3. Вариационные методы

Сущность многих из вариационных методов состоит в формулировке рассматриваемой задачи математической физики в вариационной форме как задачи об отыскании функции, реализующей минимум (или, в общем случае, экстремум) некоторого функционала, и в последующем нахождении приближений к этой функции.

3.1.

3.1.1. Вариационные постановки задач. Многие задачи математической физики могут быть сформулированы как вариационные задачи, т. е. как задачи об отыскании функций, доставляющих экстремум некоторым функционалам. Выписывая необходимые условия экстремумов этих функционалов, получают уравнения, которые называют уравнениями Эйлера и которые можно символически записать Аи = /, где и — функция, реализующая экстремум конкретного функционала J(u), рассматриваемого на множестве D(A).

(25)

Au = f, /ЄН,

где / — заданный элемент, А — линейный, симметричный и положительно определенный оператор с областью определения D(A), плотной в Н. Тогда если (25) имеет решение и Є D(A), то, полагая J(u) = (Аи, и) — 2(и, /), нетрудно проверить, что и является также решением вариационной задачи

С другой стороны, пусть в некотором вещественном гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (-,-) и нормой || • || = (т)1^2 рассматривается задача, которую запишем как уравнение

вида

J(u)= inf 7(v), (26)

vSD{J)

где D(J) = D(A). Таким образом, задачи (25), (26) эквивалентны.

Эквивалентность задач (25), (26) открывает новые возможности исследования (25), (26), а также построения приближенных решений этих задач вариационными {прямыми) методами.

3.1.2. Понятия о прямых методах вариационного исчисления. Одним из методов доказательства существования и фактического нахождения решения той или иной вариационной задачи является сведение этого вопроса к вопросу о существовании решения некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера).

Развитие прямых методов вариационного исчисления оказалось полезным не только непосредственно для вариационных задач, но и для других областей математики, в частности, они нашли широкое применение в теории дифференциальных уравнений. Основная идея использования вариа-ционных методов в дифференциальных уравнениях состоит в следующем.

Если данное дифференциальное уравнение можно рассматривать как уравнение Эйлера для некоторого функционала и если установлено тем или иным путем, что этот функционал имеет экстремум в классе некоторого класса функций, то тем самым устанавливается, что исходное уравнение имеет решение, удовлетворяющее краевым условиям, отвечающим рассматриваемой вариационной задаче. Прямые методы вариационного исчисления дают возможность не только доказывать существование соответствующего решения, но и фактически находить его с любой степенью точности.

Существует много различных приемов, объединяемых общим названием прямые методы, однако большинство всех этих методов следуют общей идее, которая состоит в следующем.

Рассмотрим для определенности задачу о нахождении минимума не-которого функционала J(u), определенного на каком-то классе D(J) допу-стимых функций. Чтобы задача имела смысл, предполагается, что в классе D(J) существуют функции, для которых j(u) < +оо, и что іпґУ(к) = = d > - о®. В этом случае, по определению точной нижней грани, существует такая последовательность функций мі, «2, м„, ...

Таким образом, решение вариационной задачи (или задачи (25)) после сведения ее к соответствующей вариационной задаче прямым методом слагается из:

построения минимизирующей последовательности {м,,};

доказательства существования у этой последовательности предельной функции и(°);

доказательства законности предельного перехода

У(м(0)) = lim У(м„). п—»о°

Сами члены минимизирующей последовательности при этом можно рассматривать как приближенные решения соответствующей вариа-ционной задачи. Способ построения минимизирующих последовательно-стей, собственно говоря, характеризует каждый из прямых методов, употребляемых в вариационном исчислении, и соответствующий алгоритм построения приближенных решений рассматриваемых вариационных задач.

3.2. Метод Ритца.

