4. Проекционные методыОбширный класс методов приближенного решения уравнений вида Аи = / использует следующий ПОДХОД: решение ищется В виде UN = = где коэффициенты а, определяются из условия равенства
нулю проекции невязки RN — AUN — / на линейную оболочку базисных функций \|/,, і — 1,2,..., /V, вообще говоря, отличных ОТ ф,. Одним из частных случаев этого условия является требование ортогональности г^ ко всем \|/,: (r/y,vjf,) = (AUN — f, Vi) = 0) ' = 1,2,...,N.
Поскольку подобные методы не связаны непосредственно с минимизацией какого-либо функционала, то их относят к классу проекционных методов. Одними из наиболее часто применяемых в практических вычислениях являются такие представители этого класса, как методы Бубнова-Галеркина, Галеркина- Петрова, метод моментов, метод коллокаций.4.1. Метод Бубнова-Галеркина. Основным недостатком метода Ритца является то, что он применим только для уравнений с симметричными положительно определенными операторами. От этого недостатка свободен метод Бубнова-Галеркина (иногда его называют просто методом Галеркина).
4.1.1 Метод Бубнова-Галеркина (общий случаи) Пусть в гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение
Аи = /, / Є Я, (41)
где А — линейный оператор с областью определения D(A), который может не быть симметричным, ограниченным и положительно определенным. Метод Бубнова-Галеркина построения приближенного решения уравнения (41) состоит в следующем:
выбираются базисные функции {ф,}, і = l,...,N, ф, Є D(A);
приближенное решение ищется В виде UN = [ аіфм
коэффициенты а, определяются из условия ортогональности невязки AuN-f к фі,... ,ф/у: (AUN- /,ф,) =0, /= 1 или
N
?(Ф.,АФ*Н=(/,Ф,), ,= l,...,N. (42)
Отметим, что уравнения (42) по форме совпадают с соответствующими уравнениями алгоритма Ритца (если ф, Є D(A)). Таким образом, если А — симметричный положительно определенный оператор, то методы Бубнова-Галеркина и Ритца совпадают.
Обозначим через Ядг линейную оболочку системы {ф,}, і — 1 ,...,N, ф, Є D(A), а через AHN — линейную оболочку функций {Лф,}.
Заметим, что если однородное уравнение Аи = 0 имеет только нулевое решение, то функции Афі,...,Афлг линейно независимы. Обозначим через PN оператор ортогонального проектирования на HN¦ Нетрудно показать, что требование равенства нулю ортогональной проекции Фі = />дгФ некоторого элемента Ф є Н эквивалентно системе (Ф, <р,) = 0, і = 1,2,... ,N. Таким образом, система (42) эквивалентна одному уравнениюPnAuN - PNF,
которое широко используется при изучении сходимости общего случая алгоритма Бубнова-Галеркина.
Пусть рЦ\ fffi — операторы ортогонального проектирования на HN , AHN соответственно. Введем обозначение
т -minlli-^li
xN = min ———, Vyv ||vW||
где vN Є AHn, VN Ф 0. Теорема 4. Пусть:
Тдг > т > 0, где постоянная т не зависит от N;
система {ф,} А-плотная.
Тогда последовательность {А«дг} сходится к Аи при любом / ЄН; при этом имеет место оценка
\\Au-AuN\\ < (і + і.) IIf-p^fU < (і + Wf-P^fW.
