1. Введение
При математическом моделировании физических процессов и явлений часто возникают нелинейные задачи математической физики, среди которых хорошо известные уравнения Монжа-Ампера, Навье-Стокса, Колмогорова-Петровского и др.
Вместе с граничными и начальными усло-виями нелинейные уравнения приводят к постановкам нелинейных краевых задач. Нелинейные краевые задачи могут быть сформулированы в свою очередь как операторные уравнения в функциональных пространствах. Для решения нелинейных операторных уравнений в последние годы разработан мощный аппарат в нелинейном функциональном анализе. Од-ним из основных методов исследования нелинейных уравнений является вариационный метод, с помощью которого решение исходного уравнения сводится к задаче отыскания критических точек некоторого функционала. Важную роль играют и методы минимизирующих последовательностей, среди которых метод наискорейшего спуска, метод Ритца, метод Ньютона-Канторовича. Одним из наиболее распространенных методов исследования и численного решения нелинейных задач является метод Галеркина-Петрова, суть которого состоит в том, что исходное уравнение проектируется на конечномерное подпространство, а приближения к реше-нию ищутся в (возможно) другом подпространстве. Классический метод возмущений позволяет находить решения нелинейных задач путем разло-жения их по малому параметру. Эти методы находят широкое применение к решению нелинейных задач математической физики.Для описания физических явлений и процессов часто используют дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения, которые вместе с набором исходных данных составляют математическую модель рассматриваемого процесса. Однако математическое описание физических явлений нередко влечет некоторые упрощения Если бы при описании учитывались все факторы, то часто возникали бы математически неразрешимые задачи Поэтому математическое описание является по сути не более чем приближением к физической реальности Описание, приводящее к линейному уравнению, является в некотором роде первым приближением, преимущество которого кроется в том, что оно приводит к математическим задачам, разрешимым с помощью имеющегося на настоящий момент математического аппарата Более точное описание физических явлений привело бы к нелинейным уравнениям Таким образом, нелинейное описание является следующим приближением, позволяющим рассмотреть дополнительные факторы Проиллюстрируем это на примере Уравнение Пуассона является частным случаем уравнения
-IMl)в *
где заданная функция к = к(х, у) характеризует, например, теплопроводность материала в точке (х, у) Є ?2 С R3, а функция и = и(х, у) представляет собой распределение температуры Если теплопроводность материала постоянна, то получаем уравнение Пуассона
—к Аи = / в ?2,
к = const, Д — оператор Лапласа Однако известно, что теплопроводность материала может меняться не только с местоположением, но и с действующей на материал температурой, т е функция к может зависеть от
и, а в конечном счете и от ее производных к = к (х, у, и, ^^ Тогда распределение температуры описывается уравнением
~Тх (* Ы I' |) I) - I (* (х'л I? |) |) =/(х>у) (1)
Но это уравнение уже нелинейное Нелинейное уравнение (1) является частным случаем уравнения
~lL У' grad") ~ ^ fa*' у' grad"^) + а° = ^
где ао = ao(x,y,ugTadu) Если положить в уравнении (2)
а\(х, у, ?2) = ai{x, у, ?о> ?2) = к(х, у, ?0, ?1, ?2), а0 = 0,
то получим уравнение (1) В уравнении (2) а, = а,(х, у, і, ?2) — заданные функции, определенные для (х, у) Є ?2, ^о, ?1, ^2 Є R3, а / = f(x, у) — заданная на ?2 функция Уравнение вида (2) часто встречается на практике Вместе с граничными и начальными условиями нелинейные уравнения приводят к постановкам нелинейных краевых задач Нелинейные краевые задачи могут быть сформулированы в свою очередь как операторные уравнения в банаховых пространствах
Рассмотрим, например, задачу (2) с краевым условием м,|дп = 0 Пусть а,, і = 0,1,2, — достаточно гладкие функции Обозначим через v левую часть уравнения (2). Тогда каждой функции и Є C2(Q) ставится в соответствие функция v Є C°(Q).
Это соответствие определяет оператор А, отображающий банахово пространство С2 (?2) в банахово пространство С°(?2). В качестве области определения этого оператора можно взять D(A) = {и Є С2(?2): м|Э?2= 0}. Тогда рассматриваемая краевая задача может быть записана в виде операторного уравненияAu = f,
т. е. для данной функции / Є С°(?2) требуется найти функцию и Є D(A) такую, что Аи = /. Таким образом, нелинейная краевая задача может быть сведена к операторному уравнению вида Аи — /.
Отметим, что явные формулы, дающие решение краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, могут быть найдены только в исключительных случаях. По этим причинам тут находят широкое применение приближенные методы исследования и численного решения нелинейных задач. В последние годы математики разработали в нелинейном функциональном анализе мощный аппарат для решения таких задач [7,9,10,17,36,42,50,77,94,99,116].