2.4. Применение теоремы Гаусса к вычислению напряжённости поля заряженной плоскости и двух параллельных плоскостей
Наиболее типичными случаями, когда следует использовать теорему Гаусса, являются задачи нахождения напряжённости поля заряженной нити, цилиндра, сферы, шара, плоскости. Чтобы применить теорему, прежде всего проводят замкнутую поверхность так, чтобы а) заряженное тело находилось внутри нее, б) силовые линии были перпендикулярны одной ее части и параллельны другой.
Выполнение первой части сформулированного выше правила построения вспомогательной поверхности диктуется необходимостью выполнения условия, оговоренного теоремой. Вторая часть, касающаяся взаимного расположения вводимой в задачу поверхности и силовых линий, из теоремы не следует.
Рассмотрим ее подробнее. Дело здесь в том, что, окружая заряды произвольной (как позволяет теорема) поверхностью, мы получаем возможность связать величину этих зарядов, тоже данную в задаче, с потоком через ту поверхность, которую мы выбираем сами. Ведь согласно теореме она может быть любой! Но при расчете полей существенно бывает знать не поток через любую поверхность, а напряжённость поля, причем в конкретной точке. Поэтому наложим первое ограничение на вводимую теоремой поверхность: ее следует проводить через ту точку, в которой нас интересует напряжённость. Далее, переходя от потока к напряжённости, мы не можем пользоваться их связью в том виде, как она дана определением (2.13). Ведь в него входит элемент поверхности и поток через этот элемент, а не через всю замкнутую поверхность (см. рис. 2.4). Чтобы получить весь поток, следует взять интеграл по всей поверхности от обеих частей равенства:
 . | (2.23) |
Если нами выбрана поверхность произвольной формы, в правой части полученного равенства под интегралом оказывается три переменных. Избавиться от одной из них можно, если выбрать поверхность так, как рекомендовано выше: чтобы в замкнутой поверхности часть ее была перпендикулярна силовым линиям, а часть параллельна.
Естественно, при этом значение косинуса будет либо ноль, либо единица. При этом весь поток через замкнутую поверхность можно представить суммой двух потоков, один из которых взят через перпендикулярную силовым линиям часть поверхности, второй — через параллельную: , | (2.24) |
где dan — элемент площади той части замкнутой поверхности, которая перпендикулярна силовым линиям.
В случае, если нормальная поверхность симметрична относительно заряженного тела, напряжённость постоянна в каждой ее точке и интегрирование дает простой результат, так как Е можно вынести за знак интеграла.
Напомним, что всюду, начиная с формулировки теоремы (2.14) заряд, создающий поле, мы обозначали Q, чтобы отличить его от заряда q, попавшего в поле. Отметим, что в задачах это обычно не делается, и для любого заряда — и создающего поле, и попавшего в него — используется одно и то же обозначение.
Теперь перейдём к решению поставленной в заголовке задачи: найдём напряжённость в точках поля, расположенных на одинаковом расстоянии по обе стороны от плоскости площадью S, на которую нанесён заряд Q (рис. 2.6). Если заряд распределён равномерно, удобно пользоваться понятием поверхностной плотности зарядов s = q/S, имеющий размерность Кл/м2. В рассматриваемом примере ход силовых линий легко определить по движению пробных зарядов, мысленно помещаемых в поле этой плоскости. Силовые линии показаны на профильном изображении плоскости (см. рис. 2.6). Выполнены первые два условия, необходимые для расчёта напряжённости с помощью теоремы: а) изображен заряд; б) показаны силовые линии.
Следующий этап — выберем поверхность так, чтобы она заключала внутри себя часть зарядов и была замкнута. Удобнее, чтобы часть поверхности была бы параллельна силовым линиям, а часть перпендикулярна.
Такой поверхностью будет цилиндр (либо параллелепипед), основания которого проходят через указанные точки, а боковая поверхность вырезает из заряженной поверхности S площадку s, равную по величине площади an каждого из оснований. Обратите внимание на то, что для обозначения площади использованы разные буквы: через s обозначена площадь поверхности, несущей на себе заряд; через an — площадь вспомогательной поверхности.Теперь мы имеем возможность, пользуясь теоремой, найти полный поток через выбранную поверхность, внутри которой заключён не весь заряд, а часть его, равная σs:
 . | (2.26) |
Свяжем поток через выбранную поверхность с напряжённостью поля в указанных точках. Естественно представить поток двумя слагаемыми:
| Ф = Ф1 + Ф2 = 2аnЕ , | (2.27) |
где Ф1 — поток через боковую поверхность, равный нулю, поскольку силовые линии параллельны ей; Ф2 — поток через основания цилиндра, перпендикулярные силовым линиям. Поскольку площадь каждого основания обозначена нами через an , получили записанный выше результат.
Приравнивая два последних выражения, учитывая равенство площадей внутренней части заряженной поверхности и оснований и равенство нулю потока через боковую поверхность, получим
 . | (2.28) |
 |
Оказывается, поле заряженной плоскости однородно, то есть одинаково во всех его точках, не зависит от расстояния, как этого и следовало ожидать, судя по параллельности его силовых линий.
 . | (2.29) |
Из-за противоположного направления векторов эта сумма в точках А и С обращается в ноль, а в точке В удваивается:
 . | (2.30) |
Поле между двумя параллельными плоскостями тоже однородное.