3. Применение теории потенциала в классических задачах математической физики

3.1. Решение уравнений Лапласа и Пуассона.

3.1.1. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа

Дм = О (27)

возникает во многих разделах теории электричества, теплопроводности, диффузии, астрофизики, океанологии и физики атмосферы, при анализе других глобальных процессов.

Математически уравнение Лапласа имеет бесконечно много решений, так что для того, чтобы выделить из них одно физически осмысленное решение, необходимо на границе 5 рассматриваемой области V наложить дополнительные краевые условия.

u\s = 8, (28)

то говорят, что для функции и поставлена задача Дирихле. Если решение ищется внутри ограниченной области V, то говорят о внутренней краевой задаче, если же снаружи, то речь идет о внешней краевой задаче. Имеет место единственность решения внутренней задачи Дирихле (27), (28). Единственность решения внешней задачи Дирихле имеется лишь при дополнительном условии на решение: в трехмерном случае это — условие стремления к нулю на бесконечности, а в двумерном случае это более слабое условие стремления функции к конечному пределу на бесконечности.

Нетрудно видеть, что в случае трехмерного пространства для определенности внешней задачи Дирихле недостаточно требовать, чтобы и имела конечный предел на бесконечности. Действительно, положим, что некоторое количество электричества находится в равновесии на проводящей поверхности S. Такой электростатический потенциал простого слоя будет иметь некоторое постоянное значение С на поверхности S, причем нетрудно показать, что и(А) будет давать гармоническую функцию вне 5 и будет стремиться к нулю на бесконечности. Сама постоянная С будет также гармонической функцией вне 5 и будет иметь на 5 те же краевые значения, но она уже не стремится к нулю на бесконечности и, следовательно, возникает неединственность решения.

3.1.2. Решение задачи Дирихле в пространстве. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для области V, ограниченной поверхностью S. Будем искать ее решение в виде потенциала двойного слоя:

и{А) = // Р (Pf-^^-dS, г=\АР\, (29)

где г = АР, п — направление внешней нормали в точке Р поверхности. Искомой является плотность p(Z'). Согласно (23) внутренняя задача Дирихле с краевым значением = f(P) равносильна следующему интегральному уравнению для плотности p(Z'):

f(A) = Hp(P)C-^^-dS+2np(A), г = АР.

S

Вводя ядро

можно переписать последнее уравнение в виде

р(Л) = hf{A)+II p(p)K(A'p)ds- (3°)

Отметим, что ядро К(А;Р) несимметрично, поскольку нормаль берется в точке Риг обозначает направление АР. Интегральное ядро сопряженного уравнения определится, таким образом, формулой

К*(А-,Р)=К(Р;А) = С-^.

Нахождение р(А) сводится, следовательно, к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода (30).

Аналогично, решение внешней задачи Дирихле сводится к решению интегрального уравнения

p(A) = ~f(A)~ II p(P)K(A-,P)dS. (31)

s

В качестве примера рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Лапласа в полупространстве z > 0 с краевым условием u\s = f(P), где S= {(х, у, 0)}. Будем искать ее решение в виде потенциала двойного слоя

и(х, у, z) = +ll л)dtdn, S = (x-tf + (y-4)2 + z2.

В данном случае cos(r, n)/r2 = z/r2, так что ядро интегрального уравнения (30) равно нулю, поскольку значения берутся на границе z = 0. Значит, плотность потенциала двойного слоя р (Р) — /(/*)/(2п) и искомое решение равно (ср. с (50))

тідарт^' (32>

Отметим, что если искать решение задачи Дирихле в виде потенциала простого слоя, то для определения его плотности придем к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода, которое является некорректно постав-ленной задачей и гораздо сложнее, чем (30), (31).

