2. Основы теории потенциала

2.1. Вспомогательные сведения из математического анализа.

2.1.1. Основные ортогональные координаты. Пусть задана система трех (однозначных) функций от трех переменных каждая

XI = фі(иі,и2,из),

*2 = Ф2(И1,"2,"3), (1)

*3 = Фз("1."2,"з)-

Если предположить, что каждой системе значений щ, м2, "з соответствует определенная точка М в пространстве с декартовыми координатами

Х2, хз, то можно считать числа и\, м2, из криволинейными координатами точки М.

Рассмотрим два основных примера криволинейных ортогональных ко-ординат.

1°. Цилиндрические координаты:

X = ГСОБф, > = Г5ІПф, Z = z (ф Є [0,2л], г>0)

(здесь вместо xi, Х2, хз записано х, у, z, а вместо щ, и2, из — г, ф, z). В двумерном случае при независимости от z цилиндрические координаты называются полярными.

2°. Сферические координаты:

х = гвтОсоэф, у = rsinOsit^, z = rcos9 (в Є [0, те], ф Є [0,2л], г > 0).

2.1.2 Основные дифференциальные операции векторного поля. Пусть ф = ф(мі, иг, из) — скалярное, F = F(«i, и2, из) — векторное поле, F =

= ® декартовых прямоугольных координатах определяются

следующие операции: градиент—

з

grady = Уф = ХЭ.фе,; (=1 дивергенция — ротор (вихрь) —

3

divF=(V,F)3 = Xa.^; i=i Єї Є2 Єз

Зі д2 дз Fi F2 F3

rotF = [V, F] = оператор Лапласа (лапласиан) — з

Дф = divgradф = X і=і

р.

для удобства введено обозначение Э, = Оператор Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид

1 d / dv\ 1 Э2У Э^у

:Эг V aJ + rW + az:

В сферических координатах

1 Э / 2 3v\ 1 / . л 3v\ 1 32v

/ ¦ ~ (sin6 1 + ^5—5 r-.

V эе/ /^sin G Эсо w

г2 дг V Эг/ /^sinG V Э0/ sin2 G Эф

2.1.3 Формулы из теории поля. Пусть и и v — две произвольные функции, обладающие непрерывными частными производными до второго порядка включительно. Вместо того чтобы писать и = и(х, у, z), будем писать и — и(А), где точка А имеет координаты (х, у, z). Расстояние между точкой А(х, у, z) и точкой г|, Q равно

ГАР = sJ(x-t,)2 + (y-r\)2 + (z-Qi.

Символы дифференциальных операторов от функций А и Р мы будем снабжать индексами А или Р в зависимости от того, производится дифференцирование по х, у, z или Г), так, например,

д2и д2и д2и , ди. ди . ди.

Далее, символ (gjj) обозначает производную в направлении нормали к 5*

поверхности п, проходящей через Р:

(ди\ ди ди ди

[rJp = Mcosa+ ^cosP + 9Ccosy'

где cos a, cosP, cosy — направляющие косинусы нормали п. Запишем формулу Остроградского-Гаусса

III {Тх + Ту+ f )dV = //(^osa + GcosP + ^cosy) V s

где косинусы являются направляющими косинусами внешней нормали п. Полагая в ней P — ud\v, Q — u d2v, R — u 83 V, приходим к первой формуле Грина

JJJ (grad и, grad v) dV + JJJ uAvdV = JJ u-?dS. (4)

V V s

Поменяем в формуле (4) и и v местами и полученную формулу вычтем из (4). Тогда получим вторую формулу Грина

IIJ{uAV-VAu}dV = ll{ud?-V^)dS. (5)

V S

Если Л Є V, то непосредственно подставить в (5) v = 1 /гАР нельзя. Окру-жая точку А сферой с малым радиусом, применяя вторую формулу Грина (5) к функциям и и v вне сферы и устремляя радиус вспомогательной сферы к нулю, получаем основную интегральную формулу Грина

