§ 8. Твердые темі

При решении задач этого раздела используются даннь;.- таблиц 11, 12, 13 из приложения, кроме того, следует учес г, указание к § 5.

8.1. Изменение энтропии при плавлении количесть; v = 1 кмоль льда AS = 22,2кДж/К.

Решение:

Согласно уравнению Клаузиуса— Клапейрона изменение

температу ры АТ = ж—ЯІ — (1). Изменение энтро-

Яо

. п lil/L И7А

пии Д6 = —j — (2), где AQ — удельная теплота

плавления, qQ — молярная теплота плавления, т — масса. Из (2) — = подставляя это выражение в (1), ПОЛУ-

Яо

чим АТ = Ар{Уж-Vr)— = 0,009К.

AS

8.2. При давлении рх =100 кПа температу ра плавления олова /,=231,9° С, а при давлении /?2=10МПа она равна

/2 = 232.2° С. Плотность жидкого олова р = 7,0 • 103 кг/м3. Найти изменение энтропии AS при плавлении количества v~\ кмоль олова.

Решение:

Из уравнения Клаузиуса — Клапейрона находим измене-

АТ АрТ(У.м-Ул) пл п ние температуры АТ = —-—— — — (1). С другой сто-

Я о w/L it/.,

ропы, изменение энтропии A где

AQ — удельная теплота плавления, q0 — молярная теплота плавления. Из уравнений (1) и (2) имеем

= поскольку молярные

AT Т2-Т{ j v

объемы твердого и жидкого олова соответственно рав-

т/ Р т/ Р

ны У7 = — и Уж = —, то, окончательно, получим

Р г Рж

Д5 = (P2'Pi)(Pr 'P.)MV =]5 5 кДж/к< \Т2-Г\)Р1РЖ

8.3. Температура плавления железа изменяется на ДГ = 0,012К при изменении давления на Др = 98кПа. На

сколько меняется при плавлении объем количества v = 1 кмоль железа?

Решение:

Из уравнения Клаузиуса— Клапейрона находим изме-

лт АрТ{Уж-Уг) нение температуры плавления АТ=——— —, отсюда

Яо

а \Т

д{/м = V -V =— изменение молярного объема, тогда

ТАр

л т

АУ~УАУМ=— .

ТАр

плавления связаны между собой как <7о=/^о» тогда,

рЛпУАТ

окончательно, АУ =— = 1,03 л.

ТАр

8.4. Пользуясь законом Дюлонга и Пти. найти удельнмо теплоемкость с: а) меди; б) железа; в) алюминия.

Решение:

При очень низких температурах для твердых тел имеет место закон Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость всех химически простых твердых тел равна приблизительно 3R = 25 Дж/(моль-К). С другой стороны, удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением с = }ис, тогда 3R= Lie , откуда с = 3R/ ju . а) Молярная мас са меди ju - 63,55 • 10"3 кг/моль, отсюда с = 393 Дж/(моль-К). б) Молярная масса железа //= 55,84-КГ3 кг/моль, тогда с = 448 Дж/(моль-К). в) Молярная масса алюминия // = 26,98 - КГ3 кг/моль, тогда с = 927 Дж/(моль-К).

Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, из какого материала сделан металлический шарик массой т ~ 0,025 кг. если известно, что для его нагревания от г, = 10° С до t2 =30° С потребовалось затратить количество теплоты Q = 117 Дж.

Решение:

Затраченное количество теплоты можно найти по формуле О = тс(Т2 - 7j). Согласно закону Дюлонга и Пти молярная теплоемкость C*3R. Молярная и удельная теплоемкости

С 3 R

связаны соотношением С = juc , откуда с = — = — . Тогда

V /и

Q = M — fa - 7]), откуда р = —ZL)t Подставив чис-

М ~ Q

ловые данные, найдем //= 0,107 кг/моль, следовательно, шарик сделан из серебра.

Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько рт> удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости платины.

396

Удельная теплоемкость всех химически простых твердых

/ О УІЧ З.Я с, и,

тел (см. задачу 8.4) с- —,тогда ~ = — = 7,23 .

