§ 7. Насыщенные пары и жидкости
При решении задач этого раздела используются данные таблиц 3,6,7.8,10 из приложения, кроме того, следует учесть указание к § 5.
7.1. В таблице 8 дано давление водяного пара, насыщающей., пространство при разных температурах.
Как составить из эти\ данных таблицу т масс водяного пара в объеме Г = 1м" воздуха, насыщенного водяным паром при разных температурах^ Для примера решить задачу при температуре t = 50° С.Решение:
Из уравнения Менделеева —Клапейрона т -EYJL — (ц
RT
При Т = 323 К давление насыщенного пара рн = 12,ЗкПа Молярная масса водяного пара р = 0,018 кг/моль, тогда из (1) получим m = 82 г.
7.2. Найти плотность рн насыщенного водяного пара при температуре ґ = 50° С.
Решение:
По таблице 8 находим давление водяного пара, насыщающего пространство при температуре / = 50° С. Оно равно ри = 12,302 кПа. Из уравнения Менделеева —Кла-
т. m D7, m p.p.
пеирона р V = — RJ выразим плотность /?. = — = .
Подставляя в полученное выражение числовые данные,
12,302 10? -0.018 . з
найдем: р = = 0,082 кг/м .
8.31-323
7.3. Во сколько раз плотность рн насыщенного водяного пара при температуре t = 16° С меньше плотности р воды.
решение:
Плотность насыщенного пара (см. задачу 7.2) рп - -?-іт—,
RT
где = 1,809кПа, тогда р- = 0,014кг/м? и отношение
плотностей — = 73754 . Рн
7.4. Во сколько разных плотность рхЛ насыщенного водяного пара при температуре = 200° С больше плотности рп2 насыщенного водяного пара при температуре f, = 100° С?
Решение:
Давления насыщенного пара при температуре tl и t2 соответственно равны рн1 =1549890 Па и рн2 = 101080 Па.
Плотность насыщенного пара (см. задачу 7.2) рн = »
тогда отношение плотностей = = 12,09.
Ри2 Рн2Т2
7.5. Какая масса m водяного пара содержится в объеме V = 1 м^ воздуха в летний день при температуре / = 30° С и относительной влажности со = 0,75 ?
Решение:
Относительная влажность определяется соотношением р
со = , где р — давление водяного пара, находящегося в Рн
воздухе, и рп — давление водяного пара, насыщающего ГСООстянсттяо ппи пяннпй темпепат\пе.
Из упавнения Мен-IT - PVP С0РІУР /14 тт
делеева—Клапейрона = ' — (1). При
RT RT ^ < -
Т = 303 К давление насыщенного пара ри = 4.23 кПа, Молярная масса водяного пара р - 0,018 кг/моль. Тогда из (1) получим m = 22,5 г.
7.6. В замкнутом объеме V = 1 м* относительная влажность воздуха со = 0,6 при температуре t- 20° С. Какая масса Am воды должна еще испариться з этот объем, чтобы водяной пар стал насыщенным?
Решение:
По определению, относительная влажность со = —. где
Рн '
р — давление водяного пара, содержащегося в воздухе. ри — давление насыщенного пара при той же температуре. Из уравнения Менделеева—Клапейрона
pV= — RT имеем (?)н -p)V = ^-RT, где р = со-рн, то- р р
/ ч Am pVp{\-co)
гда рн {\ - со)V = R7 , откуда Am = -—^ L = 6,88 г.
р RT
7.7. Температура комнаты =18° С, относительная влажность со = 0,5 . В металлический чайник налили холодную воду, какова температура tz воды, при которой чайник перестане; запотевать?
Решение:
Давление водяного пара, содержащегося в воздухе, при температуре /j=18°C равно р{=со-р01, где р0[ — давление насыщенного пара при той же температуре. Сравним давление рх с давлением р^ насыщенного водяного пара при температуре t2. Если < р0, , пар конденсироваться 348 ве будет, т.е. чайник перестает запотевать при р{ = р02. Отсюда о?-Ро\=Ро2- Определив по таблице 8 значение p0li вычислим р02 = 1034 Па, что соответствует температуре t2 « 7° С.
7.8. Найти число /? молекул насыщенного водяного пара, содержащихся в единице объема при температуре = 30° С.
решение:
При / = 30° С. по таблице 8 находим для данной температуры /?м=4229Па. Из уравнения Менделеева—Кла-
Р У
пейрона рнУ = vRT найдем число молей v = —— . Число
RT
р УМ
частиц в объеме V равно N = vNA = ———, а в единице
RT
объема п = — = = 1,011 • 1024 м"3.
