2. Сведения из теории эволюционных уравнений и разностных схем

Многие методы расщепления формулируются в применении к нестационарным задачам математической физики, возможно, приближенным, полученным путем применения разностных схем и сведенным к задаче Коши для эволюционных уравнений.

2.1. Эволюционные уравнения.

2.1.1. Задача Коши. Рассмотрим в банаховом пространстве X уравнение

^+Аф=0, / Є (0,7-) (1)

at

с линейным оператором А, не зависящим от t и имеющим всюду плотную в X область определения ?>(А).

Решением уравнения на отрезке [О,Г] называется функция ф(<)> удовлетворяющая условиям:

значения функции ф(/) принадлежат D(A) при всех f Є [0,Г];

в каждой точке t Є [0,Г] существует сильная производная функ- ции <р'(7), т.е. ф'(0 -

-> О, ы -> О,

х

Ф(г + Дг)-Ф(р Д/ где ||-II =

3) уравнение (1) удовлетворяется при всех t € [О, Г].

Очевидно, что решение ф(ї) уравнения (1) является непрерывной на [0,7"] функцией, т.е. ||ф(ї) -ф(го)|| -> 0 при t -+t0 Vf0 € [0,7].

Под задачей Коши для уравнения (1) на [0,Г] понимают задачу о нахождении решения уравнения (1) на [0,Г], удовлетворяющего начальному условию (2)

ф(0)=ф0еад. Говорят, что задача Коши поставлена корректно на [0,Г], если: (I) при любом фо Є D(A) существует ее единственное решение и (II) это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из фн(0) —» 0 (ф„(0) Є D(A)) для соответствующих решений ф„(г) следует ф„(ї) -> 0 при каждом t Є [0, Т].

Замечание. В силу постоянства оператора А из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [0, Г] следует ее корректность на любом отрезке [0,7Ї] (Ті >0), т.е. корректность на всей полуоси [0,°°).

Введем в рассмотрение оператор U(t), ставящий в соответствие элементу фо Є D(A) значение решения ф(ї) задачи Коши (ф(0) = фо) в момент времени t > 0.

Если задача Коши корректно поставлена, то оператор U(г) определен на D(A).

Говорят, что семейство линейных ограниченных операторов U(t), зависящих от параметра t (0 < / < называется полугруппой, если (3)

U(tx+t2) = U(tx)U(t2) (0Рассмотрим теперь функцию U(t)фо при любом фо Є X и t > 0. Поскольку D(A) плотно в X, то существует последовательность элементов

Фо"' Є D(A) такая, что фд"' -> ф0, и, следовательно, ф„(г) = С/(г)фо") -> -> U (Офо в силу ограниченности оператора U(t). Таким образом, функция U (/)фо является пределом последовательности решений уравнения (1) на (0,°°) и может быть названа обобщенным решением этого уравнения.

Если U(t)фо есть обобщенное решение, то [|?/(г)фо|| измерима (как предел последовательности непрерывных функций). Полугрупповое свойство операторов U (t) позволяет усилить это утверждение.? Лемма 1. Если задача Коши для уравнения (1) корректна, то все обобщенные решения этого уравнения непрерывны на (0,°°).

Теорема I. Если задача Коши для уравнения (1) корректна, то ее решение дается формулой

Ф(0 = U(tyРо (фо Є D(A)), (4)

где U (t) — сильно непрерывная при t > 0 полугруппа операторов.

Теорема 2. Если задача Коши для уравнения (1) корректна, то каждое его обобщенное решение растет на бесконечности не быстрее экспоненты, причем

,. ІПІТОІ1 ... lim = со < оо, (5)

f-»oo t

где число со называется типом полугруппы U(t) и типом задачи Ко- ши (1), (2).

Среди обобщенных решений уравнения (1), не являющихся решениями задачи Коши, могут быть, вообще говоря, дифференцируемые функции. Обозначим через Т> совокупность тех элементов фо, для которых U(Офо, доопределяемая в нуле как фо, дифференцируема (справа) в нуле.

Ит?/(ОФо-Фо^,(0)ф0. (6)

f-»+0 t w

Оператор U'(0) называется производящим оператором полугруппы.

Лемма 2. Если фо Є ?>, то обобщенное решение ?/(/)фо имеет непрерывную производную при t > 0.

Теорема 3. Если задача Коши для уравнения (1) корректна, то D(A) С Т>, U'(0)фо = -Лфо при фо Є D(A) и оператор А, порождающий корректную задачу Коши, может быть расширен до производящего оператора U'(0) сильно непрерывной полугруппы U(/).