3.2.1. Классический метод Ритца. Пусть в вещественном гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (•,•) и нормой || • || = — (v)1^2 рассматривается задача, записанная в виде операторного уравнения (25), где А — линейный, симметричный, положительно определенный оператор, т.е. А линейный, а также (Au,v) = (v,Аи), (Аи,и) > у2||"||2, у= const > 0, при любых m,v из области определения D(A) оператора А, предполагаемой плотной в Н. Наряду с (25) рассмотрим задачу

J(u)= inf 7(v), J(v) = (Аи, и) — 2(и,/). (27)

veD(A)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Для того чтобы некоторый элемент мо Є D(A) сообщал минимальное значение функционалу У(м), необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению Аи о = /. Такой элемент единственный.

Из этой теоремы следует, что задачи (25), (27) эквивалентны.

Зададим функции ф^, ф^, ..., ф^', N = 1,2,..., каждая из которых принадлежит D(A).

(N)

ций ф- , і = l,...,N. Считаем, что выполнены следующие условия:

при любом N функции ф'^, ..., ф^' линейно независимы;

последовательность подпространств {Ядг} предельно плотна в Н, т. е. для любой функции йен существуют такие элементы мдг Є N= 1,2,..., что ||м — мдгЦл = inf„g//w ||м — У||Д < е(м, N) О, N -)• где

||м||л = (Ам,м)'/2, а е(и, N) есть оценка погрешности аппроксимации функции и посредством {ф,^}.

Набор функций ф^, ..., ф^', удовлетворяющих отмеченным условиям, называют базисом в Н^, а входящие в него функции ф^' — базисными или координатными.

Метод Ритца построения минимизирующей последовательности мдг, N = 1,2,..., т. е. последовательности приближенных решений задачи (25) (соответственно задачи (27)), формулируется следующим образом. Пусть Яді — линейная оболочка системы фі,...,фдг. Поставим задачу об отыскании минимума функционала У(м) на HN, т.е. о нахождении функции им Є Нм, для которой

У(мдг) = min y(v), v Є

v

Так как v = B,(P„ то J{UN) = min^ 7(v), где

n n

1,7=1 i=I

Чтобы найти минимум функционала 7(v), вычисляем его производные по Ь, и приравниваем эти производные нулю. Приходим к системе уравнений

^ = *

которая эквивалентна системе уравнений вида

(АМ„,Ф,) = (/,Ф,), i=\,...,N, (28)

или, что то же самое, системе

Aa = f,

где А — матрица с элементами At] — (Аф7,ф,), а = (а\, ...,аы)Т, / =

= (/.,••-,/w)r, /. = (/,Ф.)-

Поскольку А — положительно определенный оператор и {ф,} — линейно независимая система, то при VN = ^'Ф" ^ = (^ь • • • > Ьц)Т ф0 = = (0,..., 0)т имеем

n n

(АЬ, Ь)Г = X X A.jb.bj = (AVn, vN) > ^IMI2 > 0,

.= U=i

те. A - положительно определенная матрица, а значит, невырожденная. Следовательно, система (28) имеет единственное решение а, определяя тем самым единственную функцию им

Для им можно получить априорную оценку. Умножив уравнения (28) на а, и просуммировав их по І, получим (AUN, UN) = (/, «дг); но (AUN,UN) > Y2|MI2, следовательно,

Таким образом, справедлива оценка ||м#|| < ||/||/у2.

Пусть мо Є D(A) есть точное решение уравнения (25) (задачи (27)).

(А(м0-v),m0-v) =7(v)-У(ио). Тогда (поскольку иц минимизирует J(v) на HN) при произвольной функции удг = Y!!=\ С'Ф' из hn

(А(мо — UN), мо — мдг) =У(м^)-У(м0) < J{vN) -У(мо) =

= {A(uo-vn),uo-vn).

Следовательно,

||ио — мл^Ца < inf ||ио — v/vIIa < е(мо.л') —> О, N (29)

vn

Таким образом, последовательность мі,М2, ..,мдг,... является минимизирующей, а функции UN, N = 1,2,..., являются приближенными решениями задачи (25) (соответственно задачи (27)), и имеет место оценка (29).