V RT
7.9. Масса т- 0,5 г водяного пара занимает объем Vx = 10 л при температуре t = 50° С, какова при этом относительная влажность со ? Какая масса Ат пара сконденсируется, если изотермически уменьшить объем от Fj до V2 = Vx / 2 ?
Решение:
Из таблицы находим давление насыщенного пара при температуре Г = 323 К, которое равно р0 = 12302 Па.
Изт
Уравнения Менделеева — Клапейрона pVx- — RT нахо-
Р
mRT ^
Дим давление р = . Тогда относительная влажность
РУ\
; (о = 0,606 • \ 00% = 60,6% . Найдем массу
Ро РоРУї водяного пара при относительной влажности 100% ити 6^=1, тогда давление р = р0 = 12302 Па. Учитывая, что
У2 = -у из уравнения Менделеева — Клапейрона =
/77 — Л/77 pQVxp
= АГ находим /77 — Д/77 = 1 . Отсюда масса
// 2ЯГ
сконденсированного пара равна А/77 = m-^-llL - §7 5 мг
2RT
7.10. В камере Вильсона объемом У - 1л заключен возд\х, насыщенный водяным паром. Начальная температура камеры tx = 20° С. При движении поршня объем камеры увеличился до У2 = 1,25У}. Расширение считать адиабатическим, причем пока- с
затель адиабаты % = — = 1,4 . Найти: а) давление водяного пара
до расширения; б) массу тх водяного пара в камере до расши-рения; в) плотность р, водяного пара до расширения; г) темпе-ратуру /2 пара после расширения ( изменением температуры из- за выделения тепла при конденсации пара пренебречь); д) массу Л/» сконденсированного пара; е) плотность р2 водяного пара
после конденсации; ж) степень перенасыщения, т.е. отношение плотности водяного пара после расширения (но до конденсации) к плотности водяного пара, насыщающего пространство п; а температуре, установившейся после конденсации
Решение:
а) До расширения насыщенный водяной пар находится пі н температуре /, = 20° С, следовательно, давление этого пара
Pi = 2,33 кПа см. таблицу 8. б) Масса водяного пара до рас-ширения 777, = S^XL = 17.2-10"6 кг. в) = 17,2 Ч ^ 1 RT{ 1 RT{
х 10"*' кг/м^. г) Т.к. процесс считается адиабатическим, то 350
т
—/ХУ~Х ~ д) температуре t2~-5° С
давление насыщенного водяного пара р2 - 399 Па. Мас-са пара в камере, соответствующая этому значению,
m _ РгР^г _ 4 0 • 10-6 кг. Следовательно, масса сконденси- RT-,
рованного пара Am = ///, - m2 = (l 7,2 - 4,0) = 13,2 ¦ 10~б кг.
р - EJJL =3,2-1О"3 кг/м".
ж) Т.к. плотность водяного ; RT2m
цара после расширения (но до конденсации) 7~~
17 2-10"6
— кг/м3 = 13.7 -10-3 кг/м3, то степень перенасы-
1,25 • 10"J
гцения 5 = — = 4.3 .
і
Р:
7.11. Найти удельный объем v воды в жидком и парообразном состояниях при нормальных условиях.
Решение:
По определению, удельный объем жидкости и пара
V V V У0
соответственно Vx =—И V[1 = — = . МоЛЯрНЫЙ
m р m р
объем жидкости У0ж=р/р, тогда удельный объем
жидкости v == — = 10~~ м7кг. Молярный объем пара Р Р
RT
найдем из соотношения: V0n = , тогда удельный
Р-Рп
RT
объем пара v„ = — г = 1,25 м3/кг.
Р(Р-РИ)
7.12. Пользуясь первым законом термодинамики и даннымц таблицы 7 и 8. найти удельную теплоту парообразования г во^ы при / = 200° С. Для воды критическая температура Гк=64?к, критическое давление р = 22 МПа. Проверить
правильность
полученного результата по данным таблицы 9. Решение:
Количество теплоты Q при испарении тратится на преодо-ление сил взаимодействия молекул и на работу расши-рения. Таким образом, согласно первому закону термо-динамики имеем Q = r0=AW + A — (1), где г0 — мо-лярная теплота парообразования, (SW — изменение мо-лярной внутренней энергии сил взаимодействия при испарении, А — молярная работа, совершаемая протяв внешнего давления. А = рн (У0п - У0ж) — (2), где рп —
давление насыщенного пара, У0ж — молярный объем жид-кости, VQn — молярный объем пара. Имеем У0ж -
= — = 18-10~6м3/моль, где р — молярная масса и р — Р
плотность воды. Из уравнения Менделеева — Клапейрона VQn=vRT/pn. При Т = 473 К имеем (см. таблицу 8)
р. =1,55МПа и К0н = 2.5 л/моль. Считая, что изменение внутренней энергии взаимодействия молекул при испарении соответствует уравнению Ван-дер-Ваальса (см.