Важными в теории задачи Коши являются следующие два понятия. Корректно поставленная задача Коши называется равномерно корректной, если из ф„(0) 0 следует, что ф„(г) —» 0 равномерно по t на каждом конечном промежутке [0, Г]. Полугруппа U(t) принадлежит классу Со, если она сильно непрерывна при (>0и удовлетворяет условию lim U (/)ф = ф при любом ф Є X.

Теорема 4. Для равномерно корректной задачи Коши при любом

ф Є X lim U(t)(f> = ф, т. е. полугруппа U(t), порождаемая равномерно /-»+ о

корректной задачей Коши, принадлежит классу Со-

Теорема 5. Если полугруппа принадлежит классу Со, то для нее справедлива оценка

\\ит<меш,

где М = sup0Если ||t/(f)ll < 1 (0 < t < то полугруппа называется сжимающей.

Теорема 6. Если полугруппа принадлежит классу Со, то область определения Т> производящего оператора U'(0) всюду плотна в пространстве X, более того, всюду плотно в X множество элементов, на которых определены все степени оператора U'(0).

Теорема 7. Если полугруппа принадлежит классу Со, то производящий оператор ее замкнут.

Теорема 8. Если задача Коши для уравнения (1) равномерно корректна, то замыкание оператора —А совпадает с оператором U'(0).

Теорема 9. Для того чтобы задача (I), (2), где А есть замкнутый оператор, была равномерно корректной, необходимо и достаточно, чтобы —А был производящим оператором полугруппы класса Со-

Таким образом, если ограничиться рассмотрением уравнений с замкнутыми операторами, то класс уравнений (1), для которых задача Коши равномерно корректна, совпадает с классом уравнений, у которых оператор —А является производящим для полугруппы класса Со-

Неоднородное эволюционное уравнение.

f^+Аф = /(*), ф(0) = фо, (7)

где f(t) — заданная непрерывная функция со значениями в X и фо Є D{A).

Теорема 10. Если для уравнения (1) задача Коши равномерно корректна, то формула

t

ф(/) = г/(г)ф(0) + J U(t — s)f(s) ds (8)

о

дает решение задачи (7) при ф Є D(A) и функции f(t), удовлетворяющей одному из двух условий:

значения /(f) Є D(A) и функция Af(t) непрерывна-,

функция f(t) непрерывно дифференцируема.

Формула (8) при любом фо Є X и непрерывной функции /(f) дает непрерывную функцию, которую естественно назвать обобщенным решением задачи Коши (7).

Эволюционные уравнения с ограниченными операторами. Рассмотрим важный (в частности, в теории и приложениях методов расщепления) класс задач (1), (2) и (7), когда оператор А ограничен. В этом случае очевидно, что задача Коши для уравнения (1) равномерно корректна, и полугруппа U(t) представима в виде

U(t)=e-'A, (9)

где функция ёв, определяемая рядом

(Ю)

..—п Я ¦

обладает следующими свойствами:

e(n+i2)B = d_^B) = Be,B^

е(А+в)'-еЛ'ев, = {ВА-АВ)^ + ..., (И)

Е(А+в), _ ед»вл> если АВ = ВА_

Решение задан (1), (2) и (7) в данном случае соответственно задается формулами

ф(0 = <Г'дф0. (12)

і

ф(0 = <Гмф0 + j e^'-s^Af(s)ds. (13)

о

Отметим одно простое следствие представления (12) и свойств (11). Пусть оператор А представим в виде суммы двух коммутирующих операторов: А = А\ +А2, где А\Аг — А2А\. Тогда согласно (12) и последнему свойству из (11) имеем ф(7") = е~ТАЩ, где ф = <Ггд'ф0. Таким образом, чтобы найти решение задачи (1), (2) (в которой А = А\ + А2, А\А2 = А2А\ ) при t = Г, достаточно последовательно решить задачи вида

0, t Є [О,Г], Фі(0) = фо, d (14)

-^-М2ф2 = 0, t Є [О, Г], Ф2(0)=Ф,(Г)

и принять ф(7") = ф2(7*). Легко заметить, что если А і, А2 имеют более простую структуру, чем А, и нас интересует функция ф(Г), то ее отыскание путем решения двух задач (14) может оказаться предпочтительным по сравнению с нахождением ф(Г) путем решения непосредственно задач (1), (2).

В дополнение к свойствам (11) приведем еще две формулы (играющие важную роль в теории методов расщепления).

Пусть ограниченный оператор А является суммой двух положительно определенных операторов А і и А2\

A=At+A2, (Л,-ф,ф)>Уі||фЦ2, 1=1,2.

Тогда справедлива формула Троттера

е~>А = hm^e-N^e-N^y (16)

и близкая к ней формула Чернова:

где I — тождественный оператор (который часто обозначают также через Е).