Если же существует ограниченный оператор А-1, то имеет место сходимость «дг к и при N °° и справедлива оценка погрешности
- < \\A~l\\ (l + ^ Wf-P^fW-
Таким образом, если в общем алгоритме Бубнова-Галеркина удается оценить снизу величину XN > т > 0, то можно доказать сходимость невязки г/у = AUN — f к нулю, а также I [«,v] + (B«,v) = (/,v) VvEHA, (43) которое допускает введение обобщенной постановки задачи (41). Определение. Функцию « Є НА назовем обобщенным решением уравнения (41), если и удовлетворяет (43). Предположим, что такое обобщенное решение существует. Сформулируем метод Бубнова-Галеркина для решения рассматриваемой здесь задачи: в НА выбираются базисные функции {ф,}, т.е. здесь достаточно, чтобы ф, принадлежали НА (а не D(A)); приближенное решение UN ищется В виде UN = Х,= 1а,<Р'> коэффициенты а, определяются из системы уравнений вида [илг»Ф.] + (ЯИЛГ,Ф,) = (/>Ф,)) i=l,...,N, (44) или, в матричной форме, Аа = /, где А = (Ач), Ач — [ф7, ф,] + (Вф7, ф,) = = (/> Фі), a=(Au...,aN)T, /= (F{,-..,/N)T, /« = (/, Фі)- После определения а из системы Аа = f строим приближенное решение по формуле S n Теорема 5. Пусть (41) имеет единственное обобщенное решение и оператор Т = А~1 В вполне непрерывен в НА- Предположим также, что последовательность подпространств HN, являющихся линейными оболочками {ф,}, предельно плотна в НА- Тогда при достаточно больших N метод Бубнова-Галеркина дает единственное приближенное решение UN- Последовательность UN сходится по норме НА К обобщенному решению и, а также справедливы оценки вида г n , лг mm и - < [илг-и] < (1 +eN) mm и - ?с,ф, , r' L ,= i 1 Cl L ,= 1 1 где EN 0 при N Справедливо также следующее утверждение. Теорема 6. Пусть: уравнение (41) имеет единственное обобщенное решение и ? НА', форма а(и, v) = [«, v] + (Ви, v) является НА -определенной и НА-ограниченной, т е для нее выполнены соотношения а(и, и) > YoW2, а(и, v) < V?["]M, Yo, Yi = const; последовательность подпространств {HN}, где HN — линейная оболочка функций {ф,}, І — 1 ,...,N, предельно плотна в НА, т е Г N 1 min и- < е(и, N) -»• 0, N-ь со, ° L ,=i J где г(и, N) — оценка погрешности аппроксимации Тогда при любом конечном N система (43) однозначно разрешима, приближенное решение UN сходится к и при N °° в метрике [•], а также справедлива оценка погрешности [м — UN] < сє(м, N), где постоянная с не зависит от N. Заметим, что в рассматриваемом случае метода Бубнова-Галеркина базисные функции (так же, как и в методе Ритца) можно выбирать не удовлетворяющими краевым условиям, если они оказываются естественными. Au + Bu = f, /ЄН, (45) где оператор А является К-положительно определенным (или положительно определенным в обобщенном смысле), т. е. (Аи, Ки) > ТЧІИІІ2, (Аи, Ки) > р2||К«||2, где Р, у — постоянные, Р,у > 0, и Є D(A). Метод моментов приближенного решения (45) состоит в следующем: выбирается базисная система {ф,} С D(A); приближенное решение un ищется в виде un = а,ф,; коэффициенты а, определяются из системы уравнений (AuN + BuN-f,Kq>j)= 0, j=l,...,N. (46) Отмечаем, что в силу ^-положительной определенности оператор А обладает ограниченным обратным оператором: ||А_1|| < 1/(YP), А также число (Аи, Ки) вещественно и имеет место свойство (Аи, Kv) = (Ки, Av) VM, V Є D(A). На основании этих свойств на D(A) можно ввести скалярное произведение (И, V)K = (Au,Kv), к, v Є D(A), в силу чего D(A) после пополнения превращается в гильбертово пространство Нк с нормой Определение. Элемент и Є Нк назовем обобщенным решением уравнения (45), если он удовлетворяет равенству (u,v)K + (Tu,v)K = (f1,v)K Vv Є Нк- (47) Очевидно, что если элемент и удовлетворяет (45), то он является также и обобщенным решением (обратное, вообще говоря, неверно). Теперь систему (46) можно записать в виде N ?