задачу 6.18), имеем A W- ^ — — (3), і'іе
а =
5,5610 Па
•м /моль'. Поскольку У0ж « У0п, то из (1) —
(3) получим г0 = + рнУ0п = — + RT = 35 кДж/модь.
Ку,к Р
Следовательно, удельная теплота парообразования воды
г =—-1,95 МДж/кг.
Из таблицы 9, для температ\ры Рt = 200° С значение г = 1,94 МДж/кг. 352
7.13. Какая часть теплоты парообразования воды при темпе-ратуре / = 100° С идет на увеличение внутренней энергии систе
мы? решение.
Согласно первому началу термодинамики г{) =А1? + А, где г0 = г и —молярная теплота парообразования; ЛW —из-менение внутренней энергии; А = pu(V0:, - У(]ж) — работа, совершаемая против сіп внешнего давления. Тогда ДW гп - А ги-рМп-Уп,.) ,/Т
—— = -- = — . Молярные ооъемы жид-
>0 >0
и RT
кости и пара соответственно оавны VVa. = — и F0n = —— .
Р Ри
AW гр - рн[RT/ pv - и/ р) AW л следовательно, = ——1——; = 1 -
Гп ГЦ Гп
р (RT U^ AW
^ —~tL . — = 0,924-100% = 92,4%. ГР V Рн Р) Г0
7.14. Удельная теплота парообразования бензола (С6Н6) при температуре t = ll°C равна г = 398кДж/кг. Найти изменение внутренней энергии ДW при испарении массы Дяі = 20г бен-зола.
Решение:
Изменение внутренней энергии (см. задачу 7.13) AW = г0 -А = Атг-А . Работа против сил внешнего дав-ления А = рАУ = где р = 0,078 — молярная масса Р
бензола. Тогда AW = Am(r - RT/p)= 7,21 кДж.
7.15. Пользуясь уравнением Клаузиуса — Клапейрона и дан-ными таблицы 8, найти удельную теплоту парообразования г
V?l2-3268 353 воды при температуре t = 5° С. Проверить правильность полу, ченного результата по данным таблицы 9.
Решение:
г, МДж/кг
3 л 2,5 2 - 1,5 - 1 - 0,5 - 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20ч Из уравнения Клаузиуса - Клапейрона =
dT 7 (ГЭп - V, ,
(1). Считая, что насыщенные пары подчиняются уравнению Менделеева — Клапейрона, для і/ = 1моль имі-ем RT
Von =
. Т.к. (см. таблицу 8) при /=5° С давлекш
р
насыщенного пара рн=870Па, то VQn = 2,65 м Ак¦ ть.
Р
Кроме того, V0 = — < 18-10 6м7моль. Таким обра:-м.
Р
У0ж «У0п, и тогда уравнение (1) можно записать .лк dp г0р
dp r{) dT
— = ц _ или — = ——г (2). Для небольшого иь р"
dT RT2 р RT2
вала температур Т2~ТХ молярную теплоту испаренш \j можно считать постоянной, и тогда, интегрируя уравік.;
Pi TZ JT _ f J I Л
f dp rQ f dT p2
T 7|
(2X полУчим JtI ^ lnf = ~R,< * ,
p, p К ц1 PІ Л V*2 •*] У
(о \
RTyT, In
ІП&- = ~ (3).
««уда r0 = - (4).Pi 1 2 Ij-li
Здесь P\ к Pi — давления насыщенного пара при температурах 7J и Г2. Для величин 7] и Т2 можно взять значения t{ = 4° С г2 = 6° С. Тогда д = 811 Па, = 932 Па
(см. таблицу 8) и — = 1,15. Подставляя в (4) числовые
;; Р\
данные, получим г0 = 45 кДж/моль. Отсюда удельная
теплота парообразования г = — = 2,49 МДж/кг. Построив
Р
по данным таблицы 9 график r = f(t), найдем, что при ¦Г- 5° С имеем г = 2,48 МДж/кг.
7.16. Давления насыщенного ртутного пара при температурах *,=100°С и t2 = 120° С равны /?,=3 7,3 Па и /?2 =101,3 Па. Найти среднее значение удельной теплоты парообразования г {Пути в указанном интервале температур.