3.2.2. Метод Ритца в энергетических пространствах. Теорема 1 ус-танавливает эквивалентность задач (25) и (27), но в ней нет никаких утвер-ждений о самом существовании решения мо Є D(A) этих задач. В п. 3.2.1 рассматривалась классическая постановка задачи, когда решение уравне-ния Ам = / есть функция, принадлежащая области определения D(A) опе-ратора А и удовлетворяющая этому уравнению. Оказывается, что в такой постановке это решение может не существовать. Однако оно существует в несколько более широком (чем D(A)) пространстве. Поэтому необходимо изменить постановку вариационной задачи о минимизации У(м), чтобы можно было гарантировать существование ее решения.

Пусть при рассмотрении (25) А — симметричный положительно определенный оператор с областью определения D(A), плотной в Н. Введем в D(A) скалярное произведение и норму: [ф,\|/] = (Аф,\|/), [ф] = [ф,ф]'/2. Пополняя D(A) по введенной норме, приходим к полному гильбертову пространству НА, которое называется энергетическим пространством, порождаемым оператором А. Каждая функция из D(A) принадлежит пространству НА, однако в результате пополнения в НА могут появиться элементы, не входящие в D(A) (поэтому представление скалярного произведения [ф, \|/] при произвольных ф, \|І Є НА в виде (Аф, \|/) уже не имеет места).

Пусть и Є D(A); представим F(u) в виде

У(м) = [м,м]-2(/,м). (30)

Такая форма записи позволяет рассматривать F(u) не только на области определения оператора А, но и на всех элементах энергетического пространства Яд.

Функционал (/, м) ограничен в НА:

1(/,«)1< 11/11 -Н\< 11/11

Следовательно, по теореме Рисса о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве существует элемент и о е На, однозначно определяемый элементом / и такой, что для любого и Є НА справедливо равенство (/, и) = [м, и]. Но тогда У(м) можно представить в виде

У(м) = [и, и] - 2(/, и) = [м, м] - 2[и, м0] = [м - м0]2 - [м0]2.

Следовательно, в пространстве НА функционал F(u) достигает минимума при и = мо- Как уже отмечалось, мо единственный и принадлежит Яд. Может оказаться, что мо Є ?>(А); тогда мо будет также классическим решением рассматриваемой задачи, т. е. будет удовлетворять (25). Если же ио Є НА, НО мо & D(A), ТО назовем его обобщенным решением уравнения (25).

Итак, исходная задача сведена к задаче минимизации функционала У(м) в энергетическом пространстве На- Рассмотрим теперь метод Ритца для приближенного решения последней вариационной задачи, который в данном случае назовем методом Ритца в энергетических пространствах.

Пусть заданы линейно независимые функции {<р,} С На', обозначим через HN их линейную оболочку. Предположим, что последовательность подпространств {Яд?}, N = 1,2,..., предельно плотна в НА, Т е. для любой функции и Є НА существуют такие элементы йдг Є HN, N = 1,2,..., что

[м - м/v] = inf[M - w] < є(м, N) 0,

N -)• оо, vv€ HN, где e(u, N) — оценки погрешности аппроксимации. Теперь метод Ритца можно сформулировать следующим образом: требуется найти элемент им Є Нц, минимизирующий F(u) на подпространстве На ¦ Реализация этого алгоритма состоит в следующем-

задаются конкретные N и {<р,}, ф, Є Яд;

дении пространства НА с элементами Ач = [ф7,ф,], 1 < i, j < N. Но A,j = [ф;, ф,] = [ф,, ф7] = Aj,, так что А симметрична, а в силу неравенства

