ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Упражнение 1
N - r- Jto&oF ш 8,8 • 109.
F = 2,6 кН.
F = 2,25 дин.
. п + 1
х = —т=- г.
гТп
Т= ^ Jim0rme => 1,4 • 10_1в с.
т. іq\ = r\T°msr -а-чНЧы.
На расстояние 7 см.
|Q = -J= =5,2 • 10 ® Кл.
а = qjjj,cos30° = 0,83 см.
Q = 4 СГСЭ ; * = -j^Hr-.
- 1 м.? 7N + 7H
+ J) =1,9 дин.
1Л m2 _ 2 + сов 60° 5 14' m^, 1 + cos 60° "= § •
15. q = j л/іпг - 100 СГСЭ?.
Упражнение 2
?в - 5,3 • 105 Н/Кл.
Ес = 16 Н/Кл.
а^-і^їб)*,-^.
1 4яє0/ Z 4яє0/ 8. m.q
N = -у- = 2000.
eE
г = 8 • 10"7 м. 1 . q + Q
6. E =
. 2 4rce0 a
7. a)?i= =
4rce0 a 4ite0 a
a = 45°.
a) T1 = J{mg)2 + 2qmgEcosa + (qE)2 = 2,9 • 103 дин, если напряженность электрического поля направлена вниз; б) Т2 = = J(mg)2 - 2qmgEcos Е = 9q „ = 10 Н/Кл. 2 л є0Д Е = яЛ2 . 4л?0а 13. ? = _ ы 2e0ab ' 14 Е -F 14' ЬВ~ 2e0S >Ьа-еС~ 2?0S • 16. Напряженность поля на малом участке поверхности пузыря, созданного всеми зарядами пузыря, за исключением зарядов на самом участке, Е2 = ~ (см. щая на участок поверхности единичной площади, равна Е2а = = Д- (здесь а = ^ л — поверхностная плотность заряда). 4яД 17. tg а = Igllxl 2яe0mgr' 7 ^4яе0?(т|ОГ+ M\q\)' 7 М+т 19. = т = 0,1 СГСЭ? = 3000 Н/Кл; ?2 = ^ = 2,5 • 10"2 СГСЭ? = 1 = г = 750 Н/Кл. 20. При |*| < я ? = і . а „ рх приН>2 Е- Упражнение 3 '¦^-•пг 2. А = 1,3 • Ю-6 Дж. mgdU2 3. Дд = = 1,6 • Ю-19 Кл. C/iC^i + U2) 5. + т2) ' (f[q~2 7. «і- = 3,2 м/с. = 1,8 м/с; v' = 12, 2 "2 /"а 2 а/«1 + у2 V^l + V2 8. Согласно условию задачи электроны вначале будут сближаться, двигаясь по траекториям одинаковой формы. Эти траектории симметричны относительно оси X, проходящей через середину отрез- А ка АВ и расположенной перпендикулярно к нему (рис. 1). После сближения на минимальное рас- ^ стояние г электроны начнут удаляться друг от друга. Вследствие симметрии на минимальном рас- рИс ^ стоянии электроны имеют одинаковые скорости и, параллельные оси X. Эта скорость определяется Из закона сохранения им-пульса: тду + mv2 = 2 ти. В проекциях на ось X имеем: 2mv sin а = 2ти. Отсюда и = v sin а. Теперь применим закон сохранения энергии: Заменив модуль и скорости его выражением u = i> sin а, получим: .2 .2 ке ке (ke2/L) + mv2{ 1 - sinza) (kez/L) + mv2cos2a' mv, ». v о . \( Mvo f 2kQqM Jf + а/ійРГЖ; ~ Ёт(т + М)' m + Д= ЇЩ «0,5 м. mv і v = 2+ ЕІ)* =8 • 106 м/с. „2 1Я.А= <• 7,2 ' 10~5 Дж. Ї.-1- ф^ = ф2. 1 9і + 9Ї 20. А - bkq* "3г- Упражнение 4 шшжшш Рис. 2 1. Будет. Каждая из пластин обладает определенной, обычно небольшой, емкостью относительно Земли. (Это происходит из-за того, что вблизи краев пластин линии напряженности искривляются и достигают Земли.) Эквивалентная схема показана на рисунке 2. Емкость пластин относительно Земли изображена в виде конденсаторов С1 и С2. 