И с2 И\

8.7. Свинцовая пуля, летящая со скоростью v = 400 м/с, ударяется о стенку и входит в нее. Считая, что 10% кинетической энергии пули идет на ее нагревание, найти, на сколько градусов нагрелась пуля. Удельную теплоемкость свинца найти по закону Дюлонга и Пти.

Решение:

mv1

Кинетическая энергия пули WK = ——.

полученное пулей, Q = стАТ. Удельная теплоемкость всех

3 R

химически простых твердых тел (см. задачу 8.4) с= —,

М

„ IRmAT

тогда Q = . Согласно закону сохранения энергии

М

„ Trr 3RmAT rjmv2

Q = rjWK, тогда = - , откуда изменение темпе-

М 2

2

ратуры АТ = = 66 К. v 6R

8.8. Пластинки из меди (толщиной dx = 9 мм) и железа (толщиной d2 = 3 мм) сложены вместе. Внешняя поверхность медной пластинки поддерживается при температуре tx = 50° С, внешняя поверхность железной — при температуре t2 - 0° С. Найти температуру / поверхности их соприкосновения. Площадь пластинок велика по сравнению с толщиной. Количество теплоты, прошедшее через сложенные вместе

медную и железную пластинки, определяется формулой

t — t t — t

О = Я, - Sr = Л2 Sr, откуда температч ()а

dx d2

+ Xjt-fd, „ . _ft ^

поверхности соприкосновения t = ' ' = 34,5 C.

X{d2 +

8.9. Наружная поверхность стены имеет температуру t{ =-20° С, внутренняя — температуру t2~ 20° С. Толщина

стены d = 40 см. Найти теплопроводность Л материала стены, если через единицу ее поверхности за время г = 1ч проходит количество теплоты Q - 460,5 кДж/м2.

Решение:

Количество теплоты Q, переносимое вследствие теплопроводности за время Аг, определяется формулой Л 3АТ ЛСЛ АТ

Q = л = АоДг, где — градиент температуры в

Ах Ах

направлении, перпендикулярном площадке AS, А — теплопроводность. В нашем случае АТ = Т2 - 7J, Ах = d,

\Т Т /Дf

AS = 1м2 и Аг = г, тогда Q = — ——. Отсюда тепло-

d

проводность Л = 7—^ v = 1,28Вт/(м-К).

8.10. Какое количество теплоты О теряет за время т = і мин комната с площадью пола 5 = 20 м2 и высотой h = 3 м через четыре кирпичные стены? Температура в комнате ^=153С температура наружного воздуха t2~-20° С. Теплопроводно-:~\ъ кирпича Л = 0.84 Вт/(м-К). Толщина стен <:/ = 50см. Потерями тепла через пол и потолок пренебречь. 398 решение:

В первом приближении комнату можно считать квадратной, тогда площадь боковых стен AS = 4ah , где

а = yfs , следовательно, AS = A^fsh.

е=(7;-г2)^г = 4(7;-г2)яУ?/гг=190кДж

Один конец железного стержня поддерживается при температуре t{ = 100° С, другой упирается в лед. Длина стержня / = 14 см, площадь поперечного сечения S = 2 см2. Найти количество теплоты Ог, протекающее в единицу времени вдоль стержня. Какая масса т льда растает за время г = 40 мин? Потерями тепла через стенки пренебречь.

Решение:

Количество теплоты, протекающее в единицу времени

ВДОЛЬ стержня, QR - — = _ g ^g дж/с J к по

At і

условию потерями тепла через стенки можно пренебречь, то по закону сохранения энергии QtT -qm, откуда

т = QIL - бо г. ч

Площадь поперечного сечения медного стержня S = 10 см2, длина стержня / = 50 см. Разность температур на концах стержня ДГ = 15 К. Какое количество теплоты QT проходит в единицу времени через стержень? Потерями тепла пренебречь.

Решение:

Количество тепла, проходящее за единицу времени через

А.ТAS

стержень (см. задачу 8.11), QT - —-— = 11,7 Дж/с. 8.13. На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром D = 15 см, наполненная водой. Вода кипит, и при этом за время г = 1мин образуется масса т- 300 г водяного пара. Найти температуру t внешней поверхности дна кастрюли, если толщина его d = 2 мм. Потерями тепла пренебречь.