Формулы (16), (17) позволяют находить решение задачи (1), (2) при t = Т. Действительно, пусть рассматривается задача (1), (2), в которой имеют место соотношения (15). Выбрав N достаточно большим, получим что функция Т

будет приближать ф(Г) = е~глф0 (в силу (16)). Отыскание фN(T) сводится к решению последовательности задач вида (14).

Если же принять

фЛ'(7-) = {(/+ІА2)"і(/+^1)"і}л/фо,

то 4>N(T) можно считать приближением к ф(Г) согласно (17). Нахождение фЛ/(Г) в данном случае можно осуществить следующим образом. Разделим интервал [О, Т] на N интервалов равной длины At = T/N и определим рекуррентным образом семейство элементов, которые обозначим фл+'/2. Эти элементы определяются последовательно для возрастающих значений п +і/2 (п — 0,...s,N — 1, і = 1,2). Начиная процесс вычислений с ф° = фо исчитая,чток (и + 1)-мушагу ф°,...,ф" известны,элементы ф"+І/2,ф"+1 определим как решение уравнений

..«+1/2 _ ,пн ф -ф +^'/' = 0,

At /.on

п+х_ ,,+мг > ^ +А2ф"+І =0.

Поскольку фп+І/2 = (/ + Д/Ді)-Іф", ф"+І = (/ + ДМ2)_Іф"+І/2, то заключаем, что ф'*' = фл,(Г). Таким образом, элемент ф^ приближенно равен в момент t — Т решению ф(г) задачи (1), (2), а отыскание ф^ состоит в последовательном решении задач (18), что можно сделать эффективно и экономично, если каждый из операторов А\,А2 имеет простую или «специальную» структуру по сравнению с оператором А в исходной задаче (1), (2). Следовательно, формулы (16), (17) и алгоритмы их реализации путем решения задачи типа (14) или (18) лежат в основе класса методов расщепления (методов дробных шагов), частными случаями которых являются алгоритмы (14) и (18).

2.2. Операторные уравнения в конечномерных пространствах.

2.2.1 Эволюционная система Пусть X = RN — N -мерное евклидово пространство векторов ф = (фі,..., ф^) с некоторым скалярным произведением (ф,чО и нормой ||ф|| = (ф,ф)'/2.

Рассмотрим задачу Коши (7), где оператор А есть матрица А = {a,j} размера N х N с элементами aXJ, i,j = 1,..., N, не зависящими от t. Тогда решение задачи (7) существует, единственно и задается формулой (13).

Пусть также матрица А невырождена, т. е. существует А~1, а вектор / не зависит от t. Тогда, учитывая, что А~'е~'Л = е~'лА~1, из (13) получаем следующее выражение для Ч>(1)=е-'Ащ+А-1(1-е-'А)/. (19)

Предположим, что матрица симметрична: а,} = а}„ i,j = \,...,N (т.е. А — АТ), и положительно определена: (Лф,ф) > а||ф||2 Уф Є RN, где а = const > 0. Обозначим через {ф^'}, {А,*} собственные векторы и собственные значения А: Лф^' = , к = 1,..., N. Собственные векторы любой симметричной матрицы могут быть выбраны таким образом, чтобы они образовывали ортонормальную систему в RN. Поэтому будем считать, что

Обозначим через Q матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы А. Тогда очевидно, что QTQ = I — единичная матрица, т. е. матрица, внедиагональные элементы которой (І)ц, кфі, равны нулю, а элементы главной диагонали равны единице. (Отметим, что часто для единичной матрицы используется также обозначение Е.) Следовательно, QT — Q~x, т. е. Q является ортогональной матрицей.

Привлекая свойства матрицы Q и собственных векторов {ф^'}, легко получаем следующее представление для А и е~'А: ' h 0 0 " - е-Л, 0 0 A = QT 0 0 Q, e-A = QT 0 0 Q, 0 0 A/V 0 0

а формула (13) принимает вид

*= і

где

I

Рі(0 = <ГХ*'(Фо, ФМ) + J e~x^(f(s),о

ф0=iwv, ло=Х(жт.е. формула (21) есть представление решения системы (7), полученное

методом собственных функций (векторов).

Если / не зависит от t, то

Р*(0 = е~Х*'(Фо, Ф(*>) + -е-1*), k=l,...,N.

Отметим, нто все собственные значения любой симметричной положительно определенной матрицы положительны. Поэтому в случае матрицы А имеем Хк>а = const >0, к= Учитывая это, из (21), (22) получаем

= = 1ітф(0=Ф=5>Ф(і), (23)

причем ф есть решение системы линейных алгебраических уравнений

A

с симметричной положительно определенной матрицей А.

