /пап \ . ппх ип(х; t) = Ап sin / + cp„J sin —, где n = 1,2,3,... Таким образом, п-я стоячая волна описывает такое дви-жение струны, при котором каждая ее точка совершает гармоническое колебание с одинаковой для всех точек частотой пап/I. Амплитуды этих колебаний изменяются от точки к точке и равны A„|sin(nnjc//)| (А„ произвольно). Так как свободные колебания рассматриваемой струны однозначно определяются ее начальной формой м|,=о и начальными скоростями ее точек то очевидно, что стоячая волна возникает тогда и только тогда, когда начальное отклонение и начальная скорость имеют вид ппх ди „ . ппх ^ „ = ?sin——, D,E = const. t=0 I = Dsin , =o I dt Этой стоячей волной будет . u(x;t) = ?sin —— t + Dcos——t sin ——. \лап I 1)1 Величины \n называются также собственными значениями, а функции Хп (х) — собственными функциями. Введем общее определение собственных значений и собственных функций. Пусть L — линейный оператор с областью определения D(L). Рассмотрим линейное однородное уравнение Lu = Xu, (2) где X — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех X. Может случиться, что при некоторых X оно имеет ненулевые решения из D{L). Те комплексные значения X, при которых уравнение (2) имеет ненулевые решения из D{L), называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число г (1 < г < линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению X, называется кратностью этого собственного значения; если кратность г = 1, то X называется простым собственным значением. Если кратность г собственного значения X оператора L конечна и мі,м2,...,«г — соответствующие линейно независимые собственные эле- менты, то любая их линейная комбинация мо = с і и і -I- C2U2 +... + сгиг также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и эта формула дает общее решение уравнения (2). Отсюда вытекает: если решение уравнения Lu = Xu + f существует, то его общее решение представляется формулой г и - и -I- YJ ckUk, k= 1 где и* — частное решение, а с к, к = 1,2,..., г, — произвольные постоянные. Собственные значения и собственные функции часто имеют четко выраженный физический смысл: в рассмотренном выше примере собственные значения Л„ определяют частоту гармонических колебаний струны, а собственные функции Х„ — амплитуды колебаний. 2.2. Задачи на собственные значения для дифференциальных операторов. Рассмотрим более общий случай смешанной задачи для однородных дифференциальных уравнений и однородных краевых условий. Пусть дана ограниченная область ?2 в пространстве одного, двух или трех измерений. Ци] = divpgradw — qu, где р(Р) и q(P) — функции, непрерывные внутри ?2 и на ее границе Э?2. Сверх того будем предполагать, что р(Р) > 0 внутри и на границе области ?2. Если задача одномерна, то область ?2 сводится к интервалу (а, Ь) оси х. В этом случае под операторами grad и div следует понимать а следовательно, Щ = - q(x)u ЕЕ р(х) ^ + р'(х) ^ - q(x)u. На границе Э?2 области ?2 будем рассматривать однородные краевые условия вида где Л[и] = р^—уи, или Л[и] = и. В первом случае говорят о краевых условиях третьего рода (или, если у = 0, второго рода), во втором случае — о краевых условиях первого рода. Здесь у означает непрерывную и неотрицательную функцию, заданную на Э?2, а п — направление внутренней нормали к Э?2. В одномерном случае граница области состоит из двух концов интер- pv ИИ вала а и b и под производной ^ следует понимать ^ в точке а и — ^ в точке Ь. Задание функции у сводится тогда к заданию двух неотрицательных чисел уа и уь, а задание оператора Л[и] — к операторам Л» = р(а) ^Р- -уаи(а), At [и] = -р(Ь) ^ - уьи(Ь). Иногда рассматриваются краевые условия иного типа — так называе-мые условия периодичности. Например, в одномерном случае такие условия задаются равенствами и(а) = u(b), р(а)и'(а) = p(b)u'(b). Эти краевые условия также однородны, но их существенное отличие состоит в том, что в каждое из равенств входят обе точки а и Ь. Рассмотрим следующую задачу: L[u] + Хри = 0 в ?2, Л[н] = 0 на Э?2, где р = р(Р) — неотрицательная непрерывная в области ?2 функция, кото-рая называется весовой функцией данной задачи или просто весом. Как мы видели в случае струны, решения и, удовлетворяющие краевым условиям, возможны при всех значениях X. Значения параметра X, при которых существуют не тождественно равные нулю решения уравнения (3), удовлетворяющие краевым усло-виям (4), являются собственными значениями, а соответствующие им решения и — собственными функциями оператора L. В следующем пункте приведем ряд хорошо известных свойств задачи на собственные значения (3), (4). 