8. Применение интегральных преобразований в кинетике коагуляции

8.1. Точное решение уравнения коагуляции. Пусть рассматривается дисперсная система, представляющая собой некоторую смесь, находя-щуюся в двух фазах, причем одна из фаз распределена в другой в виде мелких частиц (кристалликов, капель, пузырьков и т.

X оо

~?1Г~ = Ук{х~у'у)с(х ~ у't)c(y't} dy ~ {) Iк{х'y)ciy't] dy>

о о (117)

(118)

С(Х, 0) = cq(jc) > 0, jc > 0.

при начальном условии

Здесь с{х, t) — функция распределения частиц с массами х Є [0, в момент времени t > 0, К(х, у) — так называемое ядро коагуляции, харак-теризующее интенсивность слияния частиц с массой хи^и известное из физики процесса.

Для решения уравнения воспользуемся преобразованием Лапласа. Пусть С(р, t) — образ Лапласа функции c{x,t) и пусть К — const. Умножая (117) на ехр(—рх) и интегрируя, получаем для образа обыкновенное дифференциальное уравнение

= | С(р, t)2 - КС{р, r)C(0, t) (119)

с начальным условием Со(р) = С(р, 0). Подставляя в (119) р = 0, сначала находим С(0, /), после чего получаем решение в образах Лапласа

с(,,о=(і+^со(о))-2 у^ - ^ 4-,+(1/2;?,Со(0))

Подставляя конкретные начальные распределения, можно найти решение уравнения коагуляции (117), (118). В частности, при

со(х) - ехр(-ах)

имеем

c(x,t) = - ^ехр(- т-^-г) . (120)

(i+Kt/(2a)) V l+Kt/Va)'

Если предположить, что размеры частиц кратны некоторой минимальной величине с массой XQ (по аналогии с полимерами такая частица называется мономером), то интегралы в уравнении (117) преобразуются в суммы:

^Р- = -ад!>,(/), *>0, />0, (121)

Ш z у=1 7=1

где c,(t), і > 1, — функция распределения частиц массой bсо. Для такого дискретного уравнения преобразование Лапласа трансформируется в построение производящей функции C(z, t), являющейся дискретным аналогом преобразования Лапласа:

C(z,t) = 'Zz,-lcl(t).

Умножая (121) на г'-1 и суммируя, получаем после решения возникающего дифференциального уравнения выражение для производящей функции в виде ряда по г'-1. Коэффициенты при степенях г дают искомое решение. В частности, если начальное распределение состоит только из мономеров, т.е. сі(0) = А, с,(0) =0, і > 2, то имеем сходное с (120) выражение

1 / Kt у-'

(1+К//(2А))2 \2{l+Kt/{2A))J '

8.2. Нарушение закона сохранения массы. Ключевым свойством уравнения коагуляции (117) является справедливость закона сохранения полной массы системы, которая математически равна первому моменту решения:

M\(t) = Jхс(х, t)dx.

о

Умножая (117) на х и интегрируя, получаем, в предположении ограниченности возникающих двойных интегралов, постоянство полной массы: dM\jdt = 0. Однако указанные двойные интегралы не всегда ограничены. В ряде физико-химических процессов (например, при поли- кондснсации) ядро коагуляции мультипликативно: К(х, у) —Аху, и несложно убедиться, что тогда существует некий критический момент времени tcr, при котором второй момент решения М2 обращается в бесконечность. Для исследования решения уравнения коагуляции с мультипликативным ядром воспользуемся преобразованием Лапласа при вещественных р. Обозначим

и учтем, что F(0,t) — —M\(t). Выписывая квазилинейное уравнение в частных производных, возникающее для функции F(p,t), и решая его методом характеристик, получаем функциональное уравнение

t

F(p,t) = F0(p+A jM\(s)ds +AtF(p, r)^ . (122)

о

Воспользуемся тем, что M\(t) — —F(0,t), и введем обозначение для аргумента функции Fo при р — 0:

і

р (/) = A J Mi{s)ds-AtMi{t). о

Отметим, что из (122) имеем Mi = -Fo(p). Дифференцируя по /, получаем

dp(t) dM\(t)

= -At 'w. (123)

dt dt

С другой стороны, при р = 0 из (122) после дифференцирования по t приходим к соотношению

^ = -«<Р>РМ. (124)

Сопоставляя два последних равенства, получаем

p(l-A/F[,(p)) =0. (125)

Особенности коагулирующей системы существенным образом зависят от того, имеет или не имеет корень уравнение

1 — A/Fo(p) = 0 (126)

при условии р(/) -> 0, / -> 0.