1. Введение
Под интегральными преобразованиями понимаются функциональные преобразования вида
F(x) = j K(x,t)f(t)dt, г
где Г — конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К(х, t) — ядро преобразования Наиболее часто рассматриваются интегральные преобразования, для которых К(х, /) = K(xt) и Г — действительная ось или ее часть (а, Ь) Если < a, b < то преобразование называется конечным интегральным преобразованием Формулы, позволяющие восстановить функцию /(f) по известной F(x), называются формулами обращения интегральных преобразований Если х, t Є R", а Г — область и-мерного евклидова пространства, то рассматриваются кратные (многомерные) интегральные преобразования Методы интегральных преобразований являются эффективными методами решения и исследования дифференциальных и интегральных уравнений математической физики, заключающиеся в интегрировании урав- нения є некоторой весовой функцией, зависящей от двух аргументов, что часто приводит к упрощению исходной задачи.
Основным условием для применения интегральных преобразований является наличие теоремы обращения, позволяющей найти исходную функцию, зная ее образ. В зависимости от весовой функции и области интегрирования рассматриваются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, Мейера, Гильберта и др. С помощью этих преобразований могут быть решены многие задачи теории колебаний, теплопроводности, диффузии и замедления нейтронов, гидродинамики, теории упругости, физической кинетики.Интегральные преобразования наиболее часто применяются при решении дифференциальных и интегральных уравнений, причем их подбор зависит от вида исследуемого уравнения [21,57,89,93,96]. Основным обстоятельством при выборе интегрального преобразования является возможность преобразования дифференциального или интегрального выражения в более простое дифференциальное уравнение (или, еще лучше, в алгебраическое соотношение) для функции F(x), при этом подразумевается, что известна формула обращения. Если контур Г конечен (например, отрезок), то преобразование F(x) является конечным преобразованием /(г). Очевидно, что число интегральных преобразований может быть значительно увеличено за счет новых ядер.
Ниже будут в основном рассматриваться преобразования, в которых контур Г — вещественная ось или полуось, а также предполагается, что все возникающие интегралы конечны.