2.7. Потенциал электростатического поля. Связь напряженности с потенциалом
Потенциальность электростатического поля позволяет ввести еще одну его характеристику, тесно связанную с работой, которую это поле может совершать.
| dA = – dW , | (2.44) |
где dW — приращение энергии заряда в процессе его перемещения. Работа определяется положением начальной и конечной точек перемещения 
, а именно разностью энергий заряда q в этих точках. Величина энергии зависит не только от поля в этой точке, но и от величины заряда q, в нее внесенного.
Назовем потенциалом j точки поля потенциальную энергию единицы заряда, помещённого в эту точку:
 . Тогда приращение потенциала  . | (2.45) |
Потенциал не будет зависеть от величины пробного заряда, и, следовательно, будет характеризовать точку поля, будет являться характеристикой поля в этой точке.
Сопоставив равенства (2.44) и (2.45) получим
| dA = – qdj , | (2.46) |
то есть изменение потенциала можно определить как взятую с противоположным знаком работу по перемещению единичного пробного заряда. Для электростатического поля, так же, как и для поля тяготения, абсолютное значение потенциала в данной точке несущественно для нахождения работы по перемещению заряда.
Важно знать его изменение. Как и при введении понятия напряженности, в приведенных выше равенствах фигурирует пробный (условлено, что это положительный) заряд. Слово «пробный» означает, что заряд лишь вводят на время в поле, и, определив требуемые параметры, убирают. Но равенствами (2.45) и (2.46) можно пользоваться во всех случаях, когда необходимо вычислить энергию либо работу по перемещению любого заряда, помещенного в поле. Знак заряда, естественно, тоже может быть любым.Интегрируя (2.46), нетрудно найти работу А по перемещению заряда между двумя точками поля с потенциалами j1 и j2:
| A = q(j1 – j2) = qU. | (2.47) |
Здесь U = (j1 – j2) — напряжение между двумя точками поля, которое равно взятой с обратным знаком разности потенциалов этих точек. В отличие от напряженности, которая является силовой характеристикой поля, потенциал — это энергетическая характеристика поля. Потенциал — скалярная величина.
Так же, как сила в механике связана с энергией (работой), так и напряженность связана с потенциалом. Остановимся на этой связи.
Пусть электростатическое поле задано силовыми линиями (см. рис. 2.13). Заряд перемещается из т. A в т. B по . При этом поле производит работу
 , | (2.48) |
или, как следует из чертежа,
| dA = qEdr, | (2.49) |
где dr проведено вдоль силовой линии, и из точки A на него опущен перпендикуляр. Учитывая (2.46), получим:
| – qdj =Eqdr , | (2.50) |
откуда следует формула связи между напряженностью и потенциалом:
 , | (2.51) |
где 
— изменение потенциала на единицу длины, взятой по силовой линии, а Er — проекция вектора напряженности на координату r. Знак минус означает, что положительному значению напряженности соответствует отрицательное значение dj, то есть в направлении силовых линий потенциал убывает. Выражение (2.51) получено для случая, когда координата r направлена по вектору напряжённости, и проекция 
на эту координату равна модулю вектора . В общем же случае в левой части (2.51) вместо модуля следует записывать проекцию вектора на соответствующую ось координат: Ex = – ¶j/¶x; Ey = – ¶j/¶y; Er = – ¶j/¶r и т. д.