2. Основные интегральные преобразования
2.1. Преобразование Фурье. Преобразованием Фурье функции /(/) называется выражение
оо
F(x) = J[f\ = -j=j e-"tf(x)dx.
— оо
Функция F(x) называется образом Фурье функции /.
Обратное преобразование Фурье имеет видоо
f(t) = !F-l[F(x)] = -j=J e"*F(x)dx.
—оо
Объединяя эти выражения, приходим к экспоненциальной формуле Фурье
оо оо
f{t) = ±je"*je--«f{x)dxdx, (1)
— оо —оо
которая эквивалентна интегральной формуле Фурье
оо оо
№ = dxj /(T)cos(jc(T-0)dT. (2)
о
Раскладывая косинус разности, получаем тождество
оо
/(/) = J [a(x) cos(rx) + b{x) sin(rx)] dx, (3)
о
где
оо оо
а(х) - - / f{t)cosxtdt, b(x) = - / f(t)s\nxtdt. it J я J
— оо -ОС
Если /(/) — четная функция, то формула (3) принимает вид
оо оо
f{t) = - J cos txdu J f(x)cosxrdx. (4)
о о
Аналогично, если f{t) — нечетная функция, то
оо оо
f{t) = - J sintxdx J f(x) sin xx dx. (5)
о о
Условия на функцию /, при которых справедливы формулы (1), (2), а также прямое и обратное преобразования Фурье, определены в следующей теореме, в которой L{—°°, обозначает пространство функций, интегрируемых по Лебегу на (—«>,
Теорема 1. Пусть f принадлежит L(—°°, и является функцией ограниченной вариации на всяком конечном интервале. Тогда формулы (1), (2) имеют место, если в точках разрыва функции fit) заменить их левые части на (1/2){/(/ + 0) +f{t - 0)}.
2.1.1. Основные свойства преобразования Фурье. Если функция f{t) интегрируема в интервале (—то функция F(x) существует для всех t. Функции F(x) и f{t), являющиеся преобразованиями Фурье одна другой, называются парой преобразований Фурье. Полагая
ад = \J\f доcosxt dt> (6)
о
из формулы (4) получаем
т = У! / вд cos«dx-
о
Функции, связанные указанным образом, называются парой косинус-пре- образований Фурье.
Аналогично, из формулы (5) можно получить пару синус-преобразований Фурье:Fs{x) = ^jf{t)sinxtdt, (8)
о
№ = yJljFs(x)smtxdx. (9)
о
Если /(/) — четная функция, то
F(x) = Fc(x)-, если f(t) — нечетная функция, то
F{x) = iFs{x).
Пусть функции F(x) и G(x) — преобразования Фурье соответственно функций /(/) и g(t), определенных формулами (6), (7). Функции
оо
F(u)G(u) и h(t) = ^ / 8(*)f(t -
являются парой преобразований Фурье. Функция h(t) называется сверткой функций fit) и g(t) и обозначается h = /*g = g* f.
Теорема 2 (о свертке) Пусть /, g Є L(—Тогда h(t)= f*g{t) принадлежит L(—°°,°°), и ее преобразованием Фурье является функ-ция л/2лF(x)G(x). Обратно, произведение y/2nF(x)G(x) принадлежит Ц—оо, оо)_ и его преобразование Фурье определяется формулой f *#(/).
Формулы Парсеваля. Пусть /(/) Є g{t) интегрируема на каж
дом конечном интервале, и пусть
і
G{x) = 7Tn^J8{T)e^dx
для всех х, причем G(x) всюду конечна и принадлежит L(—оо). Тогда имеет место равенство Парсеваля
j F(x)G(x)dx= j f(t)g(-t)dt. (10)
В частности, при / = g имеем формулу Парсеваля
j\F(x)\2dx = j\f(t)\2dt. (11)
2.1.2. Кратные преобразования Фурье. По определению имеем
F{x) = J\f[f)] = /'e-Mf(t)dt,
где X = (хі,хг), t = (t\,t2), xt = X\t\ +x2t2, dt = dt\dt2. Функция F(x) называется преобразованием Фурье функции двух переменных f(t). Для функций /(/) и F(x), принадлежащих L(R2), имеет место следующая формула обращения:
/(/) = J-l[F(x)] = ± j JeMF(x)dx.