Решение:

Количество тепла, которое поучает кастрюля за время г, ^ {T~Tk)?ST _

Q - Л. Т к п0 условию потерями тепла можно

d

пренебречь, то Q - гт, тогда по закону сохранения энер- {( -t )/lS г

гии — = гт. Отсюда, с учетом того, что площадь

d

„ kD2

дна кастрюли S = , температура внешней поверхности

4

4 drm

дна кастрюли t = — + tK = 106 С.

XTTD~T

8.14. Металлический цилиндрический сосуд радиусом R = 9 см наполнен льдом при температуре = 0° С. Сосуд

теплоизолирован слоем пробки толщиной d = 1 см. Через какое время г весь лед, находящийся в сосуде, растает, если темпе-ратура наружного воздуха t2 =25° С? Считать, что обмен тепла происходит только через боковую поверхность сосуда средним радиусом R^ = 9,5 см.

Решение:

Объем сосуда V = nRrh, где h — высота сосуда, тогда масса льда в сосуде m-pV = p7uR2h.

400

~ (л,-Г,)Л2яЯ0/?г „ боковую поверхность за время г : Q = ——- -—. По

d

гр 2(/,-г,)ЯЛоГ закону сохранения энергии qpR —^—откуда

d

qpR2d

х - . —г = 28,6 часов.

2(/2

8.15. Какую силу F надо приложить к концам' спального стержня с площадью поперечного сечения S = 10 см2, чтобы не дать ему расшириться при нагревании от (0 = 0° С до / = 30° С?

Решение:

Чтобы стержень не удлинялся при нагревании, его нужно

А1Е S1

сжимать с силой F = О), где Е — модуль Юнга,

>о

Л/ = /-/0 = /0я/ — (2) — изменение длины стержня при нагревании. Подставляя (2) в (1), найдем F = ESat - 71 кН.

8.16. К стальной проволоке радиусом г = 1 мм подвешен груз. Под действием этого груза проволока получила такое же удли-нение. как при нагревании на А/ = 20° С. Найти массу /;? груза.

Решение:

При повышении температуры длина твердых тел возрастает, в первом приближении, линейно с температурой: / =/0 (і + я f), где / и /0 —длина стержня

соответственно при температуре t и /0. Тогда относитель-ное удлинение ^ ; 0ТКУДа Al-laAt—(1).

где а — температурный коэффициент линейного расши-

^ о г А/ р nig

рения. С другой стороны, по закону Гука —= "ТГг '

/ Е Sh

где S = лИ~ — площадь поверхностного сечения прово

14- 3268 401 локи, Е — модуль Юпга, тогда А! = (2). Прирав-

ttr'e

нивая левые части уравнений (1) и (2), получим

* , mg m-2EaAt ..

aAt = —5—, откуда масса стержня т = = 15 кг.

лг~Е Q

8.17. Медная проволока натянута горячей при температуре /,=150° С между двумя прочными неподвижными стенками.

При какой температуре t2, остывая, разорвется проволока? Считать, что закон Гука справедлив вплоть до разрыва проволоки.

Решение:

Длина проволоки при температуре /j и t2 соответственно равна /, = /0(l + at{) и l2 = lQ(\ +at2).

Проволока разорвется, если — > — (2), где Е —

/0 Е

модуль Юпга, ртих — предел прочности меди. В предель-ном случае из (1) и (2) имеем a{tx ~/2)= Р"'ах , откуда

Е

РШах __ OQ0 С

8.18. При нагревании некоторого металла от /0=0°С до

Г = 500° С его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для этого металла коэффициент линейного расширения о, считая его постоянным в данном интервале температур.