2. U0 I/, -т- = 200 В. і d. e0s(1 + є) 3. с = 2d 1 + Зє 4. -я- = 2(1 + є) Є(1 - E/Env) 8 = Приближенно оценить емкость тела человека можно, полагая, что человек имеет форму шара. Плотность его тела примерно равна плотности воды, т. е. р = 1000 кг/м3. Для человека, масса которого тп = 80 кг, можно записать: ^ kR3 р = т. Отсюда R = з Искомая емкость С = 4яе„з / 'Зт 4лр ' = 3 • 10"и Ф = 30 пФ. 4гсе0ег 7. С = 1) 1 + eld2 e2dl 47 В; U2 = U 253 В. и, ld2 ld2 e2dl + Є + Є 1 e2d1 9. C = Е0Е1Є2Є3^ (ЄІЄ2 + е2Єз)^ ' п 1III 3 14 I Образовавшийся сложный конденса- 2 j 13 тор можно рассматривать как батарею, состоящую из трех одинаковых e0S +0 конденсаторов емкостью С0 = —j- : конденсатора I с пластинами 1 и 2, конденсатора II с пластинами 2 и 3 и 2 I 1 конденсатора III с пластинами 3 и 4 рис g (см. рис. 1.116). Конденсаторы I и II соединены параллельно (пластины 1 и 3 имеют равные потенциалы, так как они соединены проводником, а пластина 2 у них общая). Конденсатор III присоединен к этой паре последовательно: его «плюсовая» пластина 3 является одновременно и «минусовой» пластиной конденсатора II. В ре-зультате получаем схему соединения конденсаторов (рис. 3), из которой находим: 1 = 2Со 2еоS 1 + 1 3 3d С 0 С = 4,5 мкФ. 12.1,2С. - 2 AWp = - -2,5 • 10"8 Дж. 18. Энергия конденсаторов до соединения была равна: W0=i(C^f + C2I722). После соединения заряд батареи конденсаторов стал равен q = q1 + + q2, а энергия батареи 1 q2 _ 1 (Ci^ + C2U2)2 2 С1 + С2 2 С1 + С2 W= і Разность энергий Энергия конденсаторов уменьшилась вследствие того, что при их соединении проводниками заряды перетекали с одного конденса-тора на другой. 19. Когда диэлектрик втянут на расстояние х, конденсатор можно рассматривать как батарею, состоящую из двух параллельно со-единенных конденсаторов (см. рис. 1.120). Ее емкость равна: E0s а заряд q = -г- U. Энергия конденсатора в этом случае равна: 2 р Р"2 _ q _ ЧЛ d e„SU W1=2C 2d 1 + (Є-1)І Если х увеличить на 8, то энергия конденсатора уменьшится. Она станет равной: e0su2 і Wn= 0 2 х + 5 ' 2d 1 + (е-1)=—^ Работа искомой силы F на пути 8 равна изменению энергии, взятому с противоположным знаком: e0su2 (є"1)? А = -AW = W, - W0 = 1 + (e_1)^][1+(?_1)f] 1 2 Г- , + » Значение силы F, вообще говоря, изменяется. Но если путь 8 достаточно мал, то можно считать, что A = F8 = W1- W2. Отсюда следует, что E0SU2 Є - 1 2dl [l + (?-l)f]2' если пренебречь величиной 8 в знаменателе. Примечание. В то время как при подсчете энергии мы считали, что поле внутри конденсатора однородно, и пренебрегали краевыми эффектами для физического объяснения происхождения силы, действующей на диэлектрик, обязательно надо учитывать неоднородность поля у краев. 20. Энергия конденсатора в случае, когда диэлектрик втянулся на расстояние х внутрь конденсатора, равна: Если х увеличить на 8, то энергия конденсатора увеличится на є 0u2s s AW-Wt-W^-^ie-l)*. Заряд на обкладках конденсатора при перемещении диэлектрика на расстояние 8 увеличится на equs § Работа, совершаемая источником напряжения при перемещении такого количества электричества, равна: e0t/2S б -А = («2 ~ = —- • За счет этой работы увеличивается электростатическая энергия конденсатора и совершается работа по втягиванию диэлектрика. А = W2 - Wj + FS, т. е. ENUZS § E0t/2S § e.nU2S Отсюда F = 2dl (e - 1). В этом случае, как мы видим, сила постоянна и не зависит от х. Упражнение 5 1. j = jjJ =1,8 • 10б А/м2. 2. І = т^-. Ток течет в направлении от положительно заряженной пластины первого конденсатора к положительно заряженной пластине второго конденсатора. It 2 [/S /г nd2U Ш 3. q = -н- = 25 Кл. 4. р = = 5 • 1СГ7 Ом • м. Д,(1 + at)- R 5. fj = — « 45 °С. 6. 