1. Введение
Различные разделы вычислительной математики, ее идеи и подходы посвящены конструированию и исследованию численных методов решения задач математической физики.
Отметим одну из черт методов вычислительной математики: оии, как правило, могут дать только приближенные результаты.
Другой чертой этих методов является то, что при любых вычислениях можно производить операции только с конечным числом чисел и после вычислений получить лишь конечное число результатов. Поэтому каждая задача, которую предстоит решить численным путем, должна быть предварительно приведена к такому виду, чтобы можно было получить все результаты после конечного числа арифметических действий. При этом исходная задача приближенно заменяется решением новой задачи, в которой неизвестными являются конечное число параметров, знание которых позволяет приближенно вы-числить искомое решение. Такой процесс замены решения исходной задачи новой задачей с конечным числом неизвестных параметров называют дискретизацией поставленной задачи математической физики.Дискретизацию задачи математической физики можно осуществить многими методами, которые часто называют также соответствующими ме-тодами приближенного решения исходной задачи.
Остановимся на некоторых требованиях, которые предъявляются к методам дискретизации (приближенным методам вычислительной математики) с точки зрения вычислений. Одним из них является требование аппроксимации (например, насколько точно исходное решаемое уравнение может быть аппроксимировано конечной системой уравнений, решения которых в последующем принимаются за приближенное решение исходного урав-нения). Исследование проблемы аппроксимации в методах дискретизации тесно связано с особым разделом математики, носящим название теории приближения функций, которая имеет очень большое значение для вычис-лительной математики.
Другим среди основных требований к методу дискретизации является требование возможности найти искомые величины с выбранной степенью точности.
Особое значение для вычислений имеют поэтому такие приближенные методы и процессы, которые позволяют находить результаты со сколь угодно большой степенью точности. Такие методы называют сходящимися. Так, пусть и есть точное решение рассматриваемой задачи, и пусть с помощью выбранного метода построена последовательность приближений u\,...,uN к решению и. Теперь одной из первых проблем выбранного метода будет установление сходимости приближений к точному решению мдг —>• и при N —^ оо, и если эта сходимость осуществляется не всегда, то к выяснению тех условий, при которых она имеет место.Когда сходимость установлена, возникает более трудная задача об оценке быстроты сходимости, т.е. оценке того, насколько быстро UN стремится к решению и при N оо. Быстрота сходимости метода является одним из факторов, определяющих общие вычислительные затраты на решение задачи с необходимой точностью. Чтобы оценить быстроту сходимости UN К и, часто стремятся оценить абсолютную величину погрешности и — uN, т. е. строят величину t(N) такую, чтобы было |г< - < t(N), и называют ее оценкой погрешности. При этом, чтобы оценка отражала действительную степень близости uN к и, нужно, чтобы t(N) мало отличалась от |м —идт|. Кроме того, оценка t(N) должна быть эффективной, т. е. такой, чтобы ее можно было на самом деле найти, иначе она не может быть использована.
Вычисления предъявляют к теории приближенных методов еще одно требование — требование устойчивости вычислительного процесса. Суть возникающей здесь проблемы в следующем. Каждый приближенный метод приводит к некоторой вычислительной схеме. Часто оказывается, что для получения всех необходимых результатов надо проделать длительный шаг вычислений по этой схеме. Вычисления на каждом шаге выполняются не совсем точно, а только на определенное число значащих цифр, и по-этому на каждом шаге совершается некоторая малая погрешность. Все эти погрешности будут сказываться на последующих результатах. Принятая вычислительная схема может оказаться настолько неудачной, что малые ошибки, допущенные в самом начале расчетов, по мере продолжения вы-числений будут оказывать на результаты все более и более сильное влия-ние и могут вызвать сильные отклонения от точных значений, что говорит о неустойчивости выбранной вычислительной схемы к малым погрешностям на ее промежуточных шагах. Если же вычисления по выбранной схеме могут быть продолжены на сколь угодно большом числе шагов и можно будет получать требуемые результаты, то это позволит судить об устойчивости выбранной схемы проведения вычислений.
В последующих разделах представлено несколько классов методов дис-кретизации задач математической физики и приведен ряд результатов по теории этих методов [3,29,35,40,60,64,65,71,72,79,81].