2.3. Свойства собственных значений и собственных функций. Рас-смотрим задачу (3), (4) и приведем ряд свойств собственных значений и собственных функций (в предположении, что они существуют). 1. Если существует собственное значение Ао, то соответствующая ему собственная функция непрерывна вместе со своими производными до второго порядка в области Q. Это свойство следует из общих теорем теории дифференциальных уравнений, если принять во внимание, что UQ является решением уравне- ния (3). Если существует собственное значение X и соответствующая ему собственная функция и о, то при любой постоянной С функция Сио также является собственной функцией, соответствующей тому же собственному значению X. Если существует собственное значение X и ему соответствуют две (или несколько) собственные функции и і и и2, то их сумма снова есть собственная функция, соответствующая тому же собственному значению. (5) Так как собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя, то целесообразно ввести соглашение о выборе этого множителя. Часто бывает удобно выбрать этот множитель так, чтобы удовлетворялось соотношение (Здесь и в дальнейшем интеграл по области ?2 произвольного числа измерений обозначается одним знаком /, а элемент длины, площади или объема этой области обозначается dji.) Функцию, удовлетворяющую условию (5), называют нормированной с весом р. В дальнейшем будем предполагать (если не оговорено про-тивное), что все рассматриваемые собственные функции нормированы с весом р. Две собственные функции и і и и2, соответствующие различным собственным значениям Ai и ортогональны между собой в области ?2 с весом р, т.е. п Так как по предположению всегда р > 0 и у > 0, то Если нормированная собственная функция ио соответствует собственному значению Ао, то K[UQ, ио] = Ао, где и если функция q/р ограничена снизу числом т, то для нормированных собственных функций имеем А = К[и, и] > т. Последнее неравенство дает простую оценку снизу собственных значений. В частности, если функция q неотрицательна, то {так как р > 0) все собственные значения неотрицательны. Если функция q ограничена снизу положительным числом, то все собственные значения положительны. 2.4. Ряды Фурье. Теоретической базой метода собственных функций является теория рядов Фурье. Пусть ?2 — ограниченная область, ар— заданная в ней весовая функция непрерывная и неотрицательная в ?2 и на ее границе и строго поло-жительная внутри ?2. Конечная или бесконечная система функций щ, и2, из, ..., и„, ..., за-данных в области ?2, называется ортонормированной системой с весом р, если: а) все функции и„ нормированы с весом р : / ри2 d\i = 1; Ja б) любые две функции и,- и Uk (і ф к) ортогональны между собой с весом р. Если вес равен единице, то обычно говорят, что система ортонорми- рована (не указывая веса). Пусть дана ортонормированная с весом р система и\,иг,... и функция /, заданная в ?2, представима в виде линейной комбинации функций этой системы: / = а,и,. Выражение at = I fukpdfi называется коэффициентом Фурье функ- Ja т ции f по системе {м*}. Ряд У К0Т0Р0Г0 коэффициентами а, служат коэффициенты Фурье функции /, называется рядом Фурье этой функции по ортонормированной системе {и,}. В различных вопросах важную роль играет следующая проблема. Дана функция / в области ?2, вообще говоря, не представимая в виде линейной комбинации конечного числа функций {и,}. Требуется при фиксированном п подобрать числа с, так, чтобы функция ^'l=ic,u, наилучшим образом приближенно представляла функцию /, и найти погрешность этого приближенного представления. Часто