3. Специальные функции
При решении уравнений математической физики и краевых задач для них не всегда удается обойтись запасом стандартных элементарных функций. Каждое уравнение порождает класс решений, которые не всегда являются элементарными функциями.
При этом среди неэлементарных функций, встречающихся при решении наиболее простых и наиболее важных уравнений, есть функции, появляющиеся многократно, и потому хорошо исследованные и получившие те или иные названия. Такие функции принято называть специальными функциями. Как правило, они являются собственными функциями конкретных задач математической физики. Чаще всего это функции одного переменного, возникающие при разделении переменных, как, например, собственные функции оператора Штурма- Лиувилля L видаLy=-(k(X)y'Y + q(x)y
на некотором конечном или бесконечном интервале. Особенно часто встречается случай, когда функция k(x) обращается в нуль по крайней мере на одном из концов этого интервала. В этом разделе рассматриваются некоторые наиболее важные специальные функции [25].
3.1. Сферические функции. Сферической функцией порядка к = = 1,2,-.- называется сужение на единичную сферу S"-1 С R" однородного гармонического в R" полинома степени к. Вид сферических функций можно найти с помощью метода разделения переменных.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в единичном шаре пространства R3:
Дм = 0 при r< 1, и (г, 9, ф) = /(0, ф) при r= 1.
Здесь (г, 0, ф) — сферические координаты в R3.
Рассмотрим решения уравнения Лапласа, имеющие вид и(г, 0, ф) = = R(r)Y(6, ф). Для определения R получаем уравнение Эйлера
r2R" + 2rRl-XR = 0,
а для определения К(0, ф) — уравнение
1 Э / дУ\ 1 Э2Y , —г ^г sinG— +—j-—-,+XY = 0, sin0 Э0 V Э0/ sin2 0 Эф2
причем функция Y должна быть ограниченной при 0 < ф < 2п, 0 < в < п и периодической по ф.
Решение такой задачи для функции К(0, ф) также ищем методом разделения переменных, полагая К(0,ф) = 0(0)Ф(ф).
Это приводит к урав-нениямФ" + дФ = О,
sinG dB V dQJ V sin 0'
Из условия переодичности функции Ф(ф) следует, что ц = т2 и Ф(ф) = = с\ cos тф + С2 sin шф, где m = О,1,... Функция 0 должна быть ограниченной при 0 = 0 и 0 = я. Пусть cos(p = t, 0(0) = X(t). Получаем уравнение
Решения этого уравнения, ограниченные при |/| < 1, существуют только при X = к(к+ 1), где к — целое число, т = 0, +1,..., + к, и называ-
ются присоединенными функциями Лежандра Рк '(t). Эти функции (при каждом фиксированном т = 0,1,...) образуют полную ортогональную си-стему на отрезке {/: |r| < 1}.
Каждое решение уравнения Лапласа в шаре вида R(r)Y(Q, ф) совпадает с одной из шаровых функций м = ф), где К*(0, ф) — сферические
, ^ / V
функции: Кх(0, ф) = km cos т<р + В km s№m Решение задачи Дирихле имеет вид м(г,0,ф) = ф), где коэффициенты Акт и Вкт подобраны так, что К*(0, ф) =/(0, ф). Функции Yk(Q, ф) образуют ортогональную систему на сфере. Сферические функции в R" обладают аналогичными свойствами. Если записать оператор Лапласа в сферических координатах: А Э2 п - 1 Э 1 . г дг2 Г дг где 8 — оператор Лапласа-Бельтрами на сфере: QX = 1; ^ = (sin0i Біпвг - -. sin07_i)2, J > 2, то получим, что сферические функции Yk>n(w) удовлетворяют уравнению 8Kjt„(w) — k(k + п — 2)KJt)„(w) =0. Таким образом, Ykn(w) являются собственными функциями оператора 8 с собственным значением Хк = = k(k + n — 2). Кратность этого собственного значения