Решение:

Плотность металла при температуре t равна p-m/Y -

тогда его плотность при температуре t0 равна р0 =т/1\

Относительное изменение объема металла при нагревании 402

т т

W = = или AV = А, _

П Уо UL Р К Р

Ро

„ AV ,

С другой стороны, = ЬАТ, где Ь — температурный

Уо

коэффициент объемного расширения. Т. к. металл изотропный, то температурный коэффициент линейного b А V

расширения а = —, тогда = 3a(t-t0) — (2). Прирав-

3 Vq

нивая в выражениях (1) и (2) правые части, имеем

—-1 = 3a{t-t0)9 откуда температурный коэффициент ли- Р

нейного расширения а = Р } = 1,8-1 (Г5 К-1.

3(r-/0)

Какую длину /0 должны иметь при температуре t0 = 0° С стальной и медный стержни, чтобы при любой темпе-ратуре стальной стержень был длиннее медного на А/ = 5 см?

Решение:

Для любой температуры длина стального стержня равна

=/01(і+Я,/) = /оі + l0lal* (О» медного стержня —

к - kl 0 + а21) - kl (2)- По условию /, — /2 = А/,

/0, -/02 = АІ — (3). Решая совместно (1) — (3), получим a\h\ ~ aiki — (4)- Из уравнений (3) и (4) найдем длины обоих стержней при 10 = 0° С: /02 = = 11 см,

а2~а}

/01 =/02 + А/ = 16 см.

На нагревание медной болванки массой m -1 кг, нахо-дящейся при температуре tQ = 0° С, затрачено количество тепло-

403 ты О - 138,2 кДж. Во сколько раз при этом увеличился ее объем? Удельную теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти.

Решение:

Относительное изменение объема металла при нагревании от температуры t0 до температуры t (см. задачу 8.18)

AV / ч V ( ч = 3a{t-tQ), откуда — = 3a{t-t0}+1 —(1). Количество

К к

тепла, израсходованное на нагревание болванки Q = cm(t -to), где с — удельная теплоемкость меди,

которая по закону Дюлонга и Пти равна с = —, где р —

М

молярная масса меди. Тогда Q==——{t-t0)} откуда раз-

ОМ т-Г

ность температур t-tQ- . После подстановки послед-

3 Rm

него выражения в уравнение (1) окончательно имеем V aQju

+ 1 =1,02

V0 Rm

8.21. При растяжении медной проволоки, поперечное сечение которой S = 1,5 мм2, начало остаточной деформации наблюдалось при нагрузке F = 44,1 Н. Каков предел упругости р материала проволоки?

Решение:

Пределом упругости называется минимальное давление, при котором тело, после снятия нагрузки, уже не способно вернуться из деформированного состояния в первоначальное. По определению давления найдем

рп = — = 29,4 МПа.

8.22. Каким должен быть предельный диаметр d стального троса, чтобы он выдержал нагрузку F - 9,8 кН? Чтобы трос выдержал данную нагрузку, необходимо

F ^ п г» nd1 выполнение условия: —^Ртах, где S = — площадь

S 4

поперечного сечения троса, ртох = 785 МПа — предел

4 F

прочности стали. В предельном случае —г- = Ртах, откуда

яг/

S 4F j F л а = или а = =4 мм.

ЛРпшх V Фтах

8.23. Найти длину / медной проволоки, которая, будучи под-вешена вертикально, начинает рваться под действием собственной силы тяжести.

Решение:

Чтобы проволока начала рваться, необходимо выполнение

//72"

условия: —— > ртах, где т = pV = pSl — масса проволоки, S

ртах = 245 МПа — предел прочности меди. В предельном

случае pgl = ртах, откуда / = = 2,9 км.

Pg

8.24. Решить предыдущую задачу для свинцовой проволоки. Решение:

Чтобы проволока начала рваться, необходимо выполнение

f)Jg тг о;

условия: —— > ртах, где т = pV = pSl — масса проволоки, S

Ртах = 20 МПа — предел прочности свинца. В предельном

случае pgl = рпшх. откуда / = —— = 180 м.

Pg

8.25. Для измерения глубины моря с парохода спустили гирю на стальном тросе. Какую наибольшую глубину / можно изме-

405 рить таким способом? Плотность морской воды р - Ы03 кг/м3. Массой гири по сравнению с массой троса пренебречь.