используется так называемая квадратичная погрешность. Квадратичной погрешностью с весом р при замене функции f другой функцией <р называется выражение 5 = \ Таким образом, приходим к задаче: подобрать коэффициенты с, в сумме с'м< так> чтобы выражение ?2 (-1 было наименьшим, и вычислить б2 для этих значений с,. Известно, что наилучшее в смысле квадратичной погрешности с весом р приближение функции / линейной комбинацией функций и, орто-нормированной системы получается, если коэффициенты линейной ком-бинации равны коэффициентам Фурье функции / по системе и,. Погрешность этого приближения определяется по формуле 52= / /W-i>?- а 1=1 Отсюда получаем весьма важное неравенство i>?<=' а Переходя теперь к пределу при п —> получим неравенство Ё*?< [fpdv, i=i ? обычно называемое неравенством Бесселя Условие 5„ —» 0 при п —» °о эквивалентно требованию, чтобы в неравенстве Бесселя имел место знак равенства Тогда приходим к равенству Парсеваля Если средняя квадратичная погрешность представления функции п-й частичной суммой ряда j щ стремится к нулю при п -> то говорят, что ряд этот сходится в среднем к функции / или что функция / разложена в ряд ХГ=і щ в смысле сходимости в среднем Таким образом, равенство Парсеваля является необходимым и достаточным условием разложимости функции / в свой ряд Фурье в смысле сходимости в среднем Следуя В А Стеклову, ортонормированную систему {и*} называют замкнутой в области ?2, если любую функцию /, для которой сходится / f2pdfi, можно сколь угодно точно (в смысле квадратичной погрешно- JCI ста) представить линейной комбинацией функций этой системы, или, другими словами, если каждая функция / может быть разложена в сходящийся в среднем ряд Фурье по функциям данной системы Из вышесказанного следует, что требование замкнутости ортонормированной системы эквивалентно требованию, чтобы для любой функции / выполнялось равенство Парсеваля Поэтому это равенство, следуя опять-таки В А Стеклову, называют условием замкнутости 2.5. Собственные функции некоторых одномерных задач. Приведем несколько важных примеров собственных значений и собственных функций одномерных задач вида L[H] + Ари = О Пример 1 Интервал (0,/) Оператор L[u] = и" Краевые условия и(0) = «(/) = 0 Вес р = 1 Уравнение и" + А.и = 0 Собственные значения имеют вид А.,, = я2п2//2 (и = 1,2, ) Соответствующие собственные функции определяются по формуле и„ = sin(ппх/1) Пример 2 Интервал (0, /) Оператор L[u] — и" Краевые условия и'(0) = и'(/) = 0 Вес р = 1 Собственные значения А.,, определяются по формуле А„ = Ь(п- 1)2я2//2 (и = 1,2, ), а собственные функции имеют ВИД И] = const, и„ — cos ((п - 1)Ях/1), п = 2,3, Пример 3 Интервал (0,1) Оператор L[u] — и" Краевые условия и(0) = и'(/) = 0 Вес р = 1 Собственные значения определяются по формуле А„ = я2(п— 1 /2)2//2, и=1,2, , а собственные функции имеют вид u„ = sm(n(n—l/2)x/l), и=1,2, Пример 4 Интервал (0, /) Оператор L[u) = и" Краевые условия и(0) = 0, и'(/) -I- Ри(/) = 0 (где (3 > 0) Вес р = 1 Собственные значения А„ определяются как решения уравнения при этом Собственные функции определяются по формуле ип — sin \/ХЦх, п — = 1,2,... Аналогично рассматривается случай м'(0) — аи(0) = 0, и(1) = 0. Пример 5. Интервал (0,/)- Оператор L[u] = и". Краевые условия н'(0) -<хн(0) = «'(/) +МО = 0, где а > 0, Р > О, <х+ Р > 0. Вес р = 1. Собственные значения A,i определяются как решения уравнения лА(а + Р) при этом 2 2 ^-(л-1)2<А„ < jn2, п= 1,2,... Собственные функции имеют вид и,, = sin(\/X^X + (pn), где ф„ = = arctgу/(Х„/а), п= 1,2,... Пример 6. Интервал (0,/). Оператор L[u] = и", краевые условия периодические: м(0) = м(/); и (0) = и'(1). Вес р = 1. Собственные значения определяются по формулам Яо = 0, Хп = {п2(п+ I)2//2, п нечетное; я2п2/12, п четное}, п = 1,2,..., а соответствующие собственные функции имеют вид мо = const, м„ = {sin (л(/? -Ь Vjx/l), п нечетное; cos (лих//), п четное}, п = 1,2,... Более сложные примеры приводят к собственным функциям специального вида — так называемым специальным функциям, которые рассмотрим в следующем разделе.