равна тк>п. Будучи собственными функциями симметричного оператора 8, сферические функции различных порядков ортогональны в LziS"'1). Система сферических функций полна в Lp(S"~l) при любом р, 1 < р < 3.2. Полиномы Лежандра. Полиномы Лежандра тесно связаны с оператором Лапласа и могут быть определены следующим способом. Пусть х, у — точки в R3 и 0 — угол между их радиусами-векторами. Тогда |дг-у|2 = |дг|2 + |_у|2 - 2\х\ |y|cos0. Фундаментальное решение оператора Лапласа в R3 имеет вид - ¦ Функция V(p,/) = (1 + р2-2р0_1/^2, где 0 < р < 1, -1 *=о то коэффициенты Pk(t) и будут полиномалш Лежандра. Справедливы рекуррентные формулы (к+ l)Pk+i(t) -t(2k+ l)Pk(t) + + kPk-X(t) = 0, P'k+i(t) ~2іҐк(і) +Pl_{(t) = Pt(t), откуда следует, что (1 -t2)P'k'(t) - 2гҐк(()+к(к- 1 )Pk(t) = 0. Таким образом, полиномы Pk(t) являются собственными функциями в задаче Штурма-Лиувилля для оператора L: с собственными значениями —к(к+ 1). Роль граничных условий здесь играет условие конечности _у(1) и у(-1), т.е. условие офаниченности решения при t 1 - 0 и при / -»• -1 + 0. Степень полинома Pk(t) равна к при к = 0,1,... Поэтому полиномы Pk(t) образуют полную систему на [-1,1]. При этом справедливо 8 В И Агошков и др равенство J PK(t)PI{t)dt = 0 при к ф I. Отсюда следует, что уравнение Ly — Ху не имеет нетривиального ограниченного на [—1,1] решения при Хфк(к+1). Непосредственной проверкой можно убедиться, что верна формула Ро- дрига «м-йїггіе'-'Л- Функции p[m\t) = (1 -t2)m/2^mPk{t), т = 0,удовлетворяют уравнению Лежандра (1 — t2)y" — 2ty' + Ху = 0 и ограничены при |/| < < 1, если = Функции ПРИ к = т,т+ 1,... образуют полную ортогональную систему функций на отрезке [—1, 1]. 3.3. Цилиндрические функции. Многие задачи математической физики приводят к обыкновенному дифференциальному уравнению х2у"+ху' + (х2-п2)у = 0, (6) которое называется уравнением Бесселя. Решения этого уравнения называются цилиндрическими функциями п-го порядка. Рассмотрим уравнение Бесселя (6), где п = v — произвольное вещественное число. Его решение можно искать в виде у = ха ajxl¦ Подставляя этот ряд в уравнение, получим a2k = (-l)k- ^ , a2k-1=0, А: =1,2,... Если v ф —т, где т — натуральное число, то коэффициенты а2к определены для всех к. а2к = (-1)* 1 22k+vr(k+\)r(k + v+l)' При v > 0 ряд Х\ 2k+v А (7) МХ) ~ ?0{~1)kr(k+l)r\k + v+l) (2) *=о сходится на всей прямой (и даже на всей комплексной плоскости). Его сумма Jv(x) называется функцией Бесселя первого рода v-ro порядка. Наиболее часто в приложениях встречаются функции У1^ = 2"(2!) (2) + (2!3!)(2) Функция Jv(x) при v > 0 имеет в точке х = 0 нуль порядка v, а функция y_v(jc) — полюс порядка V. При v = 0 функция Jo(x) принимает в точке д: = 0 конечное значение. Каждое решение уравнения Бесселя при п — = 0, линейно независимое с УоС*), имеет в точке х = О логарифмическую особенность. Можно выделить другие важные классы цилиндрических функций. Так, функцией Неймана, или цилиндрической функцией второго рода, на-зывается решение Nv(x) уравнения Бесселя, для которого при х—»• °° Функциями Ханкеля первого и второго рода Ну\х) и Н^2\х) называются цилиндрические функции, ДЛЯ которых при X —? о° Важную роль в математической физике играют функции Бесселя от мнимого аргумента. Функция Iv(x) = i~vJv(ix) может быть определена как сумма ряда: ~ 1 /X\2k+v /v(x) = r(k+l)F(k + v + l) V2/ или как решение уравнения X \ X" ограниченное при х = 0 (при v = 0 накладывается условие /v(0) = 1). 