3.1.3. Решение задачи Дирихле на плоскости. Рассматривается задача Дирихле Аи = 0, U\L = /. Подобно рассуждениям предыдущего пункта, ее решение ищется в виде потенциала двойного слоя

u(A) = Jp(P)C-^dl.

l

Для плотности потенциала р получается интегральное уравнение

пр(А) = f(A) + Jр(Р)К(А; Р) dl. (33)

l

Уравнение Фредгольма (33) соответствует внутренней задаче Дирихле, а при смене знака правой части — внешней задаче Дирихле. Здесь п — переменная нормаль, восставленная в точке Р\ г = АР, К(А; Р) =

= -(cos(r, n))/r. Уравнение (33) может быть записано в виде

\Ц

яр(/о) = /(/о) + jp(l)K(l0; l)dl, (34)

о

где / и /о — длины дуг LP и LA контура L, отсчитываемые от какой- либо фиксированной точки L в определенном направлении, a \L\ — длина контура L.

В качестве примера решим задачу Дирихле для круга KR радиуса R с центром в нуле. Если точки А и Р находятся на окружности, то (cos(r/i/>, П))/ГАР — 1/(2/?). Интегральное уравнение (34) принимает вид

РСОІ + Ї f ^9{l)dl=l-f{k),

Л J ZR П

Kr

а его решением является функция

Kr

6 В. И. Агошков и др.

Соответствующее решение — потенциал двойного слоя — равно

+п 2 2

и(р,в) = -Ї- [/(г) _ „ * ~р ^ (35)

' 2п J R2 — 2pflcos(r — в) -Ь р2

-п

Это решение, называемое интегралом Пуассона, найдено также в п. 3.2.3 с помощью метода функции Грина.

3.1.4. Решение задачи Неймана. Краевая задача Неймана задается уравнением

Ди(А) =0, А Є V, (36)

и краевым условием ди дп

= /, (37)

s

где п — внешняя нормаль к S.

Необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана яв-ляется равенство

JJf(P)dS = 0. (38)

s

Заметим, что если некоторая функция и(А) дает решение внутри задачи Неймана, то функция и(А) +С, где С — произвольная постоянная, также дает решение задачи при том же краевом условии f(P).

Для внешней трехмерной задачи Неймана условие (38) опущено, но, как и для внешней задачи Дирихле, на решение налагается условие стремления к нулю на бесконечности. Однако для двумерной внешней задачи Неймана необходимое условие (38) также должно быть выполнено наряду с условием существования конечного предела на бесконечности.

¦dS.

В отличие от задачи Дирихле решение задачи Неймана (36), (37) ищется в виде потенциала простого слоя

S

Пользуясь формулами (18), (19), приходим к интегральному уравнению, равносильному поставленной внутренней задаче: где

cos(r, п)

2пр(Д) = /(А) - Лp(P)K*{A;P)dS, s

К*(А\Р) = п — фиксированная внешняя нормаль в точке А, г = АР. Правая часть интегрального уравнения для внешней задачи Неймана имеет обратный знак.

Если S есть поверхность Ляпунова, причем угол 0 между норма-лями в любых двух точках поверхности, расстояние между которыми г, не превышает величины в < Сг, то ядра интегральных уравнений удо-влетворяют оценке ^(А;/ )! < С/г и для этих интегральных уравнений справедливы теоремы Фредгольма.

Что касается решения задачи Неймана на плоскости, то оно ищется в виде потенциала простого слоя

и(А) = J p(P)\n^dl,

l

и для искомой плотности р для внутренней задачи получается интегральное уравнение

яр(А)=/(А)- j p(P)K*{A-,P)dl,

l

а для внешней его правая часть меняет знак. Здесь

г

где г = АР, п — фиксированная внешняя нормаль к L, восстановленная в точке А.

Аналогично уравнению (34) может быть записано соответствующее уравнение Фредгольма второго рода для нахождения плотности потенциала простого слоя.

Отметим, что возникающие интегральные уравнения однозначно разрешимы, если выполнены соответствующие условия существования и единственности решения исходной краевой задачи.

3.1.5.

Эк , / ч ^ + h(u - ио) - О,

где h — коэффициент внешней теплопроводности и мо — температура внешней среды. В более общих случаях возникает краевое условие

Щр.+д(Р)и(Р)=ПР), (39)

где q(P) и f(P) — заданные на S функции и q(P) > 0. Будем искать решение этой краевой задачи в виде потенциала простого слоя. Краевое условие (39) приводит к следующему интегральному уравнению для

б- плотности:

р(Л> = >)-//Р<^ + ^)<»- «о

S

В частности, если q(P) есть положительная постоянная Л, а поверхность S — сфера единичного радиуса, то получаем из (40)

S

Собственными значениями для этого уравнения будут h — 0,-1,-2,..., а соответствующими им собственными функциями будут сферические функции.