Если х, t Є R", то
F{x) = —Цг [e-Mf(t)dt, f{t) = —Цг [eMF(x)dx.
(2л)"/2 J W W (2л)"/ J
R" R"
2.2. Преобразование Лапласа.
Интеграл Лапласа. Обозначим через /(/) функцию действительного переменного /, 0 < t < интегрируемую по Лебегу на любом конечном интервале (О, Л). Пусть р — комплексное число. Функция
F(p) = L[f(t)] = je->»f(t)dt (12)
о
называется преобразованием Лапласа функции /(/).
Формула обращения для преобразования Лапласа.
Пользуясь определением преобразования Лапласа и полагая р = у + iy, имеем из(1),(12):y+io) +о) ~
J eP'F(p) dp = iV J euydy Je-lyz{e-^f(t)]dt. (13)
y-/o) -a) 0
Но при со —^ °° двойной интеграл в правой части уравнения (13) соглас-но (1) равен 2лe~vf(t) для / > 0 и нулю для t < 0. Поэтому (13) дает
y+io)
т=і ь. / ep'F{p)dp (14)
у-10)
для t > 0 и нуль для t < 0. Выражение (14) является формулой обращения для преобразования Лапласа. На /(г) должны налагаться условия, обеспе-чивающие существование преобразования Лапласа (12), а у должно быть больше действительных частей всех особых точек образа Лапласа F(p).
Основные формулы и предельные теоремы. При Re р > у справедливы следующие утверждения:
?[/(ш)] = (g) , L\f*g{t)\ = F(p)G(p),
L rf] = ]F^d4> mO)g(t) + (/*g)(t)] = pF(p)G(p),
L[f{t))=pF{p)-m, L\J'of{s)d^=^. Если F(p) — преобразование Лапласа и L(f'(t)) существует, то lim pF{p) = f(0 + 0),
р-к»
если, кроме ТОГО, существует предел /(/) при t ото
limpF(/>) = lun/(r)
р-у О г->~
2.3. Преобразование Меллина. Преобразование Метина
F{s) = M[f{t)] = J f(t)ts~'dt, * = o + rc, (15)
о
тесно связано с преобразованиями Фурье и Лапласа
Преобразование Меллина может быть успешно применено к решению определенного класса плоских гармонических задач в секториальной области, задач теории упругости, а также при изучении специальных функций, суммировании рядов и вычислении интегралов Теоремы, относящиеся к преобразованию Меллина, могут быть получены из соответствующих теорем для преобразований Фурье и Лапласа путем замены переменной
Теорема 4 Пусть ta~lf(t) Є L(0,+°°) Тогда имеет место формула обращения
Д/ + 0)+Д/-0) 1
a-iX
Теорема 5 Пусть F = fW[/], G = Пусть либо tk~l/(/) Є
Є L(О, +<*>) и G(1 - к - їх) Є +«>), либо F(k + їх) Є +<*>),
tkg{t) єЦ0,+оо) Тогда
^ J T{S)G{\-s)ds=jf{t)g{t)dt (17)
к-0 Также имеет место соотношение
± j F(s)G(s)ds = Jg(t)f(})d-L (18)
о
Теорема 6 (о свертке) Пусть tkf(t) и tkg(t) принадлежат пространству L(0, и
о
Тогда функция tkh(t) принадлежит L(0,+«>), а ее преобразование Меллина есть F(s)G(.y)
2.4.
Преобразование Ханкеля. Интегральные преобразования видаF(X) = j f{t)K(Xt)dt, о
где K(z) — функции Бесееля, известны под названием преобразований Бесселя. К этому виду принадлежат интегральные преобразования Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева и др.