Решение.

На трос действует сила тяжести, направленная вниз, и сила Архимеда, направленная вверх, поэтому (см. задачу 8.22) 111 F

mgs ^ — Ртах • Масса троса ш = ржУ = p.JS , а сила

Архимеда равна весу воды, вытесненной тросом, т.е. Fa = prgV = pTglS. Тогда в предельном случае имеем

(Рж -Pr)gl = Ртах > откуда / = Ртах = 1 1,9 КМ.

(Лк-РтЖ

8.26. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной / = 40м и диаметром с/ = 2мм. Какую нагрузку F может выдержать эта проволока? На сколько удлинится эта проволока, если на ней повиснет человек массой т = 70 кг? Будет ли наблюдаться остаточная деформация, когда человек отпустит проволоку? Предел упругости стали р = 294 МПа.

Решение:

Чтобы проволока выдержала нагрузку, т.е. не разорвалась,

_ mag + F

необходимо выполнение условия: —— < рпшх, где

S

;?70 = pV = plS — масса проволоки, ртах = 785 МПа — предел прочности стали. Площадь поперечного сечения про- лхі~

волоки S= , тогда в предельном случае имеем

4

plKcf'g + 4F

? = Ртах» откуда максимальная нагрузка, кото-

7гсї"

рую выдерживает проволока: F = —_ 2 45 КЦ

4

Если на проволоке повиснет человек, то по закону Гука 406 — = —, где Е = 216 ГПа — модуль Юнга стали, / Е

(та + m)g (plnd + 4m)g ^, ж

р = = _—= 221 МПа — суммарное дав-

S 7а1~

ление человека и собственного веса проволоки. Тогда

удлинение проволоки Д/ = — = 4 см. Поскольку р<рн>

Е

где рн=294МПа — предел прочности стали, то оста-точная деформация наблюдаться не будет. 8.27. К стальной проволоке радиусом г = 1 мм подвешен груз массой ш — 100 кг. На какой наибольший угол а можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохож-дении этим грузом положения равновесия?

Решение:

На проволоку действует сила тяжести mg и

сила упругости F. По второму закону Ньютона в момент прохождения положения равновесия F - mg = тап, где а„ —

нормальное ускорение. В стартовом положении, при отклонении на угол а, нормальное ускорение а„ = 0, тогда

mg

F cos а - mg = 0, откуда F = . Прово-

cosa F

л ока разорвется, если —>ртах, где S = 7tr" — площадь

S

поперечного сечения проволоки, рнюх — предел прочности стали. Следовательно, в предельном случае имеем

следовательно,

откуда cos а =

mg „ mg

2 Ртах >

7W cos а (

mg

= 75,5°.

Ртах J

наибольший угол а - arccos 8.28. К железной проволоке длиной / = 50 см и диаметром сі = 1мм привязана гиря массой /?/ = 1 кг. С какой частотой п можно равномерно вращать в вертикальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась?

Решение:

F

Проволока будет максимально удлиняться в край- ^ нем нижнем положении, т.е. сила тяжести в любой точке всегда направлена вертикально вниз. Следо-вательно, для крайнего нижнего положения по второму закону Ньютона имеем F -mg = man — (1), 2

где ап = — — нормальное ускорение. Линейная

скорость вращения гири v = = 11 mi, где Т и п

соответственно период и частота вращения гири, тогда нормальное ускорение ап - 4Ія"іг — (2). Из уравнений (1) и (2) сила упругости проволоки F = m(g + 41я2н2). Чтобы

проволока не разорвалась, необходимо, чтобы ~ < ртах,

4т[g + 4я2п2і) _

или, в предельном случае, ^ = L = ртах, откуда

7td

I РтахЛЛ1 ~ лиг

частота вращения гири п = J-^-2^ 2- = 3,4 Гц.

V 16я~1т

8.29. Однородный медный стержень длиной / = 1м равно-мерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется?