3.1.6. Решение краевой задачи для уравнения Пуассона. Рассмотрим уравнение Пуассона

-А « = /. (41)

Для того чтобы свести решение краевой задачи для уравнения Пуассона к задаче для уравнения Лапласа, достаточно найти его какое-нибудь непрерывное частное решение v. Положим и = v + w и получим краевую задачу для гармонической функции w, которую решаем одним из вышеописанных способов в зависимости от типа краевых условий. Отметим, что краевые условия для функции w зависят от значений (и/или их производных), которые принимает вспомогательная функция v. Искомым частным вспомогательным решением уравнения (41) является объемный потенциал

V

а для плоской задачи — логарифмический потенциал с основной интегральной формулой Грина (6), то получим

S V

где G(A,P) = \/(ЛШАР) + v — функция двух точек А и Р, точка А фиксирована. Формула (42) содержит значения и и ди/дп на границе S. Между тем при решении первой краевой задачи задается лишь M|S, а при решении второй — ее нормальная производная на границе S.

Рассмотрим уравнение Лапласа при одном из следующих однородных краевых условий

«І5 = 0, (43)

^¦+q(P)u\s = 0, q{P)> 0. (44)

Определение. Функцией Грина оператора Лапласа, соответствующей граничным условиям (43) или (44), называется функция G(A,P), удовлетворяющая как функция Р при произвольно фиксированной точке А Є V следующим условиям:

внутри V, кроме точки А, эта функция гармоническая;

она удовлетворяет краевому условию (43) или (44);

она может быть представлена в виде

G(A, Р) = G(x, у, г; л, С) = ^ + v(A; Р), (45)

где г = \АР\ и v(A, Р) — гармоническая функция везде внутри V.

Функция Грина существует, если S — поверхность Ляпунова. Она симметрична и обращается в бесконечность при совпадении А и Р.

Построение функции Грина сводится к нахождению гармонической функции v, удовлетворяющей уравнению Лапласа и конкретным краевым условиям. Таким образом, для нахождения решения и краевой задачи надо найти решение v той же задачи, но не с произвольными, а со специальными граничными условиями, что значительно проще.

В случае краевого условия (43) гармоническая внутри V функция \>{А, Р) должна иа S иметь краевые значения

<А,Р) = - Pes, (r=|AP|). (46)

В случае (44) краевые условия для v(A, Р) имеют вид

В случае плоскости определение функции Грина совершенно аналогично, но только вместо (45) будет иметь место формула

G{A-,P) = ^-\n- + V{A-,P). (48)

Z7t Г

Пусть и(А) есть решение внутренней задачи Дирихле для области V, ограниченной поверхностью S, с краевыми значениями f(P). Тогда из формулы (42) получаем

S

Эта формула дает решение задачи Дирихле при любом выборе непрерывной функции f{P), входящей в краевое условие.

На основании (42 решение уравнения Пуассона Ди = — <р в ограниченной области V с однородными краевыми условиями первого рода имеет

ВВД и(А) = JJfG(A,P)(P)dV.

v

3.2.3. Решение задачи Дирихле для простых областей. Можно искать решение задачи Дирихле Ди = 0, h|s = / путем представления решения в виде потенциала двойного слоя (п. 3.1.2) и решения возникающего интегрального уравнения (30). Однако в случае простых областей применение метода функции Грина может облегчить нахождение решения. В случае полупространства функция Грина принимает значение

W) = x!-- 1

4пг 4ягі'

где г — расстояние от переменной точки Р до А, г і — расстояние от Р до А', симметричной относительно границы полупространства z = 0. Подставляя это выражение в (42) наряду с Ди = 0, и|$ = /, получаем решение задачи Дирихле для полупространства (ср. с (32)):

S ІУ [К - ^+W ** • (50>

—оо

Для сферы радиуса R с центром в нуле функция Грина равна

где расстояние г\ определяется до точки А', инверсной к А относительно данной сферы, р = \ОА\, г = |АР\, \ОА\ • \ОА'\ = R2. Решение внутренней задачи Дирихле таково:

S

Если ввести угол у, образованный векторами <34 и OA', сферические координаты (р,9,<р) точки А, то решение внутренней задачи Дирихле для сферы примет вид

2и и 2 2

"(Р,е,Ф) - ? Цл«.*) {r2 _ 2p;jY+pI)v2 <«>

Решение внешней задачи Дирихле для сферы совпадает с (51), если в этой формуле изменить знак. Аналогичные рассуждения приводят к решению

задачи Дирихле для круга — интегралу Пуассона

= (52)

-л

Эта же формула с точностью до знака дает решение внешней задачи.

3.3. Решение уравнения Лапласа для сложных областей.

3.3.1. Метод Шварца. Предположим, что задача Дирихле для областей V\ и V2 при непрерывных краевых значениях решена, причем эти области имеют общую часть Vo- Метод Шварца дает возможность решить задачу Дирихле для объединенной области V — V\ U V2. Для определенности рассмотрим плоский случай. Контуры областей Vi и V2 точками их пересечения делятся на части а і и Pi для V\ и а2 и (32 для V2. Пусть на контуре / = а2 U а2 области V задана некоторая непрерывная функция ш(Р). Продолжим функцию со с ai на Pi с сохранением ее непрерывности. Получим функцию o)i. Решая задачу Дирихле для Ц, строим в V\ гармоническую функцию ні (А), равную со на ai и СО] на рь Значения этой функции на Рг вместе со значениями со на а2 принимаем за краевые значения новой гармонической функции V! в V2. Теперь строим в Vi гармоническую функцию и2 с краевыми значениями о) на ai и vi на Pi, и т. д.

Метод Шварца применяется не только для уравнения Лапласа, но и для других уравнений эллиптического типа. Этот метод применим и для трехмерного случая.

Укажем еще на одну возможность применения метода Шварца. Рассмотрим решение внешней задачи Дирихле в трехмерном пространстве. Пусть в пространстве имеется п замкнутых поверхностей S* (к = = 1,2,...,и), причем тела, ограниченные ими, не имеют общих точек. Обозначим через V часть пространства, находящуюся вне всех поверхностей St, и через V* — часть пространства, находящуюся вне S*. Предположим, что задача Дирихле решена для всех V* при любых непрерывных значениях на S*, и покажем, каким образом можно при этом решить задачу Дирихле для V. Все области V* и область V содержат внутри себя бесконечно далекую точку, и, как обычно, при решении задачи Дирихле считается, что гармоническая функция равна нулю на бесконечности.

Итак, требуется найти функцию, гармоническую внутри V и принимающую на поверхностях заданные непрерывные значения

(*=1,2,...,и). (53)

На первом шаге находим при каждом к функции ио,*(А) (к = 1,2,...,и), гармонические внутри Vk и принимающие значения ft{P) на Далее находим гармонические внутри V* функции иі,*(Л) (к — 1,2,.. ., л) с краевыми значениями

иі,*(Л) = -5>о,/(Я) на St (*=1,2,...,и), (54)

іфк

причем суммирование производится по всем і от I = 1 до і = п, кроме і = к.

Вообще, при всяком целом положительном т находим функции ит,к(А) (к = 1,2,...,л), гармонические внутри V*, с краевыми значениями

итЛ(Р) = -%ит-1;(Р) на Sk (к= 1,2,... ,л). (55)

іфк

Функции

[к=\,2,...,п)

т=О

являются гармоническими внутри Vk с краевыми значениями

На (к =1,2,..., л).

т=О т=0іфк

Вычитая из обеих частей сумму

р-1

/л=0

можно переписать предыдущее равенство в виде

на Sk (*=1,2,...,и). (56)

m=0("=I

Если устремить Z3 к бесконечности, то предельная функция

и(А)= ? (57)

m=0/=I

дает решение рассматриваемой внешней краевой задачи. Отметим, что это построение неприменимо для внешней задачи в плоском случае.