5 v

В зависимости от местоположения точки А коэффициент О. принимает значения О. = 4л, А Є V, О. — 2п, А Є dV, О. = О, A g V. Аналогично, обозначим в двумерном случае через D некоторую область плоскости (х, у), ограниченную гладкой замкнутой кривой L (или несколькими такими кривыми). Тогда для произвольных функций и и v, обладающих непрерывными частными производными до второго порядка включительно, имеют место следующие выражения:

d d l

ff{uAV-VAu)dS=j{ud?-Vd^dl, (8)

D L

х? э(ш!)) 4 ":= h/ 1п7 ? "'"ОК 2nilAuln-гds' (9)

d

а

где ^ — оператор дифференцирования в направлении внешней нормали

Р)2 Р)2

к L, Д = + , г = ГАР — расстояние между точкой А и переменной dq оті

точкой Р.

2.1.4.

Аи = 0. 1Г
СПРАВЕДЛИВЫ СЛЕДУЮЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ U.
S т. е. интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

2°. Значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой

5

3°. Значение гармонической функции в центре А сферы SR радиуса R равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности'.

uM=*bffuds-

Sr

4°. ИзЗ° вытекает принцип максимума: функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до ее границы, достигает своего наибольшего и наименьшего значения на границе области.

2.2. Потенциал объемных масс или зарядов.

2.2.1. Ньютонов (кулонов) потенциал. Пусть V — некоторая конечная область пространства, ограниченная кусочно гладкой замкнутой поверхностью S. Пусть в V задана функция р(Р), которую мы предполагаем непрерывной и ограниченной в V. Тогда

^p-dV (10)

v

называется потенциалом бесконечных масс или ньютоновым потенциалом масс, распределенных по объему V с плотностью р. Функция и(А) может также трактоваться как кулонов потенциал объемно-распределенных зарядов.

2.2.2. Свойства ньютонова потенциала Во всех точках А вне V функция и(А) из (10) непрерывна и любое число раз дифференцируема по x,y,z под знаком интеграла. В частности,

grad и (Л) = ЦІ p(/>)grad(i) dV = - JJJ p(P) (-L) dV, (11) v v

где r - радиус-вектор, r= rAP = (A: —1-F-(>» —ТІ) j-F-(Г —Q k, A — A(x,y, z), P = P{%, 11, С). Поскольку Д(1 /гАР) = 0, A Р € V, то

Дк(Д) = JJJр(Р)А (-L) dV = 0, A$V.

v

Таким образом, потенциал и(А) масс или зарядов, распределенных по объему V, удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках вне V.

На очень большом расстоянии от начала или, что то же самое, от области V имеет место приближенное равенство

u(A)^-rJJJp(P)dV = j, (12)

v ди С ди С ди С дх <1> г ду dz где М = JJJpdV — полная масса тела.

г

(13)

где С — некоторая постоянная.

2.2.3. Потенциал однородного шара. Пусть V — шар радиуса R с центром в начале координат с постоянной плотностью р = const. Переходя к сферическим координатам г, <р, 9, где ? = rsin9cosЦ-, если r>R,

«м = < м[ъ_(1в] у если

Нетрудно видеть, что и(г) и ее первая производная и'(г) непрерывны для всех г > 0, однако вторая производная и"(г) претерпевает разрыв в точке r = R.

Во всех внешних точках потенциал однородного шара равен потенциалу материальной точки той же массы, помещенной в его центр, и удовлетворяет уравнению Лапласа. Во всех внутренних точках шара потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона Аи = —4лр.

2.2.4. Свойства потенциала объемно-распределенных масс. Потен-циалы конечных тел произвольной формы и переменной Ограниченной плотности имеют следующие два характерных свойства.

1°. и и gradw непрерывны во всем пространстве.

2°. и(А) 0 при г = sjx2 +y2 + z2 °° и г2! gradw| < С.

Обратно, если некоторая функция и(А) обладает этими двумя свойствами, то найдется такой объем V, что

v

т.е. она является ньютоновым потенциалом масс. Здесь р = — (1/(4п))Ди.