Формулы типа (1), (2), дающие разложение произвольной функции f(x) в интеграл Фурье, представляют значительный интерес во многих проблемах математики и физики. К числу разложений подобного типа относится разложение по цилиндрическим функциям, известное как интеграл Фурье-Бесселя.
f{t) = J Jv{xt)xdx J f(x)J^(xx)xdx (0 < / < <*>), (19)
о о
где Jv — функция Бесселя, v > -1/2.
Теорема 7. Пусть f(t) — функция ограниченной вариации на всяком конечном интервале и
~j\f{t)\tX/2dt Тогда при v > —1/2 оо оо \ [/(' + 0) + f{t -0)} = j Jv(xt)x dx Jf(t)Mxr)t dx. (20) о 0 В точках непрерывности имеет место формула (19). Преобразованием Ханкеля называется интеграл оо Fv(;c) = ^[/(Г)] = Jf(t)tMxt)dt (0<х<+оо). (21) о Из интегрального разложения (19) следует формула обращения ДО = = JFv(x)Mxt)xdx (0 < / < +«>). (22) о Заметим, что если функция ДО такая, что ДО = 0(ta) при / 0, а + + v + 2 > 0 и ДО = O(fP) при /-»«>, Р+ (3/2) < 0, то интеграл (21) сходится. К разложению (19) можно добавить еще одно разложение аналогичного типа ДО = j Hv {tx) (rx) x'2dxj Kv (XT) Ост) l'2f(T) dx, (23) где Kv — функция Бесселя второго рода, Hv — функция Струве. Формула (23) представляет основу для введения соответствующего интегрально-го преобразования. Обобщением интегрального разложения (19) является формула № = Г72ГТ^7-Т dT (a где фЛ(/) = yv(ox)Kv(AJ) - Yv(ax)Jv(x/), v > -1/2, — линейная комбинация функций Бесселя первого и второго рода v-ro порядка. Разложение (24) имеет место, если f(t) — кусочно непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале {a, R) и интеграл j\f(t)\tl/2dt <°°. Формула (24) приводит к соответствующему интегральному преобразованию, которое называется преобразованием Вебера: F{x,a) = J cv(/Jс, ax)tf(t)dt, a где cv(a,P) = yv(a)Kv((3) - Kv(a)yv(P)- Формула обращения такова: j Cm (tx, ax) xF{ Jy> J J2(ax) + Y2(ax) При a 0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ханке- ля, которое при v = ±(1/2) сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье. Имеет место также равенство Парсеваля: если V > —(1/2), F(x) и G{x) — преобразования Ханкеля функций /(/) и g(t), причем f,G Є Є Li(0,ee), то j f{t)g(t)dt = J F(x)G(x)dx. о 0 Преобразования Ханкеля и Вебера могут быть успешно применены к решению краевых задач для уравнений Лапласа, Гельмгольца и некоторых задач теории упругости. 2.5. Преобразование Мейера. При решении дифференциальных уравнений типа Бесселя важное значение имеет интегральное преобразование Мейера. Последнее определяется посредством интеграла F(s) = M\f{t)} = Kv{st){sty I2 f{t)dt, (25) о где Kv(st) — функция Макдональда. Формула обращения имеет вид 10 В. И. Агошков и др. Р+/Х /(О = —т= Ит f Iv{ts){ts)^2F{s)ds. (26) Ы2п Х->~ J P-iX Здесь /v — функция Бесселя мнимого аргумента. Теорема 8. Пусть f(t) — функция действительного переменного, О < t < интегрируемая и имеющая ограниченную вариацию на любом конечном интервале. Пусть также e~^\f{t)\dt <оо (3 > а > 0. о Тогда р+<х Я' + 0)+Д/-0) = — lim f Uts)(xs)l/2ds [KJst)(st)l/2f(t)dt. (27) ffl X—J У P-|X 2.6. Преобразование Конторовича-Лебедева. При решении некоторых задач математической физики важное значение имеет ряд интегральных преобразований, содержащих интегрирование по индексу функций Бесселя. Впервые подобная форма интегральных преобразований рассматривалась М.