[(Ф"Ф> + (ВФ<>ЗД]Я. = (/>КФД у = 1,... (48) /=і Алгоритм (48) можно рассматривать как процесс определения приближенного обобщенного решения Un- Теорема 7. Пусть уравнение (45) имеет единственное обобщенное решение и оператор Т = А~]В вполне непрерывен в Нк- Тогда: существует такое целое No, что при любом N> No система (48) имеет единственное решение а,; приближенные решения UN сходятся в Нк (а также в Н) к решению уравнения (45) 4.3. Проекционные методы в гильбертовых и банаховых пространствах. Проекционный метод в гильбертовом пространстве Пусть в гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение Au = f, /ЄЯ, (49) где А — вообще говоря, неограниченный оператор, действующий в Я и обладающий ограниченным обратным оператором А-1. Введем в Я линейно независимую систему {ф,}. Соответствующие N-мерные подпространства, порождаемые {ф,}, обозначим через Мы- Предположим, что последовательность {Мн} предельно плотна в Я. Зададим последовательность проекционных операторов Рн, каждый из которых отображает Я на соответствующее пространство М^. Предположим в дальнейшем, что \\PN\\ <с, N = 1,2,... (Здесь PN не обязательно являются ортопроекторами, т. е. от них требуется лишь выполнение свойств P2N = PN, PNH = MN.) Введем также линейно независимую систему {ф,}, ф, Є D(A). Подпространства, порождаемые {ф,}, обозначим через в Я/у, а линейную оболочку системы {Аф,} — через АЯ/у. Предположим, что последовательность подпространств {АЯ/у} предельно плотна в Я и для любого элемента и Є Я Є/у(к, N) = inf Цк-к/vll ->-0, N -»¦«>, uNeAHN- ИN Приближенное решение задачи (49) ищем в виде UN = а,Ф" где а' определяется из уравнения PnAuN = PNF. (50) Теорема 8. Пусть для любого N и любого элемента v Є AHN имеет место неравенство x||v|| < ||P/vvll> где постоянная т > 0 не зависит от N. Тогда при любом N уравнение (50) имеет единственное решение идг = ^ а,ф,, причем невязка AUN — / стремится к нулю при N -4 °° и справедливы оценки < ЦАи/v —/|| < (1 +с/т)є(/,N), где є(/, N) = INFFY ||/-/v||, fN Є AHN- Метод Галеркина-Петрова Рассмотрим уравнение (49). Алгоритм приближенного решения этого уравнения состоит в следующем: задаются два, вообще говоря, различных базиса {ф,} С D(A), {V,} С Я; приближенное решение UN ищется В виде UFJ = Я|ф|,; коэффициенты а, определяются из системы уравнений (AuN+BuN-f,y,)=0, i=l,...,N. (51) Этот метод является также частным случаем сформулированного в п. 4.3.1 проекционного метода. Действительно, пусть в (50) оператор Рн есть ортопроектор на линейную оболочку Mfj функций Тогда уравнение (50) эквивалентно системе уравнений (Айн — /, = 0, і = 1,... Рассмотрим теперь специальный набор базисных функций {\|/,} в методе Галеркина-Петрова (при котором этот метод иногда называют методом интегрирования по подобластям). Пусть Н — L.2(Q), где ?2 — область т-мерного евклидова пространства, Ни — линейная оболочка {ф,}. Базис {\j/,} здесь уже имеет конкретный вид. Разобьем ?2 на N подобластей Q.\,...,Q.N так, чтобы Ц* = = ?2, Qj ГШ, = 0 при і ф j. Обозначим через х Є ?2, характеристи ческую функцию области ?2*: \j/*(x) равно 1 при х? ?2* и 0 при Введем функцию Ук(х) = (l/vmes(?2*))\jjf/t(x), к= 1,...,jV, и примем за Мн подпространство, являющееся линейной оболочкой системы {4/4}. В этом случае (51) эквивалентна системе f,a,jA4>,dx = Jfdx, j=l,...,N. (52) ,= 1 Qj Qj Сходимость метода интегрирования по подобластям вытекает из теоремы 8. 