Решение:

і

На стержень действует центрооежная сила F = ^rco2dm,

о где со — угловая скорость вращения, г — расстояние от 408 элемента массы dm, до оси вращения. Для однородного стержня dm = pSdr, где р — плотность материала

/

стержня и S — его сечение. Тогда F = со1 pS^rdr или,

и

„ pSco2!2

после интегрирования, F - . Поскольку со = 2яп ,

1 F

то предельная частота вращения п = — / =38 об/с.

7uJ\2pS

8.30. Однородный стержень равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Стержень разрывается, когда скорость конца стержня достигает v = 380 м/с. Найти предел прочности р материала стержня.

Плотность материала стержня р = 7,9 ¦ 10' кг/ЧЛ Решение:

Центробежная сила, действующая на стержень, в данном

i_ 2

случае F = j г со2 dm, где со —угловая скорость вращения, о

г — расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Для однородного стержня dm = pSdr , где р — плотность материала стержня и S — его сечение. Произведя

интегрирование, получим F = ^ . Угловая и

8

линейная скорости вращения связаны соотношением

/ „ pSv2 г

v = co—, тогда г=—-—. Стержень разорвется, если

F

— > ртах, тогда предел прочности материала стержня S

Ртах = = 570 МПа.

8.31. К стальной проволоке длиной / = 1м и радиусом г =1 мм подвесили груз массой т = 100 кг. Найти работу А растяжения проволоки.

Решение:

Согласно закону Гука относительное удлинение

Л/ 1 F п ^Е К1 /1Ч „

— = <ФН —, откуда F = — А1 — (1). Для сил упру-

/ .С о /

гости имеем F = &Д/. Тогда коэффициент упругости

і, SE г. ~ - , / (д/)2 Ж(А/)2

Л* =—. Отсюда работа A = k-—— =—*—— — (2).

/ 2 2 / v Поскольку растягивающая сила F = mg, то из (1)

= » гДе S =лг2. Тогда из (2) А = Ш ^ ^ . Подставляя Ж 2я?-2?

числовые данные, получим А = 0,706 Дж.

8.32. Из резинового шнура длиной / = 42 см и радиусом г = 3 мм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки, растянул резиновый шнур на Д/ = 20 см. Найти модуль Юнга для этой резины, если известно, что кахмень массой т = 0,02 кг, пущенный из рогатки, полетел со скоростью v = 20 м/с. Изменением сечения шнура при растяжении пренебречь.

Решение:

По закону сохранения энергии потенциальная энергия упругого взаимодействия переходит в кинетическую энергию камня, т.е. Wn = WK. Потенциальная энергия

гг/ МА/)2

упругого взаимодеиствия Jrn = ^ , а кинетическая

гг/ ШУ2 Р{ы)2 mv2 энергия камня WK = , тогда ——— = . Отсюда

2 2 2 коэффициент жесткости резины р = 1Ш , , тогда по закои\

(д /)- mv~

Гука сила упругости резины F = J3AI = . Предел упру-

Д/

F mv2 /1Ч _

гости рн =— = —^ (I). С другой стороны, из закона

S яг"Д/

л- ^ Рн еа І I ука — = —, предел упругости резины р = (2).

IE I

Приравняем правые части уравнений (I) и (2), тогда

mv2 ЕАІ

—5— = ——, откуда модуль Юнга резины равен

7П'~ АІ I

2т

Е= - 2,91 МПа.

7ТГ~\А1у

8.33. Имеется резиновый шланг длиной / = 50 см и внутренним диаметром d{ = 1 см. Шланг натянули так, что его длина стала на Д/ = 10 см больше. Найти внутренний диаметр d2 натянутого шланга, если коэффициент Пуассона для резины а = 0,5 .

Решение:

При растяжении внутренний диаметр шланга уменьшится

на Ad = Д/, —. Согласно закону Гука — = арн = а —, S IS

FAl 1 Д/ ad,Al ^

откуда — - —. Тогда Ad - pd{ —!—. Поскольку

S al all

d-f-dx-Ad, следовательно, d-, = dx

8.34. На рис. АВ — железная проволока, CD — медная проволока такой же длины и с таким же поперечным сечением, BD— стержень длиной / = 80 см. На стержень подвесили груз массой m - 2 кг. На каком расстоянии х от точки В надо его подвесить, чтобы стержень остался горизонтальным?? Решение: А

F.

