3.8. Вычисление напряженности магнитного поля тора и соленоида
Теорема полного тока очень важна потому, что наиболее полно и вместе с тем лаконично выражает основное свойство магнитного поля — его непотенциальность. Помимо этого, в целом ряде случаев она имеет прикладное значение: с помощью теоремы легко вычисляется напряженность некоторых полей.
В качестве примера рассмотрим тороидальную катушку (рис. 3.10). Если по тороиду течет ток i, то для контура в виде окружности произвольного радиуса r, проходящей внутри витков, теорема полного тока дает
, | (3.33) |
где N — число витков тороида, а iN — полный ток, пересекающий контур. Так как распределение токов относительно оси тороида симметрично, то напряжённость на одинаковых расстояниях от оси одна и та же. Поэтому H выносится за знак интеграла, а круговой интеграл от dl даёт длину окружности:
H?2pr = iN и . | (3.34) |
Рассматривая окружности радиусов R1 и R2, мы легко убедимся, что для них
. | (3.35) |
В первом случае нуль получается потому, что контур R1 не охватывает никакого тока. Во втором случае площадь, ограниченную контуром радиуса R2, пересекает суммарный ток iN, текущий в одном направлении и такой же ток, но текущий в противоположно направлении. Сумма их, очевидно, равна нулю.
Тороид отличается от прямого соленоида только тем, что ось его свёрнута в виде окружности. Поэтому выражение (3.34) будет пригодно и для вычисления напряжённости магнитного поля прямого соленоида, если 2πr заменить длиной контура l. Тогда
, | (3.36) |
где n есть число витков на единицу длины или плотность намотки, а произведение iN называется числом ампер-витков.
Полученный результат справедлив лишь в случае достаточно длинного соленоида, т.е. тогда, когда можно пренебречь искажениями поля, возникающими вблизи концов. В противном случае придется прибегнуть к закону Био —Савара, интегрирование которого связано с трудностями замены переменных и интегрированием векторных величин. Поскольку трудности носят чисто математический характер, оставим эти вопросы на практические занятия.