§ 6.6. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

Вычислим работу, используя не второй закон Ньютона, а выражение сил взаимодействия между телами в зависимости от расстояний между ними. Это позволит нам ввести понятие потенциальной энергии, зависящей не от скоростей тел, а от расстояний между телами (или от расстояний между частями одного и того же тела).

Так как силы могут быть самыми разнообразными, то нужно рассмотреть различные случаи.

Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли

Рассмотрим вначале работу внутренних сил системы, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела, например камня. При небольших расстояниях от поверхности Земли эту силу можно считать постоянной и равной:

F = mg. (6.6.1)

Сила, действующая на камень, направлена вертикально вниз. Вычислим работу этой силы при перемещении камня вверх вдоль прямой ВС (рис. 6.9). Начальная точка В находится на высоте hx над Землей, а конечная точка С — на высоте h2. Ось У направим вертикально вверх, а ось X вдоль поверхности Земли. Работа

А = F • Аг = mg\Ar\cos а = -mgjAr|cos (180° - а) = -mgAy.

Так как Ay = h2 - hx (см. рис. 6.9), то

А = ~(mgh2 - mghy). (6.6.2)

При движении камня вверх сила тяжести совершает отрицательную работу. Если бы камень двигался вниз, то работа была бы положительной.

Работой силы, действующей на Землю со стороны камня, можно пренебречь, так как перемещение Земли ничтожно мало из-за ее огромной массы .

Итак, работу силы тяжести можно представить в виде разности двух значений величины, зависящей от взаимного расположения тела и Земли. У с

У

С

h.

'2

в h

h mg О

X

о

X Рис. 6.9

Рис. 6.10 Величину, равную произведению массы т тела на ускоре-ние свободного падения g и высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.

Ер = mgh. С учетом (6.6.3) выражение для работы (6.6.2) запишется так: (6.6.4)

А = -(Ер2 - Ер1) = -АЕр. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

Когда сила тяжести совершает отрицательную работу, то потенциальная энергия увеличивается: Ер2 > Ер1. При совершении положительной работы потенциальная энергия, напротив, уменьшается:

ЕР2 < V

Из выражения (6.6.2) видно, что работа силы тяжести опре-деляется лишь изменением высоты Л2 - тела над поверхностью Земли, но не зависит от перемещения его в горизонтальном направлении. Это справедливо не только для работы при перемещении тела вдоль прямой, но и для работы на произ-вольном участке пути. В самом деле, если тело перемещается вдоль кривой ВС из точки, находящейся над землей на высоте Aj, в точку, лежащую на высоте h2 (рис. 6.10), то работа вдоль этой кривой равна работе вдоль ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков малой длины. На горизонтальных отрезках работа равна нулю, а сумма работ на вертикальных отрезках равна работе на вертикальной прямой длиной h2 - hv Поэтому работа по-прежнему будет выражаться формулой (6.6.2).

Следовательно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. На замкнутой траектории работа равна нулю, так как изменение потенциальной энергии при этом равно нулю.

Именно независимость работы силы тяжести от формы траектории, по которой перемещается тело, позволяет ввести понятие потенциальной энергии.

Работа силы упругости

Вычислим работу, которую совершает растянутая пружина при перемещении прикрепленного к ней тела.

На рисунке 6.11, о показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Если пружина растянута (рис. 6.11, б), то она действует на шар с силой Fj, направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована.

Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой Xj в точку с координатой х2. Из рисунка

Рис. 6.11

6.11, в видно, что модуль перемещения |Дг| = х1 - х2.

При деформации пружины сила упругости изменяется линейно с изменением координаты: F = Для вычисления работы воспользуемся графиком зависимости силы от координаты шара (рис. 6.12). Как было показано в § 6.2, работу силы упругости при перемещении |Дг| = Ху — х2 можно считать численно равной площади трапеции BCDM. Обозначив через Fx модуль силы упругости в начальном поло-жении шара, а через F2 — в конечном, получим

(6.6.5)

F1 + ^2

Величину =— можно рассматривать как среднее значе

ние силы, действующей на шар. При линейной зависимости силы от расстояния это среднее значение равно полусумме начального и конечного значений силы.

Теперь рассмотрим два тела, соединенных пружиной и лежащих на гладкой горизонтальной поверхности. Будем считать для простоты, что тела могут перемещаться только вдоль прямой, совпадающей с осью пружины. Модули сил, с которыми взаимодействуют тела, равны: (6.6.6)

F = k(l- 10) = Ш, где I — расстояние между телами, а 10 — длина пружины в не-растянутом состоянии.

