1. Введение
Многие задачи математической физики приводят к так называемым задачам на собственные значения, которые представляют собой линейные однородные уравнения с параметром. Ненулевые решения этих уравне- ний — собственные функции — играют важную роль для отыскания решений исходных задач.
В ряде случаев используются специальные функции, которые зачастую являются собственными функциями конкретных специ-фических задач на собственные значения.Одним из наиболее часто применяемых методов математической физики является метод собственных функций, который заключается в отыскании решений в виде разложений по собственным функциям операторов, тесно связанных с рассматриваемой задачей. Эти разложения являются, как правило, составленными из ортонормированных функций со специальными весами — рядами Фурье. Метод собственных функций позволяет решить широкий класс задач математической физики, среди которых — задачи теории электромагнитных явлений, задачи теплопроводности, задачи теории колебаний, в том числе акустики.
Отдельные применения метода собственных функций восходят еще к JI. Эйлеру, а общая его формулировка была впервые дана М. В. Остроградским. Строгое обоснование метода было получено В. А. Стекловым.
Метод собственных функций тесно связан с методом Фурье — методом разделения переменных, который предназначен для отыскания частных решений дифференциальных уравнений. Эти методы часто приводят к специальным функциям, которые являются решениями задач на собственные значения. Метод разделения переменных был предложен Ж. Д'Аламбером (J.D'Alembert, 1749 г.) и использовался еще в XVIII веке Л.Эйлером, Д. Бернулли и Ж. Лагранжем для решения задачи о колебании струны. С достаточной полнотой этот метод был развит в начале XIX века Ж. Фурье (J.Fourier) и применен им к задаче о распространении тепла. В полной общности метод был сформулирован М. В. Остроградским (1828 г.).
В настоящей главе излагаются основы метода разложений по собственным функциям и рассматриваются приложения метода для решения кон-кретных задач математической физики, среди которых — задачи теории электромагнитных явлений, задачи теплопроводности, задачи теории колебаний, в том числе акустики [1, 4, 13, 19, 26, 37, 49, 110].