Для разности ф(ї) - ф справедлива оценка

||ф(0-ф|| < Нфо-фік-0", (25)

из которой следует, что независимо от начального условия фо <р(Т) —> ф при t — Т -> оо. Этот факт играет фундаментальную роль для построения приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определенными матрицами методом ста- ционирования и методами расщепления (рассматриваемыми уже как ме-тоды решения систем типа (24)).

2.2.2. Метод стационирования. Пусть требуется найти решение

Ф = А_7

системы (24) с симметричной положительно определенной матрицей А. Сделать это можно, например, методом исключения неизвестных (метод Гаусса), относящимся к классу прямых методов решения систем типа (24), т. е. таких, которые за конечное число операций (возможно, большое, если N велико) позволяют найти точное (теоретически) решение ф = A~xf. Однако в практических вычислениях присутствуют различного рода погрешности (в задании /, ошибки вычислений на компьютере и др.) Поэтому ф = А-1/ реально вычисляется приближенно. А тогда естественно возникает предположение о разумности постановки задачи о построении заведомо приближенного решения системы (24) с любой наперед заданной точностью. Решение этой задачи можно осуществить целым классом итерационных алгоритмов, основа многих из которых заключается в методе стационирования. Изложим идею этого метода применительно к системе (24).

Пусть А симметрична и положительно определена. На основании (25) заключаем, что при t <*> решение ф(г) задачи (7) сходится в RN к решению задачи (24) т. е. ||ф(0 - ф|| -> 0 при t -> оо (На самом деле это утверждение верно также в более общих случаях: бесконечномерные про-странства, нелинейные и неограниченные операторы и др., но эти случаи здесь не рассматриваются). Следовательно, для достаточно большого t = Т и «разумного» фо ошибка ||ф(Г) — ф|| может быть сделана сколь угодно малой (хотя и положительной). Таким образом, если будет найдено реше-ние ф(г) задачи Коши (7) при t = Т — достаточно большое число, то ф(Г) может быть принято в качестве приближенного решения системы (24).

Поэтому для построения приближенного решения системы (24) можно:

рассмотреть эволюционную задачу (7) (с произвольным, но «разумным» начальным элементом фо);

найти решение ф(ї) при t = Т — достаточно большое число (отыскание <р(Т) можно осуществить также приближенно);

принять в качестве приближенного к ф элемент ф(7") (или приближение к ф(7")).

Этапы 1)-3) составляют суть метода стационирования приближенного решения системы типа (24) путем рассмотрения эволюционных систем и построения их решений.

В свою очередь построение ф(Г) можно осуществить различными методами. Так, предположим, что А = А \ + А2, где AI,A2 — положительно определенные матрицы простой структуры. Если AIA2 = A2AI, то пост-роение ф(/) сводится к последовательному решению задач (14) с матри-цами А\, А2 более простыми, чем А. Другой метод приближенного по-строения ф(Г) задается уравнениями (18). Таким образом, методы рас-щепления (14), (18) выступают здесь уже как методы решения систем уравнений вида (24).

2.3. Понятия и сведения из теории разностных схем.

2.3.1. Аппроксимация. Напомним некоторые понятия теории конечно- разностных методов, используемые в дальнейшем. Рассмотрим стационарную задачу математической физики в операторной форме

Аф = / в ?2, ?2 € R", aq> = g на Эй, (26)

где А — линейный оператор, ф Є Ф,/ Є F. Здесь Ф,F — вещественные пространства, элементы которых определены на Ли Э?2 = ?2 и ?2 соответственно, а — линейный оператор граничного условия, g Є G, где G — вещественное гильбертово пространство функций, определенных на Э?2. Для определенности и упрощения обозначений будем здесь считать, что функции из Ф, F, G зависят лишь от двух переменных х и у (которые можно считать пространственными переменными).

Осуществим построение конечномерного приближения задачи (26), например, конечно-разностным методом. Для этого рассмотрим множество точек (xk,yi), где k, I — произвольные целые числа. Множество точек такого вида назовем сеткой, а сами точки —узлами сетки. Расстояние между узлами сетки будем характеризовать числом h — шагом сетки (естественно, это расстояние можно оценивать и двумя параметрами hx,hy — шагами сетки по х и у соответственно). Обозначим через ?2/, множество узлов сетки, приближающее (в каком-либо смысле) множество точек области ?2, а через ЭЙ/, — множество узлов, приближающих границу Эй. Функции, областью определения которых является сетка, будем называть сеточными функциями. Множество сеточных функций ф'1 с областью определения ?2/, обозначим Ф/,. Каждой функции ф Є Ф можно поставить в соответствие сеточную функцию (ф)/, по правилу: значение (ф)/, в узле (хк,уі) равно ф(х^,у/) (конечно, если имеет смысл значения {ф(**,У/)})- Указанное соответствие является линейным оператором, действующим из Ф в Ф/,;

этот оператор называют проектированием функции ф на сетку. Функцию у = Лф также можно спроектировать на сетку, положив (у)/, = (Лф)/,. Соответствие между (ф)/, и (Аф)/, будет линейным оператором, определенным на сеточных функциях.