Пусть в начальном положении длина пружины равна (рис. 6.13, а), а в конечном 12 (рис. 6.13, б) > 12). При сокращении пружины на А1 = 1у- 12 первое тело переместится на расстояние AZj, а второе на расстояние Д2П (см. рис. 6.13, б), так что ІГ

А1 = AL + Д2ТТ. Согласно формуле (6.6.5) работа силы упругости по переме-щению первого тела равна: Г

А = Ah = \ Wl - l0) + (І2 - loW

Аналогично работа по перемещению второго тела

А> = Д*П = \ К*1 - У + (*2 ~ ІоШі-

Учитывая, что Д/т + А1и = - 12, приходим к выводу: полная работа внутренних сил системы (сил упругости в данном случае) равна:

A=Al+A2=^[(ll-l0) + (l2-l0mil-l^. (6.6.7) Выражение (6.6.7) нетрудно преобразовать к виду

k( М,)2 k(M9)2

где Д^ = - 10, а Дl2 = l2 - i0 — деформация пружины в начальном и конечном состояниях .

Потенциальная энергия деформированной пружины

Формула (6.6.8) показывает, что работа силы упругости может быть представлена как изменение величины

2

(6-6.9)

взятое с противоположным знаком.

При сжатии (или растяжении) пружины

\k(M9)2 k(AL)2) А = -(Ер2-Ер1) = -\—^- - (6.6.10)

Г*"

Величина Ер в формуле (6.6.9) представляет собой потенциальную энергию тел, взаимодействующих посредством пружины.

Работа сил упругости зависит только от деформации пружины, определяемой начальной и конечной длиной пружины.

Заметим, что потенциальная энергия, определяемая выраже-нием (6.6.9), не зависит от свойств тел, которые связывает пружи-на. Эту энергию следует считать сконцентрированной в пружине.

Консервативные силы

Мы показали, что работа силы тяжести вблизи поверхности Земли и работа сил упругости растянутой пружины не зависят от формы траектории и могут быть представлены как изменения зависящей от координат величины — потенциальной энергии, взятые с противоположным знаком.

Этот результат оказывается справедливым не только для рассмотренных нами сил, но и для любых сил, зависящих от расстояний между телами, но не зависящих от их скоростей. Как мы скоро увидим, механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется в замкнутой системе лишь в том случае, когда в ней действуют силы, зависящие только от расстояния. Такие силы называются консервативными, т. е. сохраняющимися (вспомните: консервы). Системы, в которых действуют только эти силы, также называют консервативными.

Работа консервативных сил всегда может быть представлена как приращение потенциальной энергии, взятое с противоположным знаком: (6.6.11)

А = -АЕр = -{Ер2 - Ер1). Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством гравитационных сил

Возможные формы потенциальной энергии не исчерпываются выражениями (6.6.3) и (6.6.9). Так, потенциальная энергия двух тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил всемирного тяготения, в общем случае записывается так:

т, и,

Ep = -G-^r±, (6.6.12)

где G — гравитационная постоянная.? » 2 ( > 1 « 11 r 2 Чтобы обосновать справедливость формулы (6.6.12), решим обратную задачу.

Рис 6 14 Вычислим, используя формулу (6.6.12),

работу по перемещению на малое расстояние \Аг\ = г2 - Tj точечного тела массой mlt взаимодействующего с неподвижным точечным телом массой тп2 (рис. 6.14). Если |Дг| мало, то силу F взаимодействия тел массами т1 и т2 можно считать постоянной. Работа в этом случае равна: А = -|Дг| = ~(Ер2 - Epi),

так как сила и перемещение направлены в противоположные стороны.

Подставляя в эту формулу значение потенциальной энергии (6.6.12), получим:

ШлТПп ТПлТПп Г о - Г Л

-PlArl = G—-—- - G-J—- = -Gnum9- .

r2 ri 12 rlr2

Если |Аг| « r2 и \Ar\ « r2, то ryr2 ~ r2.

Тогда

ГПлТПо.

F|Ar| = G—|Ar|.

r

Отсюда

F = G-

2

Г

Допустив, что потенциальная энергия имеет форму (6.6.12), мы пришли к правильному выражению для силы всемирного тяготения.

Можно показать, что выражение для потенциальной энергии Ер = mgh представляет собой частный случай формулы (6.6.12), когда изменение высоты h тела над поверхностью Земли много меньше ее радиуса R.

В самом деле, пусть начальная высота тела массой тп над поверхностью Земли равна hv а конечная — h2. Тогда согласно формулам (6.6.11) и (6.6.12) будем иметь:

. „ „ Мтп „ Mm h2~h\ А Г; = —(j"=— ; — Cr-=— = CriVZ Щ , — , = ¦ . „ , ; Г .

p R + h2 R + h1 (R + hl)(R+h2)

Так как R » ^иії » h2, то приближенно

AEp = G1-^(h2-h1). R

Ускорение свободного падения на поверхности Земли

g = G^. Поэтому Rz

АЕр = mgh2 - mghy

и, следовательно, Ер = mgh.

Работа сил, зависящих только от расстояний между телами системы (но не от их скоростей), не зависит от формы траектории. Поэтому работу можно представить как разность значений некоторой функции, называемой потенциальной энергией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энергии зависит от характера действующих сил.