В

т 1

Чтобы стержень остался горист зонтальным, необходимо, чтобы моменты сил упругости .F, и Г2 Fz относительно точки подвеса ?) груза были равны по величине, т.е. /yc = F2(/-A-) — (1). Из

mg

г- А/ рн „ закона Гука — = —. При IE

равных длинах и деформациях

где Е, и

Рп і _ P i

железной и медной проволоки имеем

Е j Ef

Е2 — модули Юнга соответственно железа и меди. Т. к. площади поперечных сечений железной и медной Ь F,

Р \ _

— (1). Из

или

F\ Е

Е,

проволоки равны, то 1-х Е

уравнений (1) и (2) имеем = —, откуда расстояние

д* Е-, = 0,3 м.

х =

Е21 + ?\ 8.35. Найти момент пары сил Л/ , необходимый для закручивания проволоки длиной / = 10 см и радиусом г = 0,1 мм на угол

(р - 10'. Модуль сдвига материала проволоки N = 4,9-1010 Па. Решение:

Для закручивания проволоки на некоторый угол <р необ-ходимо приложить момент пары сил, называемый закручи-

,, nNrA

вающим моментом М = ср, где / — длина проволоки, г — радиус ее сечения, ср — угол поворота, измеря- 412

емый в радианах. Для перевода угла (р в радианную меру

Г-60',

то j = 0,167° ; если У-10',

решим две пропорции: если [180°-;г

10 167° ^ Радианах^ то Л'= 0,003 рад. Произведя вычисления, получим М = 2,26-10"7Н-м.

8.36. Зеркальце гальванометра подвешено на проволоке длиной / = 10см и диаметром d = 0,01мм. Найти закручивающий момент М , соответствующий отклонению зайчика на величину а = 1 мм по шкале, удаленной на расстояние L -1 м от зеркальца.

Модуль сдвига материала проволоки N = 4 • Ю10 Па. Решение:

ЯШ*

Имеем М = <р. При повороте зер-

кальца гальванометра на угол <р отраженный луч повернется на угол 2<р,

при этом tg2(p-^. Поскольку угол <р

а

мал, то ig(p «(р, следовательно, ср - —.

? 2 L

Тогда М = = 1,96-10'13 Н-м.

64-/Z

8.37. Найти потенциальную энергию W проволоки длиной / = 5 см и диаметром d = 0,04 мм, закрученной на угол (р-10'.

Модуль сдвига материала проволоки N - 5,9 • Ю10 Па. Решение:

При повороте проволоки на угол d

413

работы закрученная проволока приобретает потенциальную энергию W. Поскольку закручивающий момент

яА'7"4 ю 7iNr4 f 7iNr4 <2)2

М = , то W ~ А- (pd(p = — . Подставляя

21 21 J 4/

числовые данные, получим Ж = 1,25 • КГ12 Дж.

8.38. При протекании электрического тока через обмотку гальванометра на его рамку с укрепленным на ней зеркальцем

действует закручивающий момент М = 2-10"13 Н-м. Рамка при этом поворачивается на малый угол <р. На это закручивание

идет работа А - 8,7 • Ю-16 Дж. На какое расстояние а переместится зайчик от зеркальца по шкале, удаленной на расстояние L = 1 м от гальванометра?

Решение:

При повороте рамки на угол d(p совершается работа пары сил 2dA = Md(p, где М — закручивающий момент. Тогда

г 2 А

полная работа 2А = J Md(p = М<рь откуда (р-— — (1).

о ^

Перемещение зайчика по шкале равно длине дуги

окружности радиусом R-1, соответствующей углу ср,

тогда а = L- tg2(p « L • 2ср, т. к. по условию угол ср —

ALA

малый. Тогда, с учетом (1), а = = 17,4 мм.

М

8.39. Найти коэффициент Пуассона а, при котором объем проволоки при растяжении не меняется.