Рассмотрим задачу в конечномерном пространстве сеточных функций АУ' = /" в Й,„ а'У = gh на ЭЙ,„ (27)

— конечно-разностный аналог задачи (26). Здесь ЛЛ, а1' — линейные операторы, зависящие от шага сетки h, фЛ Є Ф/м /л Є F/„ g1' € G/,, а Ф/,, /*>,, С/, — пространства вещественных сеточных функций.

Введем в Ф/,,/7,,С/, соответственно нормы || • ||фл, || • ||гл, II • (I- Пусть (•)/, есть обозначение линейного оператора, который элементу ф Є Ф ставит в соответствие элемент (ф)/, Є ФД, так что LIM/,_>O||(Ф)/І||ФЛ = ІІФІІФ- Будем говорить, что задача (27) аппроксимирует задачу (26) с порядком п на решении ф, если существуют такие положительные постоянные Л, М\, М2, что для всех hА'Ш-/' I < а"(ф)„-gh < МгНп

iFh Gh

и п = min(«i,иг)-

В дальнейшем будем считать, что редукция задачи (26) к задаче (27) осуществлена. Если граничное условие из (27) использовать для исключения значений решения в граничных точках области й/,иЭй/,, то приходим к эквивалентной задаче

Л"ф"=?. (28)

При этом значения решения в граничных точках могут быть найдены из уравнения (27) после того, как будет построено решение уравнения (28). В некоторых случаях удобно пользоваться записью аппроксимационной задачи в форме (26), а в некоторых — в форме (27). В теории разностных схем часто используются вещественные гильбертовы пространства сеточных функций с нормами ||ф''||Фл = (Фл,Фл)Фа2, ||/''||ґл = (/л,/л)^2 и др. Однако отметим, что многие из вводимых понятий (аппроксимация и т. д.) можно перенести на случай банаховых пространств, и в ряде утверждений и иллюстрационных примеров будут введены нормы сеточных функций, которые не связаны со скалярным произведением указанным выше соотношением.

Проиллюстрируем изложенное на примере задачи

—Дф = / в й, ф = 0 на Эй, (29)

где й = {(х,у): 0 < х < 1, OCyCl}, / = f(x,y) — гладкая функция,

-р. -р.

Д = + • Пусть F есть гильбертово пространство вещественных

функций L2(Q) СО скалярным произведением (и, v) = / uv dx dy и нормой

Ja _

IMI = (и, и)1/2. Через Ф обозначим множество непрерывных в й = йиЭй функций, обладающих непрерывными в й первыми и вторыми производными, с той же, что и в F, нормой || • ||ф = || • ||. В качестве G выберем гильбертово пространство функций ?г(Эй), определенных на Эй, с

нормой ||g||z.2(dn) = (yj^ • Если ввести операторы Ац> = -Дф,

аф = ф|зП, то задачу (29) можно представить в форме (26) при g = 0. _ Введем конечномерную аппроксимацию задачи (29). Для этого квадрат й = йиэй покроем равномерной по х и у сеткой с шагом h. Узлы области будем отмечать индексами к, I, где индекс к (0 < к < N) соответствует точкам деления по координате х, а индекс / (0 < / < N) — по у. Рассмотрим следующие аппроксимации:

Э2ф Э2ф

= фх* — Д^(ф)Л, АуУуМ„,

dx dy

где Ах, Ау, Vx, Vy — разностные операторы, определенные на сеточных функциях ф'! (с компонентами ф^) следующим образом:

(АЛФ")« = \ -4,), = \ (Ф«-ФІ-І,/),

(Д,ф")и = і (ФІ',/+І - ф*), (V/p*)*, = ± (ФІ', - ,).

Тогда задача (29) может быть аппроксимирована конечно-разностной задачей

Л У = -А*ф* = + ДуУуф"] =/'' в Й/„ фл = 0 на ЭЙ/„

где Эй/, — множество узлов, принадлежащих границе Эй, а й/, — множество внутренних в й узлов сетки. Здесь

А1' = Ах + Ау, Ах = -Д,У„ =

т. е. А1' есть разностный аналог оператора — Д: А1' = —А1', а фЛ и /л — векторы с компонентами ф^ и и

(ДУ)*, = ^ (фі'+і,/ + ф"-1,/ + ФІ',/+і + ФІ',/-1 - 4<Р*Л/)'

4+1/2 >/4 1/2

1 f Г h h

fkl = 1ji J J fdxdy, хш/2=хк±~, Уі±\/2 = У/ і 2'

¦4-1(2 Уі-1/2

В приведенных здесь и ниже схемах в качестве fjj берется усреднение функции f{x,y), вычисленное по приведенной выше формуле. (Это, вообще говоря, позволяет рассматривать разностные схемы при функции f(x,y), не обладающей достаточной гладкостью.)