2.3. Логарифмические потенциалы.

Определение логарифмического потенциала. Пусть D — некоторая конечная область плоскости Оху, ограниченная кусочно гладкой замкнутой кривой L. Пусть в D задана непрерывная функция р(Р) — плотность области D. Тогда

и(А) = JJp(P)ln-rdS (14)

d

называется логарифмическим потенциалом области с плотностью р.

Свойства логарифмического потенциала. Во всех точках А плоскости, не принадлежащих D, и(А) является непрерывной функцией от А, любое число раз дифференцируемой по х и у под знаком интеграла. В частности,

gradA и = Л р(Р) gradA In ±-dS=-ff р (Р) ± dS, (15)

d d

где г = (я - і + (у - Г]) j. Далее, поскольку

ДАи = II Р(/»)ДА(ІП^-)<Ю, D ГЛР

то логарифмический потенциал области удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, не принадлежащих этой области. Напомним, что аналогичным свойством обладает ньютонов потенциал (п. 2.2.2).

Логарифмический потенциал области представим в виде суммы логарифмического потенциала точки, помещенной в начале координат с массой, равной массе всей области, и некоторой функции, которая ведет себя на бесконечности как потенциал объемно-распределенных масс, т. е.

и(А) =АПп(1/г) + и*(Д), где u*(N)-+ О при г->-°°,

и имеет место неравенство г2! gradA и*| < С, где С — некоторая постоянная. В частности, при удалении точки А в бесконечность абсолютная величина логарифмического потенциала области растет как In г.

Логарифмический потенциал области и его частные производные первого порядка непрерывны на всей плоскости, причем формула (15) остается в силе и для точек А, принадлежащих D.

Если первые производные функции р непрерывны, то внутри области D логарифмический потенциал удовлетворяет двумерному уравнению Пуассона

А и = -2пр,

а снаружи — уравнению Лапласа.

Логарифмические потенциалы области удовлетворяют следующим трем свойствам.

1°. и(А) и grad и непрерывны на всей плоскости. 2°. А и существует и равен нулю вне некоторой конечной области ?>, ограниченной кусочно гладкой кривой L, а внутри D лапласиан А и непре-рывен и имеет непрерывные производные первого порядка.

М = Л р (P)dS

d

и и*(Д) = ы(Д) -/W 1п(1/г), где г — \/х2+у2, то и*(А) 0 при г и r2| gradA < С, где С — некоторая постоянная.

Обратно, если некоторая функция и(А) обладает свойствами 1°-3°, то она является логарифмическим потенциалом некоторой области D с плотностью р(Р), т.е.

и (А) = II p(P)\n^dS.

d

2.3.3. Логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью. Рассмотрим круг КЦ радиуса R: ?2 + Т12 < R2 и положим р = const. Тогда вне KR

и(А) = n/?2pln - = ЛЛп -, г г

где М = пЛ2р — полная масса круга KR. Внутри KR

Таким образом, логарифмический потенциал вне круга равен логарифмическому потенциалу точки, помещенной в центр круга с массой, равной массе всего круга. Это свойство совпадает с соответствующим результатом для объемного потенциала вне шара (п. 2.2.3).

2.4. Потенциал простого слоя.

2.4.1. Определение потенциала простого слоя в пространстве. Пусть V — ограниченная область трехмерного пространства, р(Р) — непрерывная функция точки в этой области и г — расстояние от точки А до переменной точки Р Є V. Потенциал объемных масс определяется, как известно (п. 2.9.1), формулой

•рС)

¦dV.

«л,-///!

v

Точно так же потенциал простого слоя, распределенного по поверхности 5 с плотностью р(/>), определяется формулой

р (Р)

dS, (16)

г

S

где 5 — конечная гладкая поверхность, на которой задана непрерывная ограниченная функция p(Z'). Обычно на «извилистость» (фрактальность) поверхности S налагаются дополнительные ограничения; такие поверх-ности называются поверхностями Ляпунова.