1 = aR nd2AU • 0,15 А. 4р0(1 + at) Мощность, потребляемая прибором в момент его включения, во много раз больше номинальной, так как сопротивление холодной спирали мало. Соответственно велико падение напряжения на проводах, идущих от магистрали в квартиру. По мере нагревания спирали потребляемая мощность падает, приближаясь к номи-нальной. t = тп ¦ 35 с. 0,9 кг. Способ переделки ясен из рисунка 4. mgh ПIU T\IUT сЩП 9. U2d\пт 11. га = 13 (здесь рв = 103 кг/м3 — плотность воды, 12. S - 2,2 • 10"4 м2 Рис. 4 4р pjVd^-t) tK = 100 °С — температура кипения воды) = 2р IP Р(1 - Р)?Г 13-а^пр=^2=6мин; 14. б) fnc = tt + t2 = 25 мин. R З • 8 15. R2 = gflj = 90 Ом. (CA - /3Л,)Д2 /з(Ді3+гД2)г ~ 40 Ом. При установке движка в точке А: I = 0; U = 0; в точке В: I = 0,109 A; U = 10,9 В; в точке С: I = 0,208 A; U = 20,8 В; в точке D: I = 0,5 А; С/ = 50 В. г = Д(7з -1) = 0,73Д. Д0=§. Я0=|Я. .До-Jr. _ cur2 ^ -RJ + R2 ?(?-*)-їв-. или - ил 24. R = Д.,1,.. ГД « 79 кОм. х U2(U ~ Ul> 25.8 = Л R + R0 ' Упражнение б 1- 9 = = 1,5 • Ю-5 Кл. il 2 Ri Но г =^^«13,3 Ом. Л Сопротивления внешнего и внутреннего участков цепи должны быть равны между собой. г-<" + 1)<в-1)Д-з,за«. т - п + 1 ' См. рис. _ /f/CBj - л - R2) 8- IR.-U =2,1 В. При зарядке аккумулятора U1 = ? + Ir = 5 В, а при разрядке С/2 = ? - /г = 3 В. Соответствующие распределения потенциала изображены на рисунке 6, а—г.? О R О а) б) Рис. 5 ч r Рі plr2 + Р2Г1 ч г л с *)і = Т-ГГ2>Чв-<»А= r1 + r2 ;г)/-о;Фй-Фа^1 + [7^ - g2) 11. U, = 1,86 В. Єї + Є2 2?,?2 - t7,(?, - So) 12. C7„ = 1 ' ,1-1 2 « 1,57 B. 13. Если — < R + r1" 14. Л = P 2 „ = 1 Ом; R > n 2 „ = 1 Ом. - f?2 15. фА - фв = О. ла тт _ 6Л + 24г „ тт 11Л + 40г~ 1в' UAC ~ М+ 1бг ^ BD ~ ЗЛ + 16r Р- 1 М г • 2 г (ft»2 - f2rl)Rl 18, 7l ~ ЛхЛ^ + ^ + г^^+Л,) " 0,73 А- ш-жтгг-™*- on Г - (N-2k)f г0' ~ R + Nr • 21. r = 0;? = ft. При условии, что внешнее сопротивление цепи равно внутреннему сопротивлению одного элемента. Последовательно. 2б.АГ=^*=96;/=§ Д =7,36А. Упражнение 7 2 2 2 , _ ma г ТТ тш Л 1. Jh ; і/ = 2. > .М.мОеЧ 2е 2яЛ а/ т — = 1,4. "м Q = ^ = 40 Дж. k t mzk. mt — —г— - m2 = 80,6 мг. в. =2,4 г. 7. Определенная концентрация ионов есть результат динамического равновесия: количество ионов, возникающих вследствие электролитической диссоциации, равно убыли числа ионов вследствие обратного процесса — рекомбинации (ионы противоположных знаков, столкнувшись, могут образовать нейтральную моле-кулу). Вблизи электродов концентрация ионов падает, и это равновесие нарушается. Число ионов, возникших вследствие диссоциации, оказывается больше числа рекомбинированных ионов. Именно этот процесс поставляет ионы в раствор электролита. Процесс происходит вблизи электродов. Внутри раствора электролита динамическое равновесие не нарушается. За секунду к катоду прибывает и на нем выделяется n+v+S положительных ионов (S — площадь катода). Одновременно удаляется n_v_S отрицательных ионов. В процессе ухода отрицательных ионов динамическое равновесие между нейтральными молекулами раствора электролита и ионами, на которые они распадаются, нарушается (см. задачу 7). Вновь возникает n_v_S отрицательных и столько же положительных ионов. Положительные ионы также выделяются на катоде, и в результате заряд, переносимый положительными ионами, выделившимися на катоде в секунду, оказывается численно равным полному току. 9. - 120А/м2. 