Введем в рассмотрение пространство Ф/,. За область определения сеточных функций из Фі, примем й/, = й/,иЭй/, = {(хк,Уі)'- хк = hk,yi — hi, 0 < к < N = l/h, 0 < I < N = I/h}. Скалярное произведение и норму в Ф/, определим так: N / N \ 1/2 (ф", vX = ? 11ф"1к = ( ? а2(ф2/)2) •

*,/=0 *,/=0

В качестве F/, выберем пространство сеточных функций, определенных на множестве

= {{хк,у,): xk=hk, уі = hi, l

Подобным же образом вводится пространство G/, сеточных функций, определенных на dQ/,.

Примем в качестве (<р)л вектор, компонентами которого являются значения функции в соответствующем узле сетки. Тогда, используя разложение в ряды Тейлора функций <р(х, у) и /(х,у), получим

Н-Д'Чф)/!-/'!!^ где Мі = const < оо. Аппроксимация граничных условий на dQ/, в данном примере осуществляется без погрешностей. С учетом последней оценки это означает, что рассмотренная конечно-разностная задача аппроксимирует задачу (29) со вторым порядком на решениях задачи (29), имеющих ограниченные четвертые производные.

Отмечаем, что если потребовать, чтобы сеточные функции из Ф/, удо-влетворяли условию <рЛ |эял = 0, то в этом случае для таких функций ска-лярные произведения в Ф/, и Fh (а значит, и порождаемые ими нормы) совпадают. Рассмотрим следующие тождества, аналогичные первой и вто-рой формулам Грина:

*=1 к=\

- xVvV')*/^, = -?(A*vV)*/ф?„ ф'\ / є Ф/«-

к=1 к=1

Используя их и аналогичные тождества для сумм по индексу /, нетрудно показать, что

(AVV)/» = (Ф^ЧХ (а'у, ф'>,, = л2 ? [((vV)«)2 + ((vy)«)2] > о

при т.е. оператор А1' на функциях из Ф/„ удовлетворяющих усло

вию ФЛ|эпЛ = является самосопряженным положительно определенным оператором. Заметим также, что оператор А1' здесь представим в виде суммы симметричных положительно определенных коммутирующих опе-

16 В И Агошков и др раторов Ах, Ау: Ah=Ax + Ay, АХАУ=АУАХ.

Рассмотрим теперь задачу аппроксимации эволюционного уравнения

^+Лф = / в ?2х?2„ Qf = (О, Т),

аф = g на dQ. х ?2,, ф = фо в ?2 при t — 0.

Аппроксимацию задачи (30) проведем в два этапа. Сначала аппроксимируем ее в области (?2/, U Э?2/,) х ?2, по пространственным переменным. В результате приходим к уравнению, дифференциальному по времени и разностному по пространственным переменным.

В полученной дифференциально-разностной задаче в ряде случаев легко исключить решения в граничных точках области (?2лиЭ?2л) х ?2, с помощью разностных аппроксимаций граничных условий. Предполагая, что это сделано, приходим к эволюционному уравнению вида

= (31)

где A = Ah fh и фл — функция времени t. Уравнение (31) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений для компонентов вектора фА. Для упрощения обозначений индекс h в задаче (31) можно опустить, предполагая, что (31) есть разностный аналог по пространственным переменным исходной задачи математической физики. С учетом изложенного рассмотрим задачу Коши

f+Аф = /, Ф = g при t = 0. (32)

Предположим, что оператор Л не зависит от времени. Рассмотрим простейшие методы аппроксимации задачи (32) по времени. Наиболее употребительными разностными схемами в настоящее время являются схемы первого и второго порядка аппроксимации по t.

Одна из них —явная схема первого порядка аппроксимации на сетке ?2т (т.е. на совокупности узлов {tj} по переменной /):

= Ф° = Л (33)

где х = tJ+\ - tj, а в качестве fJ здесь можно принять fJ — f(tj). Неявная схема первого порядка аппроксимации имеет вид

= * (34)

X

при /¦>, равном f(tJ+\). Схемы (33) и (34) — первого порядка аппроксимации по времени. В этом легко убедиться с помощью разложения по формуле Тейлора по времени, допустив, например, существование ограниченных производных (по времени) второго порядка от решения.