Потенциал (14) называется ньютоновым потенциалом масс (или ку- лоновым потенциалом зарядов), распределенных на 5 с поверхностной плотностью р. Потенциал и(А) принято называть потенциалом простого слоя, а поверхность 5 — несущей поверхностью слоя. Если несущая поверхность не замкнута, то мы будем предполагать, что она ограничена кусочно гладкой кривой.

2.4.2. Свойства потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках пространства, не лежащих на несущей поверхности слоя.

На бесконечности потенциал простого слоя ведет себя как потенциал материальной точки, расположенной в начале координат, причем сосредо-точенная там масса равна всей массе, распределенной по S. Для частных производных первого порядка потенциала простого слоя имеют место, как и для потенциала объемно-распределенных масс, неравенства ди ду

ди дх

ди dz

С

<Л>

С к7'

Потенциал простого слоя непрерывен во всем пространстве. Нормаль-ная производная потенциала простого слоя претерпевает разрыв при пе-ресечении слоя, причем величина скачка при пересечении слоя в точке А в направлении дифференцирования равна ди\ {ди\ дп/А+ \Эн/А_

(

4пр(А). (17) Значение нормальной производной в точке А равно

(эй)д = 2 { (эй ЗАМЕТИМ, ЧТО В ТОЧКАХ СЛОЯ, В КОТОРЫХ ПЛОТНОСТЬ РАВНА НУЛЮ, НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ НЕПРЕРЫВНА. РАВЕНСТВО (17) МОЖНО УТОЧНИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
(SW/PF^^M, <|8>
ГДЕ П — ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР ВНЕШНЕЙ НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ 5 В ТОЧКЕ А, -І
Г = АР. ОТМЕТИМ, ЧТО В ДАННОМ СЛУЧАЕ НОРМАЛЬ П ФИКСИРОВАНА.
ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОЙ СФЕРЫ. ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОЙ СФЕРЫ (ПРОСТОГО СЛОЯ) ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ Р НЕПРЕРЫВЕН И РАВЕН
J 4ЛЛ2РІ = ^, ЕСЛИ R>R, U(R) = < R R
\ 4NRP=JF, ЕСЛИ R < R,
ГДЕ M — 4ПЛ2Р — МАССА, РАСПРЕДЕЛЕННАЯ ПО СФЕРЕ.
ЭТОТ РЕЗУЛЬТАТ НЕПОСРЕДСТВЕННО ПОКАЗЫВАЕТ, ЧТО ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПРОСТОГО СЛОЯ НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ТЕРПИТ РАЗРЫВ. ЕСЛИ ПРИ ЭТОМ СЛОЙ ПЕРЕСЕКАЕТСЯ В НАПРАВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, Т. Е. В НАПРАВЛЕНИИ ВОЗРАСТАНИЯ Г, ТО СКАЧОК НОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ РАВЕН
ИШ И'(Г) - LIM И'(Г) — -47ГО.
Г-Ш+О R-YR-0
ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ НА ПЛОСКОСТИ. ПУСТЬ В ПЛОСКОСТИ Х, У ДАНА ГЛАДКАЯ КРИВАЯ L (ЗАМКНУТАЯ ИЛИ НЕ ЗАМКНУТАЯ) И НА НЕЙ НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ P(Z'). ПОСКОЛЬКУ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ОБЛАСТИ ЗАПИСЫВАЕТСЯ В ВИДЕ (14), ТО ВЫРАЖЕНИЕ
И(А) = J P(P)LAJ-DL (20)
L ГЛР
НАЗЫВАЕТСЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ ПРОСТОГО СЛОЯ. КРИВАЯ L НА-ЗЫВАЕТСЯ НЕСУЩЕЙ ЛИНИЕЙ СЛОЯ, А Р(Р) — ЕГО ПЛОТНОСТЬЮ. ПОДОБНО ЛОГАРИФМИЧЕСКОМУ ПОТЕНЦИАЛУ ОБЛАСТИ В ДАННОМ СЛУЧАЕ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ GRAD И КАК ПРЕДЕЛ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ А, ЛЕЖАЩЕЙ В ПЛОСКОСТИ Z = 0, ОТ ПРОСТОГО СЛОЯ, РАСПРЕДЕЛЕННОГО С ПЛОТНОСТЬЮ (1/2)Р, НЕ ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ Z, ПО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА ВЫСОТЫ 2А, ВОССТАНОВЛЕННОГО НА L ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ПЛОСКОСТИ ОХУ И СИММЕТРИЧНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО НЕЕ. ПРЕДЕЛ РАССМАТРИВАЕТСЯ ПРИ А —» САМ ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ ЭТОГО ЦИЛИНДРА СТРЕМИТСЯ ПРИ ЭТОМ К БЕСКОНЕЧНОСТИ, НО ЕГО ГРАДИЕНТ СТРЕМИТСЯ К КОНЕЧНОМУ ПРЕДЕЛУ.
В ТОЧКАХ Л, НЕ ЛЕЖАЩИХ НА L, ПОТЕНЦИАЛ (20) ЯВЛЯЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ А, ЛЮБОЕ ЧИСЛО РАЗ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ПО Х И У ПОД ЗНАКОМ
ИНТЕГРАЛА. В ЧАСТНОСТИ,
GRADИ = - JР(P)^DL, АИ = JР{Р)А (IN DL = 0.
L L
ЕСЛИ НА НЕСУЩУЮ ЛИНИЮ СЛОЯ L НАЛОЖИТЬ УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ КРИВИЗНЫ, ТО ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ НЕПРЕРЫВЕН ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ СЛОЯ, Т. Е. НЕПРЕРЫВЕН ВО ВСЕЙ ПЛОСКОСТИ.
НА БЕСКОНЕЧНОСТИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ ВЕДЕТ СЕБЯ ТАК ЖЕ, КАК И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ОБЛАСТИ, Т. Е. УДОВЛЕТВОРЯЕТ УСЛОВИЮ
И(А) = АМП-+И*(А),
Г
ГДЕ М = J Р(Р) DL И И* (Л) 0 ПРИ Г = \/Х2 + У2 А ТАКЖЕ | GRADA И* \ <
< С/Г2. В КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА РАССМОТРИМ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ ОТРЕЗКА [—А, А] ОСИ АБСЦИСС С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ Р = CONST. ИЗ (20) ПОЛУЧАЕМ
А А
И{Х,У)= Р [ ІП 1 Р [ IN{&-X)2+Y2}DT.
2.5. ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ.
ПОТЕНЦИАЛ ДИПОЛЯ. ПУСТЬ ДАНЫ ДВА РАВНЫХ ПО ВЕЛИЧИНЕ, НО ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПО ЗНАКУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДА +Е И —Е, НАХОДЯЩИХСЯ НА РАССТОЯНИИ H ДРУГ ОТ ДРУГА (ДИПОЛЬ). ПРЯМУЮ, ПРОХОДЯЩУЮ ЧЕРЕЗ НИХ, СНАБДИМ НАПРАВЛЕНИЕМ ОТ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЗАРЯДА К ПОЛОЖИТЕЛЬНОМУ. ЭТО БУДЕТ ОСЬ ДИПОЛЯ П.
ПУСТЬ Р — ТОЧКА, ЛЕЖАЩАЯ ПОСЕРЕДИНЕ МЕЖДУ ЗАРЯДАМИ, А — ПРОИЗВОЛЬНАЯ ТОЧКА, А 8 — УГОЛ МЕЖДУ ОСЬЮ П И НАПРАВЛЕНИЕМ РА. ЗАПИСЫВАЯ ПОТЕНЦИАЛ В ТОЧКЕ А И ПЕРЕХОДЯ К ПРЕДЕЛУ ПРИ H—> 0 ТАК, ЧТОБЫ ЗАРЯДЫ УСТРЕМЛЯЛИСЬ В ТОЧКУ Р ВДОЛЬ СОЕДИНЯЮЩЕЙ ИХ ПРЯМОЙ, ПРИЧЕМ ПРОИЗ-ВЕДЕНИЕ EH СТРЕМИЛОСЬ К НЕКОТОРОМУ КОНЕЧНОМУ ПРЕДЕЛУ V, НАЗЫВАЕМОМУ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДИПОЛЯ, ПОЛУЧАЕМ ВЫРАЖЕНИЕ
COS 8 Э(1/Г)