10. = 66. 5 • 106 см-3. 106 м/с. з С 6 3 • 106 В/м; 2,3 Г = — = 300 A; U = ^ = 3 ¦ 104 В. р т 3 С При охлаждении отрицательного угля дуга погаснет, так как горение дуги обеспечивается сильной термоэлектронной эмиссией с катода, которая прекращается при его охлаждении. Охлаждение положительного угля не будет влиять на работу дуги. Полная энергия электрона равна сумме кинетической и потенциальной энергий. 5 7 10 U, В Рис. 7 При приближении к кольцу потенциальная энергия электрона в поле кольца уменьшается, и за счет этого растет кинетическая энергия. Пройдя сквозь кольцо, электрон удаляется от него. При этом потенциальная энергия электрона увеличивается, а скорость постепенно уменьшается до нуля. Первый диод начинает проводить ток только при U > 0, т. е. при U > foj, второй — при U > в2 и третий — при U > ?3. Поэтому график зависимости полного тока от напряжения представляет собой ломаную линию (рис. 7): / = 0 при U < I = k(U~ (Sj) при ё2; I = k(U- + k(U - ?2) при 17. Анода достигают электроны с энергиями от 74 до 80 эВ. От потенциала сетки эта энергия не зависит. (1 эВ = 1,6 х Ю-19 Дж — это энергия, приобретаемая электроном при прохождении им разности потенциалов в 1 В.) , „ el2U . „ 1S-y=4dWk =°'8см- Mi-mrh =54В- 2 rdmVf.tR а 20. R = 0 2 e$l - dmv0tg а п = ^^ = 3,6 • 10~7 = 3,6 • 10"5%. Нет, так как олово также четырехвалентно. Правая часть — в пропускном, а левая часть — в запирающем направлении; = 2,7 Ом; = 1,1 МОм. Упражнение 8 М = кR2BI = 6 • 10"6 Н • м. В = 3. h = 8 Вх 2 В произвольной точке линии АВ любой малый элемент тока проводника АСВ создает магнитное поле, индукция которого перпендикулярна плоскости чертежа. Симметричный ему элемент проводника ADB создает такое же поле, но с индукцией, направленной в противоположную сторону. Суммарная индукция от двух любых симметрично расположенных элементов поэтому будет равна нулю. Следовательно, в произвольной точке на линии АВ индукция поля, созданного всем проводником, равна нулю, так как прямолинейные участки проводника также не создают поля на АВ. а) 0; б) В = -1-І- = 2 • 10"3 Тл. 1,1 па 6. 7. а) Если токи / и і текут в одну сторону, то расстояние между ши- ной и проводом может быть: х1 = ^ + J-j- + ^^ (устойчивое рав- новесие) ИЛИ Х2 = | - J^j- + (неустойчивое равновесие). ft2 Если -г < -г—г-, 4 4яА т. е. k < j- , провод притянется к шине. яЛ б) Если токи I и і текут в противоположных направлениях, то провод отталкивается от шины и будет в устойчивом равновесии на расстоянии х ~ 2 /Ґ HIil 4 + 4 тек ' BIl mg 8. 9. 56°. а = arctg В = tg а = 0,08 Тл. 11. 2njc(jc + Л) ' 10. Контур притягивается к проводу с силой F = А = 2BIab. F = 2itRBI sin а. 13. В = ; а = arctg ц. IlJ 1 + ц2 El 14. Л = ~ 5 • 10~3 м. Be 2кт 15. п — 1,0 • 10® с-1. 1. 