N rN -2 N 2

JJA,JblbJ=\^b^l\ 5>,ф, >°

1,7=1 '=1

1=1

при b = (bi,...,bfj)T ф 0 матрица А является также положительно определенной. Поэтому система Аа = / имеет единственное решение а, однозначно определяющее элемент UN, для которого справедливо неравенство

М < II/II/Y.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если последовательность подпространств {HN} предельно плотна в НА, то приближенные решения UN, построенные методом Ритца, сходятся при N °° к обобщенному решению задачи ио в метрике пространства НА , причем справедлива оценка

[«0 — UN] < є(ио,Л/) —» 0,

3.2.3 Естественные и главные краевые условия Принадлежность элемента и к области определения D(A) оператора А часто подразумевает, что и удовлетворяет краевым условиям, которые записываются в виде Тки = 0, k = [,...,К (здесь Тк — оператор, определяющий к-е краевое условие). В результате пополнения D(A) по норме [•] в полученном энергетическом пространстве НА могут появиться элементы, которые будут удовлетворять не всем условиям Тки = 0. Если в НА окажутся элементы, не удовлетворяющие некоторому условию TkU — 0, то это краевое условие называется естественным для оператора А. Краевое условие, которому удовлетворяют как элементы из D(A), так и элементы из НА, называется главным.

Практическая важность умения отличать эти условия состоит в том, что базисные функции {ф,} не обязательно подчинять естественным краевым условиям, так как их достаточно брать из энергетического пространства (и не обязательно из D(A)). Это обстоятельство в значительной степени облегчает выбор ф, при решении многих практически важных задач, особенно в случае многомерной области со сложной формой границы. Отметим, что в случае главных краевых условий проблема построения функций ф,, удовлетворяющих этим условиям, остается.

Укажем подход, который позволяет для конкретной задачи установить, является ли то или иное краевое условие естественным. Рассмотрим задачу о минимизации функционала J(u) и предположим, что существует функция мо, реализующая минимум J(u) в классе функций, вообще говоря, не удовлетворяющих данному условию. Используя средства вариационного исчисления, можно найти необходимые условия реализации минимума функционала J(u) функцией ио- Если окажется, что к ним относится и рассматриваемое краевое условие, то оно естественное.

Наконец, приведем простой признак (без его теоретического обоснования), позволяющий отличать естественные краевые условия от главных и применимый для ряда краевых задач. Пусть в (25) А — дифференциальный оператор порядка 2т, удовлетворяющий некоторому краевому условию вида 7*и = 0. Тогда краевое условие будет естественным, если выражение 7*и содержит производные от и порядка т и выше (при этом в 7*и могут входить производные порядков, меньших т, а также сама функция и с некоторыми весами). Если 7*и не содержит производных от и порядка т и выше, то условие 7*и = 0 является главным.

3.3. Метод наименьших квадратов. Пусть А — линейный оператор, определенный на некотором линейном множестве D(A), плотном в данном гильбертовом пространстве Н, и пусть требуется решить уравнение

Au = f, (31)

где / — данный элемент из Н. Для этого может быть использован метод наименьших квадратов, который состоит в следующем: выбираем последовательность линейно независимых координатных элементов (ф* Є Є D(A) Vk)\ приближенное решение уравнения (31) строим в виде ищ =

= где ак ~ постоянные, которые определяются из требования,

чтобы величина функционала невязки J(u„) = ||Ам/у-/||2 приняла минимальное значение.

Последовательность {ф*} предполагается А-плотной, т.е. выполнено следующее условие: каковы бы ни были и Є D(A) и число є > 0, можно найти N и постоянные C\,...,CN такие, что \\Аи — Аи*|| < є, где

UN = Lk= 1

Условие минимизации J(UN) приводит к системе линейных уравнений для неизвестных а\, а2, ..., ащ- Чтобы установить вид этой системы, достаточно продифференцировать J(UN) по ат. В результате получим систему уравнений для а і, аг, ¦¦¦, ац:

п

5>*(АфьАфт) = (/,Афт), т = 1,2,...,Л/. (32)

*=1

Отметим, что система (32) симметричная. Определитель матрицы этой системы есть определитель Грама элементов Афі, А<рг, ¦¦¦, Афдг.