КОТОРОЕ НАЗЫВАЕТСЯ ПОТЕНЦИАЛОМ ДИПОЛЯ МОМЕНТА V, РАСПОЛОЖЕННОГО В ТОЧКЕ Р И ИМЕЮЩЕГО СВОЕЙ ОСЬЮ ОРИЕНТИРОВАННУЮ ПРЯМУЮ П.
ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И ЕГО СВОЙСТВА. ОБОБЩИМ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА ДИПОЛЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ. ВОЗЬМЕМ НЕКОТОРУЮ ГЛАДКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ЛЯПУНОВА S, КОТОРАЯ БУДЕТ НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПОТЕНЦИАЛА, И НА НЕЙ ЗАДАДИМ НЕПРЕРЫВНУЮ ФУНКЦИЮ V(P) — ПЛОТНОСТЬ МОМЕНТОВ ДВОЙНОГО СЛОЯ. ОТНОСИТЕЛЬНО S ПРЕДПОЛОЖИМ ЕЩЕ, ЧТО ОНА ЯВЛЯЕТСЯ ОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ, Т. Е. НА НЕЙ УКАЗАНЫ ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ СТОРОНЫ. ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО ЕСЛИ В НЕКОТОРОЙ ТОЧКЕ Р НА S ВЫБРАНО ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ НОРМАЛИ П И ТОЧКА Р ПЕРЕНОСИТСЯ ПО 5 ВДОЛЬ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ, ПРИЧЕМ НАПРАВЛЕНИЕ П ПРИ ЭТОМ ИЗМЕНЯЕТСЯ НЕПРЕРЫВНО, ТО ПРИ ВОЗВРАЩЕНИИ В ИСХОДНУЮ ТОЧКУ НАПРАВЛЕНИЕ НОРМАЛИ СОВПАДАЕТ С ИСХОДНЫМ. НА ОРИЕНТИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТИ НУЖНО В КАЖДОЙ ТОЧКЕ ОПРЕДЕЛИТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ НОРМАЛИ ТАК, ЧТО ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР П ЭТОГО НАПРАВЛЕНИЯ БУДЕТ НЕПРЕРЫВНЫМ НА НЕЙ.
ИЗ ВЫРАЖЕНИЯ (21) ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ДИПОЛЯ УДОВЛЕТВОРЯЕТ УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА ВО ВСЕХ ТОЧКАХ АФР.
ПРОВЕДЕМ СЛЕДУЮЩЕЕ ПОСТРОЕНИЕ. НА НОРМАЛИ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ Р ПО-ВЕРХНОСТИ S ОТЛОЖИМ В ОБЕ СТОРОНЫ ОТ Р ОТРЕЗКИ ДЛИНЫ (1/2)H, ГДЕ H — ДОСТАТОЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА. В КОНЦЕ ЭТИХ ОТРЕЗКОВ ПОМЕСТИМ ЗАРЯДЫ ±(L//I)V(/>) ТАК, ЧТО НАПРАВЛЕНИЕ ОТ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЗАРЯДА К ПОЛОЖИТЕЛЬНОМУ СОВПАДАЕТ С НАПРАВЛЕНИЕМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НОРМАЛИ. ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОЛУЧАЕМ ДВА ПРОСТЫХ СЛОЯ С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ ±(1 /H)V(P), ЛЕЖАЩИХ НА БЛИЗКОМ РАССТОЯНИИ ПО ОБЕ СТОРОНЫ ОТ S. В ПРЕДЕЛЕ ПРИ H —» О ПОЛУЧАЕМ ДВОЙНОЙ СЛОЙ НА НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ S С ПЛОТНОСТЬЮ МОМЕНТОВ V С ПОТЕНЦИАЛОМ
(22)
ЗДЕСЬ 8 ОБОЗНАЧАЕТ УГОЛ МЕЖДУ ЕДИНИЧНЫМ ВЕКТОРОМ НОРМАЛИ П В ТОЧКЕ Р И НАПРАВЛЕНИЕМ РА (А — ПРОИЗВОЛЬНАЯ ТОЧКА).
ЭТОТ ПОТЕНЦИАЛ ЯВЛЯЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИЕЙ ОТ А ВО ВСЕХ ТОЧКАХ, НЕ ЛЕЖАЩИХ НА НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ S, ИВ ТАКИХ ТОЧКАХ И(А) МОЖНО ЛЮБОЕ ЧИСЛО РАЗ ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ ПО Х, У, Z ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА. В ЧАСТНОСТИ,

