1. Введение
Впервые понятие ньютоновского потенциала было введено в конце XVIII века П. Лапласом и Ж. Лагранжем, а затем для задач гидродинамики Л. Эйлером. Рассмотрение понятия потенциала как функции, градиент ко-торой равен векторному полю, принадлежит Гауссу.
Свойства потенциала простого слоя впервые исследовались Кулоном и С. Пуассоном, большой вклад в развитие теории потенциала был сделан Грином. В настоящее время теория потенциала — активно развиваемый метод исследования и решения задач в разных областях математической физики.Пусть дано векторное поле F = где = Fi(x>y>z) ~ ко"
ординаты вектора F, приложенного в точке (x,y,z), е, — направляющие орты ортогональной системы координат; пусть и(х, у, г) — скалярная функция (скалярное поле). Потенциалом векторного поля F называется скалярное поле u(x,y,z), градиент которого равен F: grad и = VM =
= = F Поэтому знание потенциальной функции (потенциа
ла) позволяет рассчитать действующие силы. Во многих задачах электро-магнетизма, гидродинамики и акустики, теплопроводности и диффузии возникают краевые задачи для эллиптических уравнений, простейшими и важными представителями которых являются уравнения Лапласа Дм = О и Пуассона —Дм = /.
Ключевую роль в методах теории потенциала играют фундамен-тальные решения уравнения Лапласа, равные 1/(4пг) в трехмерном и (1/(2я))1п(1/г) в двумерном случаях.
5 В И Аюшков и др
На основании этих решений строятся потенциалы, которые представляются в виде интеграла от произведения некоторой функции (плотно-сти потенциала) и фундаментального решения (или его производной), в зависимости от области интегрирования и использования фундаменталь-ного решения или его нормальной производной различают объемные по-тенциалы, потенциалы простого и двойного слоя. Если искать потенциал (решение соответствующего эллиптического уравнения) в виде интеграла от плотности, то относительно неизвестной плотности возникает инте-гральное уравнение, а поскольку решение можно искать в виде разных потенциалов, то стараются подобрать такой потенциал, чтобы возникающее интегральное уравнение было наиболее простым. Так, для получения уравнения Фредгольма 2-го рода задачу Дирихле решают с помощью по-тенциала двойного слоя, а Неймана — потенциала простого слоя. Ниже рассмотрены потенциалы для уравнений Лапласа, Гельмгольца, волнового, теплопроводности — основных уравнений математической физики, возни-кающих в различных прикладных задачах [5,13,20,47,49,83,85-87,91].