§ 7.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи на движение центра масс не отличаются принципиально от задач на динамику материальной точки. Только в данном случае такой точкой является центр масс.

Действительно, в каких бы точках тела ни были приложены внешние силы, они однозначно определяют ускорение центра масс тела.

Тем не менее понятие центра масс глубже и информативнее, чем понятие материальной точки. Оно относится к реальным телам и системам тел. Тело может вращаться вокруг цент- pa масс, а отдельные тела системы могут совершать относительно центра масс перемещения, не влияющие на его движение.

Нужно помнить, что импульс системы равен ее массе, умноженной на скорость центра масс.

При решении ряда задач следует использовать формулы для определения координат центра масс, законы сохранения и ки-нематические соотношения. Задача 1

На тележке, стоящей на гладкой горизонтальной поверхности, ук-реплен однородный цилиндр, который может вращаться вокруг гори-зонтальной оси (рис. 7.21). На цилиндр намотана нить, к концу которой приложена горизонтальная сила F. Найдите ускорение тележки, если ее масса тл, а масса цилиндра т2.

Решение. Тележка с цилиндром — сложная система. Но в задаче требуется определить лишь ускорение тележки. Так как цилиндр однородный, то его вращение не меняет положение центра масс системы относительно тележки. Поэтому ускорение тележки совпадает с ускорением центра масс системы.

Действующие по вертикали силы тяжести и силы реакции опоры взаимно уравновешиваются. Вдоль горизонтали действует только сила F. Она-то и сообщает ускорение центру масс.

В проекциях на горизонтальную ось X теорема о движении центра масс запишется так:

(т, + т2)ах = Fx.

Так как при данном выборе оси X Fx = F, то

тп, + т2 О

ШШШШШ " Очевидно, что аг > 0 и тележка

А Л Рис.

имеет ускорение, совпадающее с положительным направлением оси X. Задача 2

На гладком горизонтальном столе лежит гантелька, состоящая из двух маленьких шариков, соединенных невесомым стержнем длиной I. Массы шариков равны т1 = 3т0 и т2 = 2т0. На один из шариков налетает кусочек пластилина массой т3 = т0 и прилипает к нему. Скорость пластилина и0 перпендикулярна стержню, соединяющему шарики(рис. 7.22, о). Определите, какая точка стержня после соударения будет двигаться с постоянной скоростью, и найдите эту скорость.

Решение. После столкновения с кусочком пластилина ган- телька начнет вращаться вокруг центра масс образовавшейся системы, а центр масс будет двигаться прямолинейно и равномерно в соответствии с законом сохранения импульса.

Импульс системы до и после соударения остается неизменным, так как силами трения можно пренебречь. Действующие по нормали к столу внешние силы взаимно уравновешиваются. Согласно закону сохранения импульса

m3v0 = (т1 + т2 + m,3)vc.

Отсюда видно, что скорость vc центра масс (точка С на рисунке 7.22, б) направлена в ту же сторону, что и скорость пластилина v(j до соударения.

Если ось X направить так, как показано на рисунке 7.22, то закон сохранения импульса в проекциях на эту ось запишется так:

m3vc = (пг1 + т2 + m3)vc.

Следовательно,

«с= g«V

Положение центра масс определяется по формуле (7.3.4):

_ (ml + m3)(l + у0) + m2yQ _ 2 Ус т1 + т2 + тг ~ + 31'

где у0 — координата второго шарика до начала движения ган- тельки (см. рис. 7.22, а). Центр масс находится на расстоянии 2/31 от второго шарика.

о Y' •— т3 т1 т3 Г — Vс Щт2 Wm2 а) X о Рис. 7.22 б) X

Задача З

Два одинаковых шарика массой т лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе и соединены невесомой пружиной с жесткостью k и длиной I. Третий шарик такой же массы движется со скоростью z3n по линии, соединяющей центры первых двух шариков (рис. 7.23), и упруго сталкивается с одним из них. Определите максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении.

Решение.

Дальнейшее движение системы происходит так: центр масс движется прямолинейно и равномерно, а шарики совершают колебания относительно центра масс.