ТАК ЧТО ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ УДОВЛЕТВОРЯЕТ УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА ВО ВСЕХ ТОЧКАХ, НЕ ЛЕЖАЩИХ НА НЕСУЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ.
ИЗ (22) НЕТРУДНО УСТАНОВИТЬ ПОВЕДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ: Г21М(А)| < С, RI\GRADAU\ < С, ГДЕ С — НЕКОТОРАЯ ПОСТОЯННАЯ. ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ УБЫВАЕТ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ НЕ МЕДЛЕННЕЕ, ЧЕМ С/Г1, А ЕГО ПЕРВЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НЕ МЕДЛЕННЕЕ, ЧЕМ С /Г3. В ЧАСТНОСТИ, ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ 1ІТГ_»«,ГМ(Д) = 0.
РАССМОТРИМ ВАЖНЫЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ, КОГДА ПЛОТНОСТЬ МОМЕНТОВ СЛОЯ ПОСТОЯННА. ПУСТЬ V = CONST. ТОГДА

ГДЕ А — ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ, ПОД КОТОРЫМ ПОВЕРХНОСТЬ 5 ВИДНА ИЗ ТОЧКИ А. ЗНАК ПРАВОЙ ЧАСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАКОМ COS8, Т.Е. ЗАВИСИТ ОТ ВЫБОРА ПО-ЛОЖИТЕЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ НОРМАЛИ. ЕСЛИ ТОЧКА А ОКАЗЫВАЕТСЯ ВНУТРИ ЗАМКНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ТО ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ МОМЕНТОВ V ИМЕЕТ ВНУТРИ ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 4NV (ЕСЛИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ СЧИТАТЬ ВНУТРЕННЮЮ НОРМАЛЬ). ВО ВСЕХ ТОЧКАХ, ЛЕ-ЖАЩИХ ВНЕ ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ПОТЕНЦИАЛ РАВЕН НУЛЮ И РАВЕН2ИМ ВО ВСЕХ ТОЧКАХ СЛОЯ (Т. Е. КОГДА ТОЧКА А ЛЕЖИТ НА ПОВЕРХНОСТИ).
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ОКАЗЫВАЕТСЯ, ЧТО ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ СЛОЯ ПРЕТЕРПЕВАЕТ РАЗРЫВ, ПРИЧЕМ ВЕЛИЧИНА СКАЧКА ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ В НАПРАВЛЕНИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НОРМАЛИ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ А СЛОЯ РАВНА
U+(A)-U-(A)=ANV(A),
ПРЯМОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В ТОЧКЕ А РАВНО
И0(А)=1-{И+(А) + И.(А)},
А НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ ОСТАЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ СЛОЯ. ТОЧНЕЕ,
М+(А) = Л P(P)^^-DS + 2NP(A), (23)
S
«,_(А) = II P(P)C-2^LDS-2NP(A). (24)
-»
ЗДЕСЬ Г =АР, П — ВНЕШНЯЯ НОРМАЛЬ В ПЕРЕМЕННОЙ ТОЧКЕ Р, И+(А) — ВНУТРЕННИЙ ПРЕДЕЛ ЗНАЧЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛА В ТОЧКЕ А, И-(А) — ВНЕШНИЙ ПРЕДЕЛ.
2.5.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ И ЕГО СВОЙСТВА. РАССМАТРИВАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ДВУХ ТОЧЕК, Р\ И Р2, С РАВНЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ, НО ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ ПО ЗНАКУ ЗАРЯДАМИ ±Р, РАСПОЛОЖЕННЫМИ ДРУГ ОТ ДРУГА НА РАССТОЯНИИ А, ЗАПИСЫВАЯ ПОТЕНЦИАЛ В ТОЧКЕ А И ПЕРЕХОДЯ К ПРЕДЕЛУ А ОО ПРИ УСЛОВИИ АР = V, ПОЛУЧАЕМ
COS 6 Э1П(1/Г) „(A) = V—=V-L/-. (25)
ЭТО ВЫРАЖЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ ДИПОЛЯ С МОМЕНТОМ V. ИЗ ВЫРАЖЕНИЯ (25) ЗАКЛЮЧАЕМ, ЧТО ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ДИПОЛЯ УДОВЛЕТВОРЯЕТ УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА ВО ВСЕХ ТОЧКАХ АФ Р.
НА ОСНОВАНИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ДИПОЛЯ (25) ВВОДИТСЯ ВЫРАЖЕНИЕ
И(А)= LV(P)^DL = LV(P)U\N±)DL, (26)
L L где L — гладкая кривая с непрерывной кривизной, a v(P) — функция, непрерывная на L. Выражение (26) называется логарифмическим потен- циалом двойного слоя, распределенного по несущей линии L с плотностью моментов v(/>). Его физическое толкование, аналогичное толкованиям рассмотренных выше логарифмических потенциалов, может быть легко дано.