Лемма. Если однородное уравнение Аи — 0 имеет только тривиальное решение, то приближенные решения по методу наименьших квадратов могут быть построены при любом N и определяются единственным образом.

Достаточные условия сходимости приближенных решений, получаемых по методу наименьших квадратов, даются следующей теоремой.

Теорема 3. Метод наименьших квадратов дает последовательность приближенных решений, сходящуюся к точному решению, если выполнены следующие условия:

последовательность координатных элементов — А плотная-,

уравнение (32) разрешимо-,

существует такая постоянная К, что ||и|| < АГ||Аи|| для любого и Є D(A).

Если условия теоремы 3 выполнены, то AUN есть приближенное решение уравнения (31). Тогда

- «|| < K\\AuN - Ам|| = К\\Аиц - /||.

Следовательно, если UN найдено по методу наименьших квадратов, то AUN / при N и последняя формула позволяет судить на самом деле о погрешности приближенного решения.

3.4. Методы Канторовича, Куранта, Трефтца

Метод Канторовича. Данный метод решения вариационных задач существенно отличается от метода Ритца. Изложим его идею применительно к задаче

Au = f(x,y) в Q, и|г = 0, (33)

где А — эллиптический оператор второго порядка, й = {(*,>>): Фі (х) < у < < Фг(х), х Є (a,b)}, Фі,Фг — гладкие по х Є [a,b] функции, Г = Эй — граница области Q. Считаем, что оператор А действует в гильбертовом пространстве Н = L2 (Q) и что он симметричный и положительно определенный. Тогда задача (33) сводится к задаче о минимуме функционала

У(и) = (Ди,«)-(«, /)-(/,«). Приближенное решение ищется в виде

n

un(x, y)=y, /*(Х)Ф*(Х, у), K= 1

где (pk(x, у) — известные функции, равные нулю на Г, кроме, может быть, прямых х = а и х = Ь. Функции одной переменной fk(x) определяют из требования, чтобы функционал J(UN) имел минимальное значение. Обыч-ными для вариационного исчисления методами получают для fk(x) систему дифференциальных уравнений; к ним добавляются краевые условия при х = а и х = Ь, вытекающие из краевых условий задачи fk(a) = fk(b) = 0, к = 1,2,...,N.

Таким образом, сущность метода J1. В. Канторовича состоит в том, чтобы свести (приближенно) интегрирование уравнения в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Куранта. Р. Курант предложил метод построения минимизирующей последовательности, которая при известных условиях сходится не только в среднем, но и равномерно вместе с последовательностями производных до некоторого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение

Аи = / (34)

и требуется найти его решение, определенное в некоторой конечной области Q /л-мерного пространства (xi, х2, ..., хт) и удовлетворяющее на границе Г этого объема некоторым однородным краевым условиям. Введем в рассмотрение гильбертово пространство L2(Q). Допустим, что оператор А положительно определенный на линейном множестве доста-точно гладких функций, удовлетворяющих краевым условиям нашей зада-чи. Тогда уравнение (34) имеет решение, удовлетворяющее (возможно, в обобщенном смысле) заданным краевым условиям; это решение реализует минимум функционала

J(u) = (Au,u)-(u,f)-(f,u).

Допустим теперь, что / имеет непрерывные производные по *г, • • •, хт) до порядка k - 1 включительно и по крайней мере квадратично- суммируемые производные порядка к. Составим функционал

Ф00=/(«)+і s

Очевидно, Ф(и) > J(u). Далее, функция и, реализующая минимум J(u), реализует также минимум Ф(м), так как эта функция делает наименьшим в Ф(и) как первое слагаемое, так и второе, которое она обращает в нуль. Отсюда следует, что решение нашей краевой задачи можно найти, отыскивая решение задачи о минимуме Ф(н). Построим для этого функционала минимизирующую последовательность {н/у}, например по методу Ритца. Тогда, очевидно,

->0, j = 1,2,

Э J(AuN-f) дхї'дх? ...дхатт

Эти соотношения позволяют сделать дополнительные заключения о сходимости минимальной последовательности.

