Глава 1 Основные задачи математической физики
Ключевые слова: точечные множества, линейные пространства, банахово пространство, гильбертово пространство, ортонормальные системы, линейные операторы, собственные значения, собственные функции, обобщенные производные, пространства Соболева, основные задачи математической физики, уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение колебаний, уравнение Гельмгольца, уравнение диффузии, уравнение теплопроводности, уравнения Максвелла, телеграфные уравнения, уравнение переноса, уравнения газо- и гидродинамики, граничные условия, начальные условия, классификация уравнений, постановка задач, обобщенное решение, вариационная постановка задач, интегральные уравнения, теоремы Фредгольма, теорема Гильберта-Шмидта.
Основные понятия и обозначения
Область — открытое связное множество.
Компакт — замкнутое ограниченное множество. R" — и-мерное евклидово пространство. дО. — граница ограниченного множества ?2. ||/||х — норма элемента / из нормированного пространства X. С(Т) — банахово пространство непрерывных на Т функций. СР(Т) — банахово пространство функций, непрерывных на Т вместе с производными р-го порядка.СХ(Т), О < X < 1, — пространство непрерывных по Гельдеру функций. — гильбертово пространство функций, квадратично интегрируемых по Лебегу.
Lp(Q.), 1 < р <°°, — банахово пространство с нормой
?2
L„(Q.) — банахово пространство с нормой И/И^д) = supvrai^efi|/(j:)|.
Wp(Q), 1 < р < — пространство Соболева, состоящее из функций f(x) с обобщенными производными вплоть до порядка /.
С°°(?2) — множество бесконечно дифференцируемых в ?2 функций. 1) — множество бесконечно дифференцируемых, финитных в
функций.
supp / — носитель f(x).
D(A) — область определения оператора А.
R(A) — область значений оператора А.
f(x) — функция, комплексно сопряженная к f(x).
L(X,Y) — пространство линейных непрерывных операторов, действующих из пространства X в пространство Y.
Собственное значение — числовой параметр, являющийся вместе с собственной функцией <р решением уравнения Лф = Х<р. Э2
А = ~ оператор Лапласа.
Д2 '
?о = — а А — оператор Даламбера.
©(/) = l|V/||^(?2) = fQ - интеграл Дирихле.
/ K(x,y)u(y)dy = f(x) — уравнение Фредгольма 1-го рода. J а
и(х) —ХІ K(x,y)u(y)dy + f(x) — уравнение Фредгольма 2-го рода. Ja