Решение:
Из уравнения Клаузиуса — Клапейрона Щ- -
dt T{v0„ -К0ж)'
гДе молярные объемы пара и жидкости соответственно
тг RT тг р dp j\p
равны К = и К. = —» имеем — = -1—- или
Он Г1 Ож . ПГГ
рн Р Р* ^
dp_rQ dT
—. Проинтегрировав полученное уравнение, R Т~
. р, г0(Г,-Г.) RTJ, ln(p, / рЛ _
получим 1п— = 12 или /л = — ——т0г7т
Р\ RT{T2 Т2-ТХ
r = /b=W2fa(P2/Pi). г = 0,304-106 Дж/кг.
7.17. Температура кипения бензола (С6Н6) при давленш; р = 0,1 МПа равна /к = 80,2е С. Найти давление р. насыщенно! о пара бензола при температуре 1 = 75,6° С. Среднее значенье удельной теплоты парообразования бензола в данном интервале температур принять равным г = 0,4 МДж/кг.
Решение:
Среднее значение удельной теплоты парообразования (с
RT{T21п(р2 / рх) задачу 7.16) г =——f— z \ • В нашем случае р2 = р и
ЛТ2~Т\)
р{ = рн, тогда In — = 1 ——. Возьмем от обоих частей Рн RT\ Т2 ГМІТ2~Т\)
Г (m
р
от
RTX;
данного уравнения экспоненту = ехр
V J
Рн 7.18. Давления насыщенного пара этилового спиріа (С2Н5ОН) при температурах /,=40° С и /2=60°С равны
/?,=]7,7 кПа и /;2=67,9кПа. Найти изменение энтропии при испарении массы Aw = lr этилового спирта, находящего^ я при температуре t = 50° С.
Решение:
dp v- Из уравнения Клаузиуса - Клапейрона —=
dT T(v0n-yJ (1), считая, что насыщенные пары подчиняются уравнению 356
Менделеева — Клапейрона, имеем для одного моля RT
у = . Кроме того, У0ж « У0п. Тогда уравнение (1)
р
* Ф г0р
можно записать следующим образом: = _ или
dT RT
= — (2). Интегрируя уравнение (2), получим
р R Т~
. р2 ro{Ti~T\) /оч Л Л RTxTJn(p2 /рх)
ln—= D;T — (3>> откуда ro=—v иг — рх RTxT2 Т2-Тх
(4). Изменение энтропии AS = —, где v = и с учетом
Т р
(4) AS = = 2>92 д ^к.
Vу {т2-тх)рт ^
7.19. Изменение энтропии при испарении количества Ду = 1моль некоторой жидкости, находящейся при температуре 7j=50°C, равно AS = 133 Дж/К. Давление насыщенного пара при температуре г, = 50° С равно р, = 12.33 кПа. На сколько меняется давление насыщенного пара жидкости при изменении температуры от tx = 50° С до Г, = 5 Г С?
Решение:
Изменение энтропии (см. задачу 7.18) равно АО RTT, ln(p, / px)Am 0 -
AS = —l-f— - 17 . Преобразуя это выражение,
(Т2-Т{)рТх
RTXT2 ln(p-> / рх) A v АО RT,ln{p, /p,)Av получим: AS =—Ц—и 2 1 —; д? = —=—v/ - 1 1'—
(у;-7^ ' Т2 -7j
^ ^ (т Т Ід^1
откуда In — = — ——. Возьмем от обеих частей
RT2AV
Р-У ((T-T)AS^
экспоненту и найдем отношение = ехр — ——
Pi
\Р \)
v RT2 AV (
\
(t2-t{)as
RT, Av
откуда р2 = рх ехр
Тогда изменение давлен и. {t2-t,)as
RT2 AV = 624 Па.
ґ
ехр
К V
' (324-323)-133>| ^ ч 8,31-324-1 ,
насыщенного пара Ар = р2 - р\- Р\
Ар = 12,33 ¦ ю3( ехр -1 7.20. До какого предельного давления р можно откачать сосуд при помощи ртутно-диффузионного насоса, работающего без ртутной ловушки, если температура водяной рубашки насоса / = 15° С? Давление насыщенного ртутного пара при температуре /0 = 0° С равно р0 = 0,021 Па, среднее значение удельноі; теплоты парообразования ртути в данном интервале температур принять равным г = 10,08 МДж/кг.
Решение:
До давления р = 93 мПа, т. е. до давления насыщенного ртутного пара при t = 15° С. 7.21. При температуре г0 =0°С плотность ртути р0 = 13,6х х 10" кг/м3. Найти ее плотность р при температуре / = 300° С. Коэффициент объемного расширения ртути (3 = 1,85 • Ю-4 К-1.
