6.6. Распределение молекул по скоростям
 |
Скорость каждой молекулы, участвующей в хаотическом движении, как и любая векторная величина, характеризуется направлением и абсолютным значением.
И то, и другое у каждой молекулы свое, и, кроме того, меняется после каждого удара. Модуль скорости может быть выражен через его проекции (рис. 6.8.) следующим образом: . | (6.54) |
Значит, вероятность того, что модуль скорости будет иметь определенное значение, зависит от вероятностей иметь выбранные определенные значения ее проекций, то есть будет вероятностью сложного события. В случае независимых событий вероятность сложного события равна произведению вероятностей простых событий:
| dw1 = dwxdwydwz . | (6.55) |
Поскольку вероятности простых событий можно найти по известным теперь нам функциям распределения:
 ;  ;  , | (6.56) |
то вероятность того, что модуль скорости приобретет выбранное нами значение, будет определяться выражением :
 . | (6.57) |
Произведение 
дает объем dw бесконечно малого кубика, в который упирается конец вектора скорости, а произведение функций распределения можно заменить произведением их значений:
 . | (6.58) |
С учетом выражения (6.54) получим:
 . | (6.59) |
Индекс 1 введен потому, что полученная нами вероятность dw1 характеризует возможность появления молекулы c выбранной нами абсолютной величиной скорости при одном, фиксированном ее направлении.
В действительности же направление движения молекулы меняется, то есть скорость ее должна быть изображена не одним вектором, как на рис. 6.8, а их совокупностью, как на рис. 6.9. |
В этом случае концы векторов образуют сферу радиусом u, а если скорости задать приращение du, сфера будет чуть большего радиуса u + du. Между двумя сферами образуется слой толщиной du. Если вероятность dw1 пропорциональна объему dw, то теперь, когда совокупность всех возможных векторов скорости упирается в сферический слой, она должна быть пропорциональна объему этого слоя. Радиус слоя равен u, значит объем его равен 4pu2du и вероятность
 . | (6.60) |
Эта вероятность больше, нежели dw1 по вполне понятным причинам: она характеризует вероятность найти молекулу с выбранной величиной скорости, летящую не в одном определенном, а в любом произвольном направлении.
Полученное соотношение дает нам искомую функцию распределения молекул по скоростям. Ею будет все выражение в правой части равенства (6.60, стоящее перед интервалом du случайной величины.
В итоге мы имеем теперь три функции распределения: первая найдена подбором в соответствии с двумя условиями (см. вывод уравнения (6.41)); вторая и третья – как коэффициенты пропорциональности между вероятностью dw и соответствующим интервалом du случайной величины в уравнениях (6.59) и (6.60) соответственно. Выпишем их отдельно:
 ; | (6.61) |
 ; | (6.62) |
 . | (6.63) |
Первые две функции монотонно убывающие, как того и требовало одно из условий при их подборе. Третья функция представлена произведением двух конкурирующих сомножителей: убывающего сомножителя 
и возрастающего сомножителя u2. Функция в этом случае должна иметь экстремум.