3.6. Уравнение Шрёдингера
Решение любой задачи о движении частицы в классической механике сводится к расчёту траектории движения. Так, Бор, строя свою модель атома, задал электронам орбиты, а Зоммерфельд уточнил их форму.
В квантовой механике такая модель исключена принципом неопределённости. Вместо траектории мы должны теперь указывать вероятность нахождения частицы в интересующей нас области пространства. Последняя же, согласно уравнению (3.28), определяется квадратом функции y. Чтобы определить вероятность, нужно прежде как-то определить функцию y, конкретный вид которой будет зависеть от условий, в которых находится частица.Поскольку состояние частицы в квантовой механике задаётся волновой функцией координат и времени y(x, y, z, t), то основное уравнение квантовой механики должно определять значения функции y в любой точке пространства и в любой момент времени. Это основное уравнение будет волновым, так как из него получают своё объяснение эксперименты по дифракции электронов и других микрочастиц.
(Напомним, что основным уравнением классической механики является второй закон Ньютона, из которого определяют координаты и импульс частицы в любой момент времени, если заданы силы и начальные условия).
Волновым называют дифференциальное уравнение, решением которого является функция, описывающая волну.
Такое уравнение ∂2x/∂t2 = u2(∂2x/∂l2) для плоской волны было получено нами в конце 4-ой главы первой части курса лекций [15] путём двукратного дифференцирования уравнения волны x = xmcos[w(t – l/u) + j0] по времени и по координате. По аналогии можно так же получить волновое уравнение для функции y, дифференцируя (3.32).
Уравнение вероятностной волны (3.32) имеет некоторые особенности, поскольку включает не свойственные волне величины: энергию и импульс, связанные между собой определённым образом. Эту связь следует учесть, составляя дифференциальное уравнение.
Наиболее общий случай задаётся выражением для полной энергии E частицы, равной сумме её кинетической Eк и потенциальной U энергий:
| E = Eк + U . | (3.33) |
В нерелятивистском случае (u