4.3.3 Проекционный метод в банаховом пространстве Пусть Е и F — банаховы пространства (комплексные или вещественные). Рассмотрим уравнение Аи = /, (53) где А — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор с областью определения D(A) С Е и областью значений R(A) С F. Проекционный метод решения (53) заключается в следующем. Задаются две последовательности {?V} и {FN} : ENCD(A)CE, FNCF (N = 1,2,...), а также линейные проекционные операторы (проекторы) PN, проектирующие F на Fn-Ph = Pn, Pn/ = Fn (N = 1,2,...). Уравнение (53) заменяется при-ближенным уравнением PNAun = PNf, UN Є EN. (54) поскольку проектор Pfj имеет вид PfjU — lk(u)\\l,, гдє \|/i,...,v|//y — базис подпространства Fh, а /*(к) — линейные ограниченные в F функционалы, то, обозначая через фі,ф2,-• • ,(p/v базис в Ен, уравнение (54) сведем к системе линейных алгебраических уравнений N ?/,(Аф*)я* = /,(/), J = 1,2,...,N; (55) *=i при такой записи нет необходимости явно указывать подпространство FN, достаточно указать функционалы Определив м/v из уравнения (54) (или из уравнений (55)), его принимают за приближенное решение уравнения (53) Говорят, что последовательность подпространств {?/v} предельно плотна в Е, если для каждого w Є Е имеем P(w, EN) -4 0, N -4 где p(w, EN) = infwn&En ||W - Следующая теорема, установленная Г М Вайникко, дает обоснование сформулированному алгоритму Теорема 9 Пусть область определения D(A) оператора А плотна в Е, a R(A) — в F, и пусть А переводит D(A) на R(A) взаимно однозначно Пусть подпространства AEN и FN замкнуты в F, а проекторы PN ограничены относительно N Ц/^Н < С (N = 1,2, ) Тогда для того, чтобы при любом f Є F, начиная с некоторого N = = No, существовало единственное решение UN уравнения (54) и чтобы ||.Ак/у — /II -4 0, N -4 оо, необходимо и достаточно, чтобы соблюдались следующие условия последовательность подпространств AEN предельно плотна в F, при N > No оператор PN переводит AEN взаимно однозначно на FN, т = ]!m/v_>oo тN > 0, где тN = тГи,Л,Єі4?'Л,,||и.Л,||=і llfivHI Быстрота сходимости при соблюдении условий 1)-3) характеризуется неравенствами P(F, AEn) < \\Aun - /II < (L + ?-) P(F, AEn) V T n' (В случае, когда подпространства EN,FN конечномерные и их размерности совпадают условие 2) является следствием условия 3) ) 4 3 4 Метод колпокаций Пусть в уравнении (53) оператор А есть дифференциальный оператор порядка s, E = C^(Q), F = C(Q) Выберем последовательность линейно независимых функций фі ,фг, ,Ф/у, удовлетворяющих всем краевым условиям задачи Натянутое на (pi,(p2, ,ф/v подпространство примем за En, и пусть un — Х*=іа*Ф* ® области Q выберем теперь N точек Лы и положим lj(u) = u(t,j) Систе ма (55) в данном случае примет вид У = 1,2, ,N, (56) *=i а проекционный алгоритм в банаховом пространстве называется методом колпокаций Для обоснования метода коллокаций может быть использована теорема 9 Этот метод широко используется для приближенного решения интегральных и дифференциальных уравнений 4.4. Основные понятия проекционно-сеточных методов. Естественной и привлекательной является идея конструирования таких алгоритмов приближенного решения задач математической физики, которые, с одной стороны, по форме были бы вариационными или проекционными, а с другой — приводили бы к системам уравнений, подобным возникающим в разностных методах (т. е. незначительное число элементов матриц этих систем были бы ненулевыми). Такими алгоритмами являются проекционно-сеточные методы (которые называют также методами конечных элементов). Чтобы прийти к этим алгоритмам, достаточно в вариационных или проекционных методах в качестве базисных функций {ф,} брать функции с конечными носителями (финитные функции), т. е. такие функции, которые отличны от нуля лишь на небольшой части той области, на которой определено искомое решение задачи. Так, пусть рассматривается задача ~+u = f(x), хе (0,1), „(0) = «(!)