3.3.2. Метод выметания. При решении задачи Дирихле методом потенциала на границу области приходилось налагать сравнительно жесткие ограничения. Изложим другой метод решения задачи Дирихле, пригодный при весьма общих предположениях о границе области и краевых значениях на этой границе. Его часто называют «методом выметания». Он был предложен Пуанкаре, затем уточнен Перроном.

Рассмотрим случай плоскости (для пространства рассуждения аналогичны. Введем некоторые определения). Если Д/ > О, то функция / называется субгармонической. Если Д/ < 0, то это — супергармоническая функция. Эти функции обладают следующими свойствами: субгармоническая функция принимает наибольшее значение на контуре. Более того, она не может иметь внутри максимума, в окрестности которого она непостоянна. Точно так же супергармоническая функция принимает наименьшее

значение на контуре.

Пусть fk{M) (к — 1,...,т) — функции, непрерывные в плоской области D и субгармонические внутри D. Построим функцию ф(А), которая в каждой точке D равна наибольшему из значений Л (А) (к = 1,...,т):

ф(А) = rnax[/i(A),...,/m(A)]. (58)

Тогда ф(А) будет непрерывной в Л и субгармонической внутри D. Аналогично, если fk (А) супергармонические и

V|/(A) = min[/i(A),...,/,„(A)], (59)

то и \|/(А) супергармоническая.

Пусть /(А) — субгармоническая внутри D и непрерывная в D, К — круг, содержащийся в D, и ик(А) — та гармоническая внутри К функция, значения которой на окружности круга К совпадают со значениями /(А). Тогда

/(А) < ик(А) (в К). (60)

Аналогично, если /(А) — супергармоническая функция, то

f(A)>uK(A) (в К). (61)

Если заменить значения /(А) в круге К значениями и к (А) и обозначить новую функцию через /к (А), то эта функция, непрерывная в D, будет субгармонической внутри D.

Такое же построение для субгармонической функции дает субгармоническую функцию /к (А).

Перейдем к изложению метода Пуанкаре-Перрона. Пусть на плоскости имеется ограниченная область D и L — ее граница, о которой пока не делается никаких предположений. Положим, что на L задана функция а)(/') = (1)(х, у), относительно которой пока только предполагается, что она ограничена, т. е. что существуют два таких числа а и Ь, что

а < о)(Р) < Ь. (62)

Назовем нижней функцией всякую функцию ф(А), которая является непрерывной функцией в замкнутой области, субгармонической внутри области, и на контуре удовлетворяет условию ф(N) < (о(Р). Аналогично, верхняя функция V|/(A) должна быть супергармонической внутри и на контуре должна удовлетворять условию у(Р) > w(P).

Если /і(А),/з(А),...,/,„(А) — нижние функции, то и функция ф(А), определяемая формулой (58), также нижняя функция. Аналогичное замечание имеет место и для верхних функций и формулы (59). Множество значений всевозможных верхних функций V|/(A) в любой фиксированной точке А, лежащей внутри D, имеет точную нижнюю границу и(А), причем а < и(А) < b и функция и(А) гармоническая. Если со непрерывна, то такая верхняя граница нижних функций совпадает с «(А), которая является решением (обобщенным) исходной внутренней краевой задачи Дирихле. Обобщенное решение задачи Дирихле и(А) при непрерывности функции со(Р) на границе L можно построить еще одним способом. Про- должим функцию (л(Р) на всю плоскость, сохраняя ее непрерывность. Положим, далее, что D„ (п = 1,2,...) есть последовательность областей, которые лежат вместе со своими границами Ln внутри D и стремятся к D, так что всякая точка А, лежащая внутри D, находится внутри всех областей Dn, начиная с некоторого номера п. Области D„ могут быть, например, составленными из конечного числа кругов. Положим, что для областей D„ мы умеем решать задачу Дирихле с непрерывными значениями на Ln.

Пусть ип(А) — решение задачи Дирихле для Dn, причем краевые значения на Ln задаются как продолжение функции со(/'), о котором мы говорили. При беспредельном возрастании п функции ип(А) стремятся к построенному выше обобщенному решению и(А) задачи Дирихле, причем это стремление равномерное по всякой замкнутой области, лежащей внутри D. Таким образом, предел и„(А) не зависит ни от способа продолжения о)(/>), ни от выбора областей Dn.