3.4. Полиномы Чебышева, JIareppa и Эрмита. Решения уравнения a w aw і (\-z2)—-z— + n2z = 0, -1 < z < 1, . d2w dw ~d?~Z~dz имеющие вид Tn(z) = cos(warccosz), Un{z) = sin(«arccosz), называются полиномами Чебышева 1-го и 2-го рода. Полиномы Чебышева 1-го рода могут быть определены с помощью производящей функции I-/2 = 7b(z) + 2?W- l-2rz + /2 „=1 Они удовлетворяют рекуррентным соотношениям Tn+l{z)-2zTH(z) + Tn-i(z) = 0 и соотношениям ортогональности }тп{?)тт{?) d_ I У/Ї^? О, если тфп, j, если т = пф О, я если т = п = О. Среди всех полиномов п-й степени со старшим коэффициентом 1 полином 2l~"T„(z) выделяется тем, что он менее всего уклоняется от нуля на отрезке [—1,1]. Приведем несколько первых полиномов Чебышева: 7о(г) = 1, 7Нг)=г, T2(z) = 2z2-l, 7з(г) = 4г3 - Зг, ВД = 8z4 - 8z2 + 1. d2w , , .dw : —у + (а +1 - z) — + nw - О, dz dz где п = 0, 1,2,..., а Є С, называются полиномами Лагерра. В частности, этому уравнению удовлетворяет функция Lf)(z) = Полиномы Лагерра можно найти с помощью производящей функции: П\ и=О Дифференциальное уравнение d2w - dw -^r -2z—+ 2nw - 0 dz2 dz при n = 0, 1,2,... определяет полиномы Эрмита h„(z) = (- Полиномы Эрмита связаны с полиномами Лагерра соотношениями: Hbn(z) = (-l)m2 2mLi~i/2\z2), H2m+l(z) = (-1Г2 2m+1zi!/2)(z2)- Производящей функцией для полиномов Эрмита служит функция fit nLo ? Функции D.(z)= 2-/^/4 называются функциями параболического цилиндра. Они удовлетворяют уравнению d2w / 1 z2\ — + (л + - - —) w = 0. dz2 V 2 4 / Эти функции, как и полиномы Эрмита, образуют полную ортогональную систему функций на прямой. 3.5. Функции Матье и гипергеометрические функции. Функции Матье, или функции эллиптического цилиндра, — это решения уравнения Матье 1 d w , , .. - -JJ + (а - 4*7 cos (2z) )w = 0. Периодическими функциями Матье называются решения этого уравнения, имеющие период 2я. В этом случае а можно рассматривать как собст- 1 И2 венное значение оператора 4-^-у — 4ocos(2z) с периодическими услови- 4 dz ями. Для каждого вещественного q имеется бесконечная последовательность собственных значений, которым соответствуют собственные функции (p„(z,q). Эти функции являются целыми по г и образуют на отрезке [0, 2л] полную ортогональную систему. Конфлюэнтными гипергеометрическими функциями называются реше-ния вырожденного гипергеометрического уравнения d2w dw z —ї + (с - z) — aw — 0. dz dz При с = 2a эти функции являются функциями Бесселя, при с = 1/2 — функциями параболического цилиндра, при а = -п — полиномами Jla- герра. Если с Ф 0,-1,— 2,..., то этому уравнению удовлетворяет функция Куммера v{a,c,z) с и с(с+1)2! с(с+ 1)(с + 2) 3! Гипергеометрические функции — это решения гипергеометрического уравнения z{\-z)^- + {c-(a + b+\)z)^--abw=Q, dz dz где a,b,c — комплексные параметры. Это уравнение изучалось Эйлером, Гауссом, Риманом, Клейном и многими другими. Ему удовлетворяет гипергеометрический ряд Гаусса и( і \ і , V (а)п(Ь)п п сходящийся при |z| < 1. Здесь (я)о=1, (а),, = Г^у') = а{а +1) ¦ ¦ ¦ [а + п - 1), п = 1,2,... Функция Куммера получается из F предельным переходом: Ф(а, с, z) = lim F(a, b, с, z/b). ь-* ~ Отметим, что F (/і + 1, —n, 1, 1/2 - z/2j при натуральном n совпадает с полиномом Лежандра. Присоединенные функции Лежандра получаются из F, если 2с = а + b + 1.