Разрешая схемы (33) и (34) относительно ф7"1"1, приходим к рекуррентному соотношению

cpJ+1 = T(f)J + iSfJ, (35)

где Т — оператор шага, S — оператор источника, определяемые следующим образом: для схемы (33) Т = Е — хЛ, S = Е; для схемы (34) Т — (? + тЛ)-1, S = T.

Разностные схемы типа (35) для эволюционных уравнений называют двухслойными.

Большое применение в приложениях имеет схема второго порядка аппроксимации — схема Кранка-Николсон: ф7+1_ф7 фЛ-І+фУ

Ф* Ф +ЛФ ч-Ф =/Л ф0 = ^ (36)

Т Z

где f1 = f(tJ+ і/г). Схему (36) также можно представить в форме (35) при

В некоторых случаях разностные уравнения (33), (34) и (36) удобно записывать в форме системы двух уравнений, из которых одно аппроксимирует само уравнение в Q/n, а другое — граничное условие на dQ/,r. В этом случае разностный аналог задачи (30) имеет вид

L/n(p'n = fhz в Q,n, l'"(phx = g,n на dQhx,

(37)

Q/,T = Q/, x ?2x, dQ/,T = Q/, x {0} U dQ/, x

где операторы L1", lln и fln, gln удовлетворяют неравенствам

||?/,т(ф)лт -/"Ik, < Mih" + Nitp,

||/Лт(ф)/,т - 5Лт||сЛт < M2hn + N2xp.

В этих неравенствах (...)йт есть оператор проектирования на соответствующее сеточное пространство.

Разностные уравнения (37) с помощью вектор-функций, определенных на Q/, х ?2х (где Qj есть совокупность {/у}), и новых операторов можно записать также в виде

L'VT = (38)

Таким образом, эволюционное уравнение с учетом граничных условий и начальных данных может быть приближенно редуцировано к задаче линейной алгебры (38) в конечномерном пространстве.

2.3.2 Устойчивость. Обратимся к еще одному важному понятию теории конечно-разностных методов — устойчивости. С этой целью рассмотрим задачу

Эф

+Лф = / в QxQ„ ф = ? при t-0, (39)

dt

которая аппроксимируется разностной задачей

ф'+і = 7У + тSfJ на Qh хйх, ф° = g. (40)

Будем говорить, что разностная схема (40) устойчива, если при любом параметре Л, характеризующем разностную аппроксимацию, и j < Т/і имеет место соотношение

||ф;||Фл<СІУ|Сл + С2||/т||^, (41)

где константы Сі и С2 равномерно ограничены на 0 < t < Т и не зависят от т,Л, g и /, через Gi, обозначено пространство, которому принадлежит g в (40).

Определение устойчивости тесно связано с понятием корректности задач с непрерывным аргументом. Можно сказать, что устойчивость устанавливает непрерывную зависимость решения от входных данных в случае задач с дискретным аргументом. Легко видеть, что определение устойчивости в смысле выполнения (41) уже связывает само решение с априорными сведениями о входных данных задачи.

Нетрудно показать, что разностные схемы (34), (36) устойчивы в смыс-

Г 1/2

ле определения (41), если X > 0 и Нф-'Нфд = ; |фJki\2h2 . Сделать это

можно на основе оценки ||(? + тА)-11| < 1 при А > 0,т > 0, вытекающей из соотношений 2
2
ФД _ ІТІФЛ
(Е + ТХГ'ФИ ік ||(? + тЛ)\|/||фА

ІМІІ* ^+т((Л + Л*)?,?)Фл + Т2||ЛЧ/|&л -

и следующей теоремы, которая полезна при анализе устойчивости многих схем

Теорема 11 (теорема Келлога) Если оператор А, действующий в вещественном гильбертовом пространстве Ф, положительно полуопределен, а числовой параметр а не отрицателен, то ||(?-Оі4)(? + а4)-І||< 1.

Замечание. При /4 >0 и о>0 в теореме 11 имело бы место неравенство

||(? — стА)(?-1- стА)"11| < 1.

При рассмотрении схемы (33) несложно установить, что она будет устойчива при дополнительном условии вида КГЦ < 1, которое, например, выполняется, если А — симметричная положительно определенная матрица с собственными числами из интервала [а, Р], а т удовлетворяет соотношениям 0 < х < 2/р.

При решении разностных аналогов эволюционных задач математической физики приходится иметь дело с аппроксимацией как по времени (с шагом х), так и по пространству (с характерным шагом А). Это значит, что оператор перехода Т = Г(х, /і) зависит как от т, так и от h? Проблема конструирования устойчивого алгоритма при заданном спо-собе аппроксимации обычно сводится к установлению связи между х и Л, обеспечивающей устойчивость. Если разностная схема оказывается устойчивой при любых значениях х и Л, то она объявляется абсолютно устойчивой. Если же схема оказывается устойчивой только при определенной связи между т и Л, то она называется условно устойчивой. (Таким образом, схемы (34), (36) абсолютно устойчивы, а схема (33) условно устойчива.)