И.Конторовичем и Н.Н.Лебедевым в 1938г. Основное значение в теории преобразований Конторовича-Лебедева имеет разложение типа интеграла Фурье 'Л') = 4/ MOtshirrrfT J Kh{t')f(t')dt\ (28) о о где Kv(t) — функция Макдональда, t > 0, /(/) — произвольная непрерывная вместе с производной функция, удовлетворяющая условиям '*/('), //(г) є цо,+оо). Введем преобразование Конторовича-Лебедева F(x)=l_jm>/**о<х<+«, (29) о Непосредственно из (28) вытекает следующая формула обращения: V2Tsh(7iT)A-*(r) -F{x)dx, /> 0. Для вычисления некоторых типов определенных интегралов большое значение имеют формулы, аналогичные формулам Парсеваля в теории рядов и интегралов Фурье. Приведем следующие теоремы. Теорема 9. Пусть f(t) — произвольная действительная функция такая, что Д/)'~3/4 Є L(0, +«,), /(/) Є L2(0, +«,). Тогда j[F{x)]2dx = j[g{t)?dt. (31) О о Теорема 10. Пусть f\ (f) и f2(t) — произвольные вещественные функции, удовлетворяющие условиям предыдущей теоремы. Тогда j F,(T)F2(T) F(x) = J sjtth{iu)p_ 1/2+i,(x)/(0 dt, I где Pv(x) — сферическая функция Лежандра первого рода. Если /(/) Є Є L(0,оо); |/(?)| локально интегрируема на [0,°°) и /(0) = 0, то имеет место формула обращения /(f) = ^Й»(«) JP-l/2+it(x)F(x)dx, t > 0. (33) і При выполнении дополнительных условий имеет место равенство Парсе валя ff\{t)h{t)dt = J F\ (x)F2{x)dx. 2.8. Преобразование Гильберта. Рассмотрим интегральную формулу Фурье (3). Заменяя формально а на b и b на — а, приходим к преобразованию Гильберта (34) о Если / є то функция gi существует почти для всех значе ний X. Если / Є Lp(-oo, +°о), 1 < р < оо, то g! Є Lp(-oo, +°о) и почти всюду справедливо обратное преобразование Гильберта m = _LJii±±!lzi^=Adu (35) о Формулы (34), (35) эквивалентны формулам 10* в которых интегралы понимаются в смысле главного значения. Преобразованием Гильберта называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл 2л 82(x) = ^jf(t)ctgt-^dt. (37) о В теории рядов Фурье функцию g2 называют сопряженной с /. Интегральные операторы, порождаемые преобразованиями Гильберта, являются ограниченными в пространствах Lp. Если / удовлетворяет условию Липшица или / Є Lp(0,2л) и, кроме того, 2л J g2(x)dx = 0, о то справедлива формула обращения 2л m = -^fg2(x)ctg^-dx, (38) о причем 2л j f{t)dt = 0. о Отметим, что между интегральными ядрами преобразований Гильберта существует простая связь: di 1 / t — x \ , ^1=2^—+ (39) где ? = е", т = е". 2.9. Преобразования Лагерра и Лежандра. Интегральное преобразование F(n) = rl\f(t)] = Je-,LH(t)f(t)dt (и = 0,1,2,...), (40) о где Ln(t) — многочлены Лагерра и-го порядка, называется преобразованием Лагерра. Последнее применяется для решения дифференциального уравнения Лагерра Lf + nf= 0, Lf(t) = tf'(t) + (1 —t)f(t). (41) Применение преобразования Лагерра сводит дифференциальную операцию Lf к алгебраической по формуле %[Lf(t)} = -nF(n) (п = 0,1,2,...). Интегральное преобразование вида і F(n) = %\f(t)] = j Pn(t)f{t)dt, « = 0,1,2,..., -і где P„{t) — многочлен Лежандра порядка п, называется преобразованием Лежандра. Формула обращения имеет вид /(о = ?