16. Прямолинейное движение протона возможно в двух случаях: а) Вектор Е направлен вдоль траектории протона. Тогда вектор В также должен быть направлен вдоль траектории и его модуль может быть любым, так как магнитное поле на частицу не будет действовать. еЕ в, б) Векторы Е, В и и взаимно перпендикулярны, и сила, действующая на протон со стороны электрического поля, равна по модулю и противоположна по направлению силе Лоренца, действующей на протон со стороны магнитного поля (рис. 8). Так как еЁ + FT = 0, то еЕ - evB = 0 и о. В-*. Рис. 8 V Bal ФМ F = BIR. 19.1 = mglL Рис. 9 На рисунке 9 изображено сечение проводника. Определим магнитную индукцию В в произвольной точке А, находящейся на расстоянии г от оси проводника О. Проведем через точку А замкнутый контур в виде окружности радиусом г, центр которой лежит на оси проводника и плоскость которой перпендикулярна этой оси (см. рис. 9). Применим к этому контуру теорему о циркуляции (4.11.7) ?Вг • Дlt = Hi, і где I — сила тока, пронизывающего этот контур. Из соображений симметрии • Д= В • 2кг, і где В — модуль искомой магнитной индукции. Выбранный контур охватывает часть проводника в виде цилиндра, радиус сечения которого равен г. Поэтому I = у'тсг2. Следовательно, В ¦ 2кг = ц^/лг2. Отсюда R - Из полученной формулы следует, что индукция магнитного поля внутри проводника с током прямо пропорциональна расстоянию от его оси. На оси проводника магнитная индукция равна нулю, а на его поверхности она максимальна. На рисунке 10 эта зависимость представлена графически. Ii0jd В = —g— . Поле однородно (рис. 11), линии индукции перпенди-кулярны плоскости, проходящей через оси симметрии полости и проводника. Магнитная индукция в произвольной точке внутри трубы равна нулю. Упражнение 9 . BSw Во втором случае. За время At контур переместится в положение А'В'С'ІУ (рис. 12) Ва расстояние Ах. При этом магнитный поток, пронизывающий контур, изменится на ДФ = Ф ABB'А' DCCD' ' ВАВаАх ~ BCDaAx = 2пх(х + Ь) = (>Щ^ТТГ) -^02^)^ = - 1 ДФ Так как J. = - д-д^-, а Ах = vAt, то \i0ablv Ii = 2nx(x + b)R ' Ток, индуцированный в контуре, направлен по часовой стрелке. 0,01В. В контуре ABCD действует ЭДС индукции ёг = ka2, а в контуре ka BEFC ЭДС индукции (?2 = ~2~ - Простейшая эквивалентная схема с гальваническими элементами, заменяющими ЭДС индукции, для нашей цепи имеет вид, изображенный на рисунке 13. На основании второго правила Кирхгофа можно записать: I3ar = - /j • 3аг = І2 • 2аг - g2. По первому правилу Кирхгофа Іх = І2 + Is. Решая полученные уравнения, находим: _ 3gt + g2 _ ¦"і 1 1 „,. ' 2 ^ +Щ 2$х - 3?2 » 11 аг '2 Наг "З Цаг Учитывая выражения для Єг и окончательно имеем: r _ 7 ka т _ 3 ka T _ 1 ka ~ 25 T": ~~ П7 ; ~ 55 T" • O' /j A' В В' x —jc Дх D' С Рис. 12 О А = ^ д v At, если А< < ^ . В нашей задаче At > ^ , поэтому = 2,5- 10«Дж. ,2 2 2 . d2 2. a v о _ В a t ~R v R~ Сначала проводник будет двигаться (падать) ускоренно с умень-шающимся по модулю ускорением. Когда скорость проводника достигнет значения mgR v = В2/2 она дальше изменяться не будет — проводник начнет двигаться равномерно. г,2,2 F а = 5-5— . За счет совершения работы силой F на пути s уве- т + В ГС личиваются кинетическая энергия проводника и электростатическая энергия конденсатора. (Так как L = 0, то энергия тока равна нулю.)