Скорость центра масс определим по закону сохранения импульса:

mv0 = 2 mvc.

Отсюда видно, что скорость центра масс направлена в ту же сторону, что и скорость д0.

В проекциях на ось X закон сохранения импульса запишется так:

mv0 = 2mvc, vc = ^ v0.

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии.

Шарики движутся (колеблются) относительно центра масс. В моменты максимального и минимального растяжения пружины их скорости относительно центра масс равны нулю и кинетическая энергия системы равна

2 2 2 mvc mv0

Полная энергия системы равна кинетической энергии третьего шарика до соударения:

Следовательно, энергия деформированной пружины (потенци-альная энергия) как при максимальном расстоянии между ша-риками, так и при минимальном, согласно закону сохранения энергии, равна:

Jp ^ ^h 4 2 '

где |AZ| — модуль деформации пружины.

Пружина при этом сжата (или растянута) на величину

Таким образом,

Упражнение 13

Сообщающиеся сосуды одинакового размера укреплены неподвижно на тележке, которая может перемещаться по горизонтальной поверхности без трения (рис. 7.24). При закрытом кране в левый сосуд налита вода. Какое движение начнет совершать тележка в первый момент после открытия крана? Где окажется тележка, когда ее движение прекратится? Массой сосудов и тележки по сравнению с массой воды можно пренебречь.

Два одинаковых груза соединены пружиной. В начальный момент пружина сжата так, что первый груз вплотную прижат к стене (рис. 7.25), а второй груз удерживается упором. Опишите качественно движение системы грузов, которое они будут совершать, если убрать упор.

На закрепленный в вертикальном положении болт навинчена однородная пластинка (рис. 7.26). Пластинку раскрутили так, что она свинчивается с болта. Трение считать пренебрежимо малым. Как будет двигаться пластинка, когда она, покинув болт, начнет свободно падать?

На прямоугольный клин ABC массой М, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший по размерам клин BED массой тп (рис. 7.27). Определите, на какое расстояние х сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и точка D совместится с точкой С. Длины катетов АС и BE равны соответственно а и Ъ.

На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какие траектории будут описывать жук и центр обруча, если жук начнет двигаться вдоль обруча? Масса обруча М и радиус R, масса жука тп.

Для создания искусственной силы тяжести на пассивном участке полета две части космического корабля (отношение масс 1 : 2) развели на расстояние L между центрами масс частей и раскрутили вокруг общего центра масс. Определите период вращения, если искусственная сила тяжести, действующая на все тела в более массивной части корабля, в два раза меньше силы тяжести на Земле.

Космонавт массой тп приближается к космическому кораблю массой М с помощью троса, длина которого L. На какие расстояния lm и 1М переместятся космонавт и корабль до сближения?

На нити, перекинутой через блок с неподвижной осью, подвешены два груза массами т1 и тп2 (тп2 > тПу). Найдите ускорение центра масс этой системы.

На концах и в середине невесомого стержня длиной I укреплены одинаковые шарики. Стержень ставят вертикально и отпускают. Считая, что трение между полом и нижним шариком отсутствует, найдите скорость верхнего шарика в момент удара о горизонталь-ную плоскость.

На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой тп каждый. Кубики соединены пружиной жесткостью k.

Рис. 7.28 Рис. 7.29

Длина пружины в нерастянутом состоянии Z0. На правый кубик начинает действовать постоянная горизонтальная сила F (рис. 7.28). Найдите минимальное и максимальное расстояния между кубиками при движении системы.

Внутри сферы массой М и радиусом R находится небольшой шарик массой т. При отсутствии внешних сил шарик движется по экватору внутренней оболочки сферы. Период его обращения равен Т. Найдите силу давления шарика на поверхность сферы.

Две взаимодействующих между собой частицы образуют замкнутую систему, центр масс которой покоится. На рисунке 7.29 показаны положения обеих частиц в некоторый момент времени и траектория частицы массой mi. Постройте траекторию частицы мас-

1

сои т2, если т2= ^ т1.