= 0, (57) где f е L2(0,1), которая сводится к следующей вариационной задаче: і У(и) = inf У(у), где У(у) = f ((~)2 + u2-2uf)dx. ve?j(0,.) JWdxJ } Введем на [0,1] сетку xt — ih, і = 0,1,...,N, h — l/N, и функции вида X~X,-i X Є (jc,-!,*,), 1 і * 0, х?(х,-і,х1+х), которые и примем в качестве базисных. Будем искать приближенное решение В виде иы{х) = где коэффициенты определим с помощью вариационного алгоритма. В данном случае это можно сделать исходя из условий минимизации функционала У(к/у), т.е. методом Ритца о в пространстве И^(0,1) (которое является здесь и энергетическим пространством). Тогда для а\,.. получаем систему уравнений N-1 jaj=f„ i= l,...,N — 1. (58) Учитывая специфику выбранных базисных функций, легко вычислить вид элементов A,j, і, j = 1,... ,N — 1: A,j = k2\6\ _Л2+6' J = i-l>i+l> 0, |;'-i'| > l. Таким образом, применение вариационного алгоритма с рассмотренными выше финитными функциями привело нас к тому, что система уравнений (58) является системой некоторых разностных уравнений, близкой к 2 4? системе, возникающей в разностном методе. Матрица системы здесь также является трехдиагональной и, следовательно, удобна для численного решения (58). Кроме того, так как при построении приближенного решения мы исходили из вариационного алгоритма, то матрица А здесь будет заведомо симметричной. Кроме того, она положительно определена: Vі д ^ і Vі 2 ! 4 sin2 nil/2 Л Zj A.jd.dj > Anun 2j af, где Amn = -3—!— > 0. i,j=i 1=1 " Таким образом, свойства положительной определенности и симметричности оператора задачи здесь при применении проекционно-сеточного метода сохраняются, и проекционно-сеточный алгоритм обладает рядом хороших качеств как вариационного, так и разностного метода. Отметим другие привлекательные черты проекционно-сеточных методов. Так, коэффициенты а, в системе (58) зачастую несут ясную смысловую интерпретацию. Например, в рассмотренной задаче коэффициент а, равен значению приближенного решения в узле х,, умноженному на коэффициент y/h. Далее, оказалось, что финитные базисные функции в ряде случаев легко можно «приспособить» к геометрии области; тем самым устраняется одна из трудностей, возникающих в разностном методе. Кроме того, обращаем внимание на то, что если при решении рассматриваемой задачи надлежащим образом выбраны проекционный алгоритм и его базисные функции, то дальнейший процесс построения решения задачи происходит «автоматически» с применением электронно-вычислительных машин. Эти обстоятельства и ряд других обусловливают широкое применение проекционно-сеточных алгоритмов для решения самых различных задач математической физики: многомерных задач в областях со сложной геометрией границ, линейных и нелинейных задач, задач гидродинамики и аэродинамики, уравнений электродинамики и волновых процессов и многих других. И в большинстве случаев сохраняется основная идея этих методов, заключающаяся в применении проекционных (в том числе и вариационных) методов с использованием в них различного рода финитных функций, нашедших в настоящее время широкие приложения в теории аппроксимации.