/ЛУ" = g'a на да,, х О,.

Замечание. Если аппроксимация эволюционного уравнения иссле-дуется в пространствах сеточных функций, определенных на ?2/, х От, то и определение устойчивости часто полезно давать в терминах тех же пространств. В самом деле, пусть разностная задача имеет вид

Z/'V" = fln в Qi.xO,, Введем критерий устойчивости In

Ф

In

< Сі 11/" II +c2

Gh,

¦Ат II ІІ^Ат

Jn

где Сі и С2 — константа, не зависящие от Л,т, fln,g"

Если же исходная задача математической физики аппроксимируется с помощью разностного уравнения так, что граничные и начальные условия уже учтены при его построении, то критерий устойчивости удобно ввести в следующей форме: In

¦In

ф'

<с

Fhт

4v 1) 2.3.3. Сходимость. Сформулируем основной результат конечно-разностных алгоритмов — теорему сходимости. Исследование сходимости разностного решения к решению исходной задачи как для стационарных, так и для эволюционных задач математической физики осуществляется на основе одних и тех же принципов. Поэтому сформулируем теорему сходимости при рассмотрении стационарной задачи (26), которая аппроксимируется разностной схемой (27) (т. е. системой уравнений, аппроксимирующих как уравнение, так и граничное условие из (26)).

Теорема 12. Пусть:

разностная схема (27) аппроксимирует исходную задачу (26) на решении ф с порядком п;

А1' и а1' — линейные операторы;

разностная схема (27) устойчива в смысле (41), т. е. существуют положительные константы Л, Сі, С2 такие, что для всех h < Л, /Л Є Є f'1, g1' Є G/, существует и притом единственное решение ф'1 задачи (27), удовлетворяющее неравенству Ґ

<С і

Ф"

g

+с2

Gh

Fh Тогда решение разностной задачи ф'1 сходится к решению ф исходной задачи, т. е.

J>

lim

л-> о

= 0,

||(ф)/.-ф'

Фл

причем имеет место следующая оценка скорости сходимости:

< (CiMi +C2M2)hn,

-ФЛ

||(ф)л

*>h

где Мі и М2 — константы из оценок аппроксимации

Таким образом, используя метод конечных разностей и аппроксимируя исходную эволюционную задачу по всем переменным (кроме переменной t), можно свести эту задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений d(p

-у-+A

at

К решению этой системы теперь уже можно применить методы расщепления. (Заметим, что именно такой подход последовательной аппроксимации задач часто применяется в практических расчетах.)

2.3.4 Метод прогонки Пусть требуется найти решение следующей системы трехточечных уравнений:

соУо-Ьоу\= /о, і = 0,

-а,У,-\ + с,у,-Ь,у,+\ =/,, 1 < і < N — 1, -аыуы-1 4- cNyN = fN, і = N.

Системы такого вида возникают при трехточечной аппроксимации краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, например, методами конечных разностей, а также при реализации разностных схем для уравнений в частных производных. В последнем случае обычно требуется решить не одну, а серию таких задач с различными правыми частями. Поэтому необходимы эффективные методы решения подобных систем. Одним из таких методов является метод прогонки (метод факторизации), который задается следующими формулами.

Прямой ход прогонки (находятся прогоночные коэффициенты а, И Р,):

¦ 1 О КІ 1 Ьо

cti+1 = , і = 1,2,... ,N — 1, «і = —,

с, - а,а, со

о /. + аД і о а г о /о

Pi+i = —, г= 1,2,...,N, Pi = —.

с, - а,а, со

Обратный ход (находятся значения у,):

у, = a,y,+i + Р,+ь і — N — 1,N — 2,.. .5,0, Ул/ = Рл/+і.

Условия корректности и устойчивости данного метода формулируются так: пусть коэффициенты системы трехточечных уравнений действительны и удовлетворяют условиям |6о| > 0, |ад/| > 0, |со| > 0, |сд/| > > 0, |а,| > 0, \Ь,\ >0, і = 1,2,...,N - 1, а также |с,| > |я,| + \Ь,\, і = = 1,2,...,N—1, |со| > |?о|, 1сл/| > |«л/1, причем хотя бы в одном из последних соотношений выполняется строгое неравенство Тогда для метода прогонки имеют место неравенства с, — а,а, / 0, |а,| < 1, і — 1,2,...,/V, гарантирующие корректность и устойчивость метода.

При решении систем разностных уравнений используются другие типы метода прогонки (метод встречной прогонки, потоковый вариант метода прогонки, метод циклической прогонки, метод матричной прогонки и др.).