Решение:

Первоначальный объем проволоки Vx=Sl = m'2i. После растяжения ее объем стал У2 = к{г~ Дг)2(/ + Д/). Поскольку 414

объем при растяжении не изменился, то тл1 = л-(г -Arf (/ + Д/); яг2/ = /г(г2 - 2гДг + Аг2)(/ + Д/).

Величиной Д7-2 можно пренебречь, тогда, раскрывая скобки, получим г21 = г21-2гД/7 + г2 Д/ -IrArAl. Отсюда,

пренебрегая величиной 2гД/-Д/, получим = —. Коэф-

/*Д/ 2

Р Аг/

фициент Пуассона а = — = , следовательно, а = 0.5 .

а гД/

8.40. Найти относительное изменение плотности цилиндрического медного стержня при сжатии его давлением

рн = 9.8 ¦ 107 Па. Коэффициент Пуассона для меди сг = 0,34 . Решенне:

Плотность несжатого стержня — , где перво-

У\

начальный объем Vx = SI = яг2/. Плотность сжатого стержня р2 = , где V2 = к{г + Аг)'(/ - Д/). Тогда изме ^ 1 1 Л /7/ДГ

нение плотности Ар - р, - р] ; Д/? = /;/

У У

4*2 • ^.У

Т. к. изменение объема очень мало, то можно принять

л mAV Ар AV приближенно Vy.-v. . Тогда Ар-—— и .

К Р, к

Изменение объема равно AV = яг2/-/г(/' + Дг)2(/-Д/).

Преобразуя данное выражение, получим ДК = яг2/-

+2гА}' + Дг2)(/-Д/)]. Величиной Аг2 можно

пренебречь, ввиду ее малости, тогда ДК=яг2/-я"х

415

X (г2/ + 2rArl - Г2Al - 2/*ДгД/); AV = т<21 - тл1 х

Л 2Дг Д/ 2ДгД/ \ „ ІАгАІ

х 1 + . Величина очеыь мала, ею

I г / rl ) rl

,/Al 2Д/Л также можно пренеоречь, тогда AV=m- l

2 А/'/

/

Art

AV = 7П'~1 —— /

і _

V

. Поскольку тл1 = К, а —- = сг, то /•А/ ) 1 гД/

последнюю формулу можно записать так:

AV - V.— (і - 2сг). Отсюда отношение =

1 ' А И,

= -^(l-2(j). По закону Гука — , где Е — модуль / IE

Юнга, для меди ? = 118ГПа. Тогда — = — (\-2<г),

А ?

Подставляя числовые данные, получим = 0,027 %.

А

8.41. Железная проволока длиной / = 5м висит вертикально. На сколько изменится объем проволоки, если к ней привязать гирю массой ш = 10кг? Коэффициент Пуассона для железа о- = 0,3 .

Решение:

Первоначальный объем проволоки V}=Sl = m'2l. После того как к ней привязали гирю, проволока вытянулась и ее объем стал V2 = 7г(г - Дг)2(/ + Al). Изменение объема

AV = Я(Г-АГ)2(І + Al)-nr2l. Преобразуя данное выражение, получим A V - л*[(г2 - 2/*Д/4 + Аг2)(/ + A/)]-яг2/. Величиной Аг2 можно пренебречь, ввиду ее малости, тогда А V = тг(і'21 - IrArl + r2Al + IrArAl)-7url; 416

(л 2 А г А/ 2Д/-Д/Ї

1 +— +

г I УІ

-Я7'2/. Величина

AV = Я7'"/

2АгА/

г/

очень мала, ею также можно пренебречь, следовательно,

/А/ 2 А/Л ... .A If. 2Д/-Л

AV = яі-1

. Посколь-

1-

I

;А/

или AV = тл1— /

Д/7

ку яг 7 = Vn а = сг, то последнюю формулу можно

гА!

записать так: AV = Vx — (і -2сг). По закону Гука — = —,

/ IE

где ? — модуль Юнга, для железа ? = 196ГПа.

F

Нормальное напряжение равно Р. = —, где растягивающая

S

hug

сила F = mg. Тогда AV =S/^(l-2SE Е

Подставляя числовые данные, получим AV = 1 мм3.