Введение добавочных слагаемых в Ф(м) усложняет вычисления по методу Ритца; это усложнение, однако, может быть оправдано, если по смыслу задачи желательно получить равномерно сходящуюся последовательность.

3.4.3 Метод Трефтца Метод Ритца дает величину минимального функционала с избытком. Было бы желательно иметь также метод построения приближенного решения, дающего указанную величину с недостатком. Е. Трефтц предложил метод, который в некоторых случаях позволяет построить последовательность функций, дающих приближение к искомому минимуму функционала снизу. Идея метода Трефтца состоит в следующем. В то время как в методе Ритца приближенное решение ищется в классе функций, точно удовлетворяющих краевым условиям, но не дифференциальному уравнению, в методе Трефтца приближенное решение точно удовлетворяет дифференциальному уравнению, но, вообще говоря, не удовлетворяет поставленным краевым условиям. Изложим идею этого метода применительно к задаче Дирихле для уравнения Лапласа (хотя его можно применить к значительно более обширному классу задач)

Пусть требуется найти гармоническую в области Q функцию, удовлетворяющую краевому условию

«|г = /М, (35)

где f(x) — функция, которую для простоты предположим непрерывной на границе Г. Искомую функцию можно определить как функцию, минимизирующую интеграл

J(u) = У, (и, и) = J {gradu}2dQ

Q

по сравнению с любой другой функцией, удовлетворяющей условию (35). Метод Трефтца состоит в следующем.

Допустим, что дана последовательность линейно независимых гармонических в Q функций ф*, полная в следующем смысле: какова бы ни была гармоническая в Q функция ф, квадратично-суммируемая в Q вместе со своими первыми производными, можно по заданному числу є > 0 найти натуральное число N и постоянные а\, аі> • ••> aN такие, что

J (ф - ? я*Ф*) = [ ЬгасЦф - ? я*Ф*)} dQ. < є.

*=I Q *=1

Будем искать приближенное решение нашей задачи в виде

yryN

UN = 2л=1 Я*(Р*'

где N — произвольно выбранное число; коэффициенты ак найдем из условия J(u — UN) = min, где и — искомое решение задачи. Приравнивая нулю производные Э/(и- UN)/dak, придем к системе уравнений

Ji(uN-u,Выполняя интегрирование по частям, получаем

tajJ^dr^Jf^dF, k=l,2,...,N.

7-1 г р

Данная система имеет единственное решение {а,}, определяющее однозначное приближенное решение UN- Можно доказать, что (и - UN) —> 0 равномерно в любой замкнутой области, целиком лежащей внутри Q, а производные любого порядка от un равномерно сходятся к соответствующим производным от и.

Известным недостатком метода Трефтца является трудность фактиче-ского построения полной системы гармонических функций. Если область ?2 плоская односвязная с достаточно гладкой границей, то полной будет система гармонических полиномов; если Q многосвязная, то полную си-стему образуют некоторые гармонические рациональные функции. В мно-гомерных областях такую систему указать гораздо труднее.

3.5. Вариационные методы в проблеме собственных значений. Ва-риационные методы успешно применяются для приближенного решения проблемы о собственных значениях, а именно задачи

Аи = Хи. (36)

Рассмотрим некоторые используемые здесь подходы, привлекая для решения (36) метод Ритца.

Пусть А есть линейный, самосопряженный, ограниченный снизу оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н. Положим

(37)

(и, и)

Число d будет наименьшим собственным значением оператора А, если существует элемент «о такой, что

d _ [Аир, up) (U0,"0) '

Если допустить, что такой элемент существует, то определение наименьшего собственного числа оператора А сводится к определению нижней грани величин (37), или, что то же, к задаче определения нижней грани величины (Аи, и) при дополнительном условии («, и) = 1.

