§ 7.3. ЦЕНТР МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА. ИМПУЛЬС ТВЕРДОГО ТЕЛА

Вывод законов движения твердого тела на основе законов динамики материальной точки — сложная задача. Мы не будем останавливаться на ее общем решении. Вначале познакомимся с динамикой наиболее простого, поступательного, движения твердого тела.

Бросим палку так, чтобы в полете она вращалась в вертикальной плоскости. Если палка однородная, то можно заметить, что точка, находящаяся в центре палки, движется по плавной линии — такой, по которой летел бы брошенный ка-мень, сама же палка вращается вокруг этой точки (рис. 7.15). Прикрепим к одному из концов палки груз и снова ее бросим таким же образом. Движение будет похожим, однако точка, движущаяся по плавной кривой, оказывается не в центре палки, а ближе к грузу (рис. 7.16).

Из этого примера можно сделать вывод, что существует такая точка тела, которая движется так, как будто на нее действуют только внешние силы, причем ее по-ложение зависит от того, как распределена масса внутри тела. Такую точку назовем центром масс тела.

Рис. 7.15

Пусть система состоит из двух материальных точек массами Mj и т2. Разумно предположить, что центр масс расположен на отрезке прямой, соединяющей эти точки, и находится ближе к точке с большей массой. Наиболее простым будет предположе- ниє, что расстояния и 12 от соответствующих точек до центра масс обратно пропорциональны массам этих точек , т. е.

— = Г ИЛИ тп111 = т212. (7.3.1)

т2 11

Пусть и 12 — векторы, проведенные от точек к центру масс; гх и г2 — радиусы-векторы точек, а гс — радиус-вектор, проведенный из начала координат к центру масс этих двух точек. Тогда, как видно из рисунка 7.17,

Гі + k = re, r2 + I2 = rc.

Умножив обе части первого уравнения на mv а второго на т2, сложим их. В результате получится:

m1rl + m2r2 + m1ll + m2Z2 = (mj+ m2)rc.

Но из рисунка 7.17 и формулы (7.3.1) следует, что т111 = = -т212.

г =-L-L__!і. (7.3.2)

с т1 + т2 v '

Обобщим это соотношение на случай системы из произвольного числа материальных точек. В частности, этой системой может быть твердое тело. Если массу отдельного і-го элемента (материальной точки) обозначить через Amа радиус-вектор через rt, то положение центра масс будет определяться по формуле: і

(7.3.3) где т = у Ami — суммарная масса системы.

і

Как и любое векторное соотношение, формула (7.3.3) пред-ставляет собой компактную запись трех независимых выражений, определяющих координаты центра масс:

ХЛті*і ЕЛтг2г

>Ус= -Ц^.г е= -Чг- • (7-3-4)

с т L т L т

Здесь xt, yt, zt — координаты одного из элементов тела (рис. 7.18). Далее мы докажем, что точка с координатами, оп-ределяемыми выражениями (7.3.4), действительно движется так, как движется материальная точка под действием внешних сил, приложенных к телу.

Мы не будем сейчас обсуждать методы нахождения центра масс различных тел. Ограничимся лишь достаточно очевидным указанием на то, что центр масс всех однородных тел, имею-щих центр симметрии, совпадает с этим центром. Так, центр масс однородного шара совпадает с его центром. Центр масс па-раллелепипеда находится в его центре симметрии. А центр масс однородного стержня находится в его середине.

Центр масс твердого тела может находиться и вне самого тела, например у однородной сферы или у кольца. Но все равно ускорение этой точки, не находящейся в твердом теле и соот-ветственно не являющейся материальной точкой, тоже будет определяться внешними силами, приложенными к телу.

Импульс твердого тела

Докажем, что импульс твердого тела равен импульсу мате-риальной точки, масса которой равна массе тела, а скорость равна скорости центра масс.

Импульс твердого тела по определению равен суммарному импульсу всех его точек:

p=y^Amivi, (7.3.5)

і

где vt — скорости отдельных точек тела.

(7.3.6)

і

Пусть за малое время Ait радиусы-векторы элементов тела изменя-ются на Агг. Тогда и радиус-вектор центра масс изменится на Агс:

mArc = ^^AmiAri. (7.3.7)

і

Разделим левую и правую части этого выражения на Ait:

А г. __ Дг; і

Аг, _ Агс

Но -— = vj — скорость г-го элемента твердого тела, а —— = v, —

At 1 At

скорость центра масс. Следовательно,

mvc = ^AmiAvi. (7.3.9)

і

Сравнивая это выражение с определением импульса тела (7.3.5), придем к выводу:

Р = mvc. (7.3.10)

Это и требовалось доказать.

Заметим, что формула (7.3.10), так же как и определение центра масс (7.3.3), относится не только к твердому телу, но и к любой совокупности материальных точек. Мы ведь не требовали, чтобы расстояния между отдельными точками оставались неизменными, как это имеет место для твердого тела.

Мы ввели важное понятие: центр масс. Из дальнейшего будет видно, что определенный таким образом центр масс и является той замечательной точкой системы, для определения движения которой доста-точно знания лишь внешних сил.