2.6. Работа электростатических сил. Потенциальность поля

Вводя понятие напряжённости (2.1), мы связали её с величиной механической силы , появляющейся при внесении любого заряда в электростатическое поле.

На рис. 2.10 показано поле точечного заряда Q, в котором перемещается другой точечный заряд q. По определению, работа по его бесконечно малому перемещениюможет быть найдена как скалярное произведение силы , совпадающей по направлению с напряжённостью, на это перемещение:

.

(2.39)

Нетрудно заметить (см. рис. 2.10), что dlcosa » — изменению расстояния между зарядами, взятому по силовой линии. Тогда элементарная работа поля:

,

(2.40)

т.е. работа электрического поля не зависит от траектории, по которой перемещается заряд q, а определяется лишь изменением расстояния между зарядами. Это очень важное свойство электростатического поля сохраняется и при конечных перемещениях (не бесконечно малых). Покажем это на примере поля точечного заряда Q, вычислив работу этого поля при перемещении в нём другого точечного заряда q из точки 1 в точку 2 (см. рис. 2.10):

,

(2.41)

где r₁ и r₂ соответственно начальное и конечное расстояние заряда от создающего поле заряда .

На рис. 2.11 показано перемещение заряда под действием поля по двум кривым l₁ и l₂. Из-за того, что начальные и конечные точки их одинаковы, равны и работы по перемещению зарядов по этим кривым. Если же заряд будет перемещаться по замкнутому контуру, как это показано стрелкой внутри контура, то работа на участке l₁ будет положительной, поскольку совершается силами системы, а на участке l₂ — отрицательной (против сил системы).

Вся работа по замкнутому контуру будет равна нулю. Последнее следует и из общих соображений закона сохранения энергии и невозможности вечного двигателя. Действительно: пусть при перемещении заряда по замкнутому контуру силы поля совершают положительную работу A, но при этом вся система возвращается в первоначальное состояние. Повторяя этот обход произвольное число раз, мы всякий раз совершали бы работу без изменения энергии системы, т.е. осуществили бы вечный двигатель.

Работу по рассматриваемому контуру можно вычислить интегрируя (2.39):

,

(2.42)

что приводит к равенству, которое выражает потенциальность электростатического поля:

, либо .

(2.43)

В физике и теории поля все поля делят на два типа: потенциальные и вихревые. Отличительным признаком потенциальных полей являются как раз то, что выше мы отметили у электрического поля: независимость работы от формы пути и, как следствие, равенство нулю работы по замкнутому контуру, т.е.

Заканчивая этот вопрос, мы предлагаем каждому убедиться, что на приведённых выше рисунках поле может быть принято за элемент поля заряженной сферы, шара, нити. В последнем случае рисунок даёт картину силовых линий при её изображении сверху. Заметим ещё, что электрическое поле — не единственное потенциальное поле, известное нам из пройденного уже курса физики. Работа по замкнутому контуру равна нулю (не зависит от формы пути) ещё и для поля тяготения. Это поле, как нам известно, тоже способно совершать работу по перемещению тела.

Рассмотрим пример. Пусть тело массой m поднято над поверхностью Земли на высоту h (рис. 2.12). Работа, совершённая против силы тяжести, пошла на увеличение потенциальной энергии тела, равное этой работе. Если потенциальная энергия тела у подножия наклонной плоскости была равна нулю, то в случае, когда оно поднято на высоту h, эта энергия будет равна mgh.

Поднимая это же тело по наклонной плоскости, мы получаем выигрыш в силе: для подъёма теперь достаточно силы, равной mgsina (на тело действуют две силы — и , а упомянутая сила есть их сумма). Но работа по поднятию груза остаётся прежней, так как путь l = h/sina увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается сила. Поэтому, подняв тело массой m вдоль наклонной плоскости, мы увеличим его потенциальную энергию на ту же самую величину, что и раньше. Никакой механизм не позволяет получить выигрыш в работе при перемещении тела относительно Земли. Последнее положение известно в физике давно и названо золотым правилом механики.

Тот факт, что работа сил тяготения (или против них) не зависит от формы траектории, а определяется лишь конечной и начальной точками, эквивалентен утверждению: работа по замкнутому контуру в поле тяготения равна нулю. Следует обратить внимание ещё на то, что равенство нулю потенциальной энергии у основания плоскости весьма условно: потенциальная энергия взаимодействия определяется с точностью до произвольной постоянной. Например, если за нуль принять потенциальную энергию взаимодействия Земли и тела массой m на бесконечно большом расстоянии, то на поверхности Земли она будет равна –, где R — радиус Земли. Но практически эта величина никогда не учитывается, поскольку работа от нее не зависит, а определяется взятым с противоположным знаком изменением энергии: когда работа по поднятию груза совершается внешними силами, ΔW положительно (энергия возрастает), когда опускающийся груз совершает работу, энергия уменьшается и приращение ΔW отрицательно.