Покажем, что эту задачу можно решить по методу Ритца. Возьмем последовательность линейно независимых элементов {фн}, входящих в область определения оператора А, и допустим, что эта последовательность обладает следующими свойствами:

она полна в Н;

каков бы ни был элемент и из области определения оператора А, можно найти такое натуральное число N и такие постоянные а,, а2,..., aN, чтобы (А(и - uN), (и - uN)) < є, где uN = а*ф*, є — произвольное положительное число.

Положим им = і akN

(Aun,un)= ? (ЛФЬ фт)я*<2т,

k,m= 1

связанных уравнением (UN, «л/) = 1, воспользуемся методом неопределен-ных множителей Лагранжа. Составим функцию Ф = (AUN, UN) — X(UN, UN), где X — не определенный пока численный множитель, и приравняем нулю ее частные производные по а,„ и по р,„, где а,„ и р,„ означают соответ-ственно вещественную и мнимую части коэффициента ат. В результате приходим к системе уравнений ЭФ/Эат =0, т = 1,2,.. ,,N, или, в раскрытом виде, к системе N

?а*[(Аф*,фт)-А(ф*,Фт)]=0, m=l,2,...,N. (38)

к= 1

Система (38) линейная однородная относительно неизвестных ак, которые не могут одновременно обратиться в нуль, в противном случае было бы нарушено уравнение (UN, UN) = 1. Отсюда следует, что определитель системы (38) должен обратиться в нуль; это дает нам уравнение для А (Афі, фі) -А(фьФі) . -Х(фдг,фі) (Лф!, ф/0 -Х(фьфдг) . . (Афдг, фд,) -Х(флг, фдг)

Уравнение (39) имеет ровно N корней. Пусть Хо — какой-либо из этих корней. Подставив его в систему (38), делаем ее определитель равным нулю, и эта система будет иметь нетривиальные решения. Пусть к= 1,2,...,п, — такое решение. Тогда где р — произвольный чис

ленный множитель, также удовлетворяет системе (38). Подставив ра^ в уравнение («дг, «дг) = 1, найдем значение р. Заменив теперь обозначение

fia^ на aj,°\ можем в последующем под понимать то решение (38), которое удовлетворяет уравнению («дг, un) = 1. Подставив в (38) Л = Хо

и ак = ajj.°\ получаем тождество, которое можно записать в виде

N N

? д[0)(Лф*> Фт) = Ао 2 af](к=1 А=1

Умножив его на и просуммировав во всем т, а также учитывая равенство (UN,UN) = 1, получаем

Хо = (Ч0).Л (40)

N

(0) v-i (0) где иу = 2>1 'ф*. *=1

Формула (40) показывает, что:

уравнение (39) имеет только вещественные корни, если оператор А самосопряженный;

один из элементов uffl реализует минимум (AUN, UN)',

этот минимум равен наименьшему из корней уравнения (39).

С возрастанием N указанный минимум, который ниже будем обозначать через Xjyне возрастает; в то же время он не меньше величины d.

Отсюда следует, что при N °° величина Ад^ стремится к пределу, ко-торый больше или равен d. Более того, можно доказать, что этот предел

равен d\ Х™ —> d, N что и оправдывает применение метода Ритца в проблеме собственных значений.

Чтобы получить приближенное значение второго собственного числа, ищут минимум скалярного произведения (AUN, UN) при дополнительных

условиях (uN, uN) — 1 и (И$\ UN) = 0, где = есть прибли

женное значение первой нормированной собственной функции оператора А. Решение этой задачи можно осуществить вновь методом Лагранжа.

Аналогично можно строить приближенные значения следующих собственных чисел; все они суть корни уравнения (39).