В случае v = const интеграл (26) имеет простой геометрический смысл, а именно

F cos0

v І dhp — ±Уф,

l

где ф — угол, под которым хорда кривой L видна из точки А. Знак зависит от выбора направления нормали к L. В частности, если L — замкнутая кривая, то для точек А, лежащих вне L,

/

cos9 >, ~

dl = О,

l

а для точек Л, лежащих внутри L,

/

cos8 ,,

dl = ± 2nv,

l

причем положительный знак имеет место, если нормаль направлена внутрь L, а отрицательный — при противоположном направлении нормали, так как в первом случае 8 — острый угол, а во втором — тупой. При достаточно больших г = \Jх2 + у2

MA)ll

где vm — наибольшее значение |v(/')| на L и С > 0 — некоторая постоянная. Для градиента логарифмического потенциала двойного слоя (26) справедливо неравенство

. j . о Г dl С

| gradA м| <2vmy -j < -j. L

Логарифмический потенциал двойного слоя (26) непрерывен во всех точках А, не лежащих на L, ив этих точках неограниченное число раз дифференцируем по хну под знаком интеграла, а при пересечении слоя в направлении положительной нормали он претерпевает разрыв со скачком 2nv(A), где v(A) — плотность в точке пересечения слоя. Если обозначить через ио(А) значение логарифмического потенциала двойного слоя в точке слоя А, а через и+(А) и м_(Д) — пределы и(В) при стремлении точки В к А со стороны положительной и соответственно отрицательной нормали, то

и+(А) = мо (А) + rcv(A), м_(Д) = u0(A)-nv(A).

Поведение нормальных производных логарифмических потенциалов простого и двойного слоя также аналогично поведению соответствующих

производных ньютоновых потенциалов. Именно, нормальная производная логарифмического потенциала простого слоя претерпевает при пересечении слоя в точке А в направлении положительной нормали разрыв со скачком — 2яр (Л):

(sL-(sL

(ср. (17)), а нормальная производная логарифмического потенциала двойного слоя остается при пересечении слоя непрерывной.