(и+г)адад, -к'< і, и=0 Z/ если ряд сходится. Преобразование Лежандра сводит дифференциальную операцию d( 1 -t2)d к алгебраической по формуле 2.10. Преобразования Бохнера и свертки, всплески и цепные преобразования. Преобразование Бохнера имеет вид •B[f]{r) =2пг1~п^1 У,,/2-1 (27irp)pn/2/(P) dp, о где Jv(x) — цилиндрическая функция первого рода порядка v, р — расстояние в R". Справедлива формула обращения f = 'B2f. Равенство Парсеваля в этом случае принимает вид ||s[/](0|V-'^ = j\f(p)\2pk-ldp. о о Преобразование свертки с ядром G(x — t) имеет вид F(x)= j G(x — t)f(t)dt. Предполагается, что для ядра G существует последовательность операторов дифференцирования и сдвига {Р„}~=1, которая переводит G(x-t) в дельтаобразную последовательность G„(x-t) = P„G(x-t), т.е. в после-довательность функций, сходящуюся в некотором смысле к дельта-функции 8(х — г). Тогда при некоторых предположениях о ядре G формула обращения для преобразования свертки имеет вид f — lim„_>«.(P„F), где предел понимается в некотором обобщенном смысле. Отметим, что некоторые рассмотренные интегральные преобразования могут быть рассмотрены как частный случай преобразования свертки. Например, при G(t) = = е1 ехр(-е') и замене переменных у — ех, т = е~' получаем G(x — t) = = уіе*1 и y-lF(ln_y) = J f(—\nx)e~ytdx, 0 < у < о Последнее выражение можно отождествить с преобразованием Лапласа. Последние 15 лет активно развивается теория всплесков (wavelets), которые могут использоваться в качестве ядра всплескового интегрального преобразования. Всплеском в самом общем виде называют определенную на числовой оси функцию у, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Точнее, предполагается, что VeMR"), Jy{x)dx = 0 R" и преобразование Фурье Ч'(а)), со Є R", удовлетворяет условию / dt ^(/СО)!2 — = 1 для любых (О ф 0. (42) о Например, если достаточно регулярна, локализована, имеет нулевое среднее и радиальна, то существует константа с > 0 такая, что с\|/(;с) удовлетворяет (42). Положим Ve(*) = a-"/2V(x/a) и уа,ь(х) = a~nl2Mf{{x-b)/a). Классическим примером всплесковой системы является система Хаара базисных функций на прямой, для которой в качестве исходного всплеска выступает функция \|/(г), равная единице при t Є (0,1/2), \|/(r) = — 1, / Є (1/2,1) и равная нулю в остальных случаях. Определим всплесковое интегральное преобразование: F(a,b) = Ч(Л0] = j f(t)\!fa%b{t)dt, b Є R", a > 0. R" Тогда имеет место следующая формула обращения: /М= J[fF{a,b)vaj,{x)db]-?L. 0 R" Интегральное всплесковое преобразование дает одновременно локальную информацию о функции и ее преобразовании Фурье, причем для анализа высокочастотных составляющих функции локализация более сильная (для повышения точности), а для низкочастотных локализация более слабая (для получения полной информации). Этим объясняется популярность всплесков в приложениях, связанных с анализом свойств акустических и сейсмических сигналов, при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых, при анализе изображений и т.д. Помимо ядра интегрального преобразования всплески используются в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т. е. сжатий с сохранением нормы в L2{R): V/(0 = Vyo(') = 2;/2\j/(2Jt), j Є Z, и сдвигов =v;(f- k2~>) = 2>lz\sf(Vt -k), k Є Z. Рассмотренные выше интегральные преобразования являются частным случаем (при п — 2) цепных преобразований, для которых /,+!(*)= Jf,(t)K,{xt)dt, і = 1,2, — О причем fn+1 (x) = /і (x). Такая последовательность интегральных преобразований называется цепочкой интегральных преобразований.