1.8. Расчёт действия зон Френеля методом векторных диаграмм

Этот расчёт основан на том факте, что интенсивность света, как и плотность его энергии, пропорциональна квадрату амплитуды суммарной напряжённости полей, принесённых светом в т. А от всех точек волнового фронта за препятствием.

Подобную задачу мы уже решали, рассматривая интерференцию света от двух источников в параграфе 1.2. Метод векторных диаграмм можно использовать и здесь, но та диаграмма (см. рис. 1.4) для этого непригодна из-за множества амплитуд, которые нужно просуммировать. На рис. 1.16 построены векторные диаграммы для трёх важных ситуаций, на которых вектора складываются цепочкой, а не с помощью параллелограмма, как при интерференции двух волн.

Для построения каждая зона мысленно разбивается на более узкие кольца. Так как фазы начала и конца любой зоны Френеля отличаются на p, то волны от соседних колец приходят в центр экрана (в точку А) с разностью фаз Dj = p/N, где N — число колец, на которое разбивается каждая зона.

Если принять фазу световой волны, пришедшей из центральной точки волнового фронта, равной нулю, то направление вектора амплитуды этой волны совпадает с опорной осью. Значит, опорная ось задает фазу этого колебания. Луч, пришедший из ближайших к центральной точек экрана, несколько длиннее центрального. Разность длин лучей (разность их хода) порождает и разность фаз. Векторы амплитуды, принесённые не центральными лучами, будут направлены под разными углами к опорной оси. К нулевой фазе, заданной опорной осью, добавляется разность фаз, которая, как следует из выражения (1.10), пропорциональна разности хода D = l – l₀ .

По мере удаления вторичного точечного источника от центра зоны длина вышедшего из него луча будет постепенно возрастать, соответственно будет расти и разность фаз  по отношению к центральному лучу.

Результирующий вектор соединяет начало первого малого вектора с концом последнего (см. рис. 1.16а). Видно, что длина результирующего вектора приблизительно в p/2 раз меньше, чем если бы складываемые вектора не отличались друг от друга по фазе. На первый взгляд, диаграмма представляет из себя полуокружность с диаметром А₁. Но это не совсем так: длина складываемых векторов постепенно уменьшается. Происходит это потому, что угол падения лучей постепенно возрастает по мере удаления луча от центрального. Падает интенсивность, а значит и напряжённость поля, принесённого этими лучами.

Действие второй зоны Френеля находится аналогично и даёт вторую полуокружность, у которой форма тоже неправильная, вследствие чего конец последнего вектора находится несколько выше начала диаграммы (см. рис. 1.16б). Сам же последний малый вектор направлен параллельно начальному вектору диаграммы, поскольку разность длин лучей l₂ – l₀ = l, что соответствует разности фаз в 2p.

Разность длин крайних лучей этой зоны составляет полволны, значит, суммируя действия векторов только кольцевой зоны, мы получим вектор , направленный противоположно , и немного короче последнего. Суммирование этих векторов (рис. 1.17) даёт вектор , длина которого близка к нулю, и в центре дифракционной картины будет минимум интенсивности, то есть тёмное пятно. Следовательно, соседние зоны Френеля гасят друг друга. Поэтому, если в отверстии укладывается чётное число зон, в центре экрана будет минимум. При нечётном числе зон в центральной точке экрана наблюдается максимум.

Продолжая построение векторной диаграммы для бесконечного числа открытых зон Френеля, получим, что результирующая амплитуда от одной центральной зоны будет вдвое больше суммарной амплитуды от всех зон (см. рис. 1.16в). Интенсивность I₁ соответственно в 4 раза больше, чем I_∞. Следовательно, основное количество света проходит через центральную зону, то есть напрямую от источника света к приёмнику.