Решение:
V
Имеем р0и /? = —, где V = V0(\ + pt). Тогда
V,
р = —^— = 12,9 • 103 кг/м3.
7.22. При температуре tx = 100° С плотность ртути р, =13,4 > х103кг/м3. При какой температуре t2 плотность ртуті: 358
р2 =13,4-10 кг/м ? Коэффициент объемного расширения ртути Р = 1,8-lO"4 К"1.
решение:
Относительное изменение объема при нагревании ~ - ~h)- І'0 определению, плотность р = —, тогда
А =у — (О, а р2 = V"*AV — (2)- Разделим (2) на (1)
откуда
V
= 1-—. Тогда изменение температуры tl -t2 = ~—— и, Pi РгР
окончательно, t7 = - Pl ~ Рх = 227,2° С.
7.23. Найти плотность р морской воды на глубине h - 5 км, если плотность ее на поверхности р0 = 1,03 • 103 кг/м3. Сжима-емость воды Аг = 4,8• 10-10Па-1. Указание: при вычислении гидростатического давления морской воды ее плотность приближенно полагать равной плотности воды на поверхности.
Решение:
AV
Относительное изменение объема при сжатии = -кАр,
vo
где к [Па-1] — сжимаемость, величина, показывающая, на какую часть уменьшился объем жидкости при у величении Давления на 1 Па. Изменение давления Ар равно давлению
водяного столба высотой /7, которое по закону Паскаля Ар = p0gh, т.к. по условию плотность приблизительно равна плотности на поверхности. Плотность у поверхности
359
т ^ .
воды рл = —, а на глуоине п-р =
т/ - у , г- - І'да
„ Ро Ь'п-rAV AV .
ОТПОШС1ШС плотностей = = 1 + =_ , - .L
р ч у.
Отсюда плотность морской воды на глубине ' ,.ча
р = ^ = 1.055 кг/м3.
l-kp,lgh
7.2 4. При нормальных условиях сжимаемое; о . ..»ла
/. = 9 • 10'" Па~\ коэффициент объемного расыпреип.л , "Мх
у-\ 0 К '. На сколько необходимо увеличить внешнее ..-чг,
чтобы пріі нагревании на А/ - 1 К объем бензола не пзмо;. .
Решение:
Относительное изменение объема жидкости пр;: аэе-
AV Г>Т АУ ¦ Пл
вании и сжатии соответственно рА1 и —- = к ¦ По
V V
условию объем бензола не меняется, поэтому рАТ :.\р, откуда Ар = fi^L- = 1,38 • 106 Па.
7.25. Коэффициент объемного расширения ртути /і- 32 >
хЮ " К"1. Чтобы при нагревании ртути на At = 1 К ее не изменился, необходимо увеличить внешнее давле; •' 11 Ар = 4,7 МПа. Найти сжимаемость к ртути.
Решение:
Чтобы объем не изменился (см. задачу 7.24), необм л0 чтобы рАТ = к Ар . Отсюда сжимаемость ртути к - —'
= 3.87 • 10"11 Г1а~' 360
7.26. Найти разность уровней Ah ртути в двух одинаковых сообщающихся стеклянных трубках, если левое колено поддерживается при темпера!\ре /, — 0° С, а правое нагрето до температуры t - ЮС С Высота левого колена h.. - 90 см. Коэффициент объемного расширения ртути В - 1,82 -10 4 К-1. Расширением стекла пренебречь.
решение:
Относительнее изменение объема жидкое Пі При \1'
нагревании — = ВАГ . Т.. к. площадь .поперечного сечения ' о
трубок одинакова и равна то обьем в холодном колене У0 = ShQ, а в подогрет ом колене У-, -г А У - S\! i0 -t- A тогда
Vn + AV А У h,+Ah
= 1 -ь = 1 ПА і = — . Ui сюда разность
V ' h-
уровней Ail = hjl -г рАГ)-;:-¦ - К/ЗАТ - 1 6,4 см.
7.27. Ртуть налита в стеклянный сосуд высотой 1 = 10 см. При температуре t = 20° С уровень ртути на h = 1 мм ниже верхнего края сосуда. На сколько можно нагреть ртуть, чтобы она не вылилась из сосуда? Коэффициент объемного расширения ртути (3 - 1,82 • і О"4 К-1. Расширением стекла пренебречь.
Решение:
Начальный объем ртути V0 -S{l-h), где S — площадь
поперечного сечения сосуда, а ее конечный объем
\г • \]/r j
Yq + AV ~ SL . Тогда ' " -- I - П.\Т = , откуда
К
h
После преобразования получаем АТ = г— = 55,5 К.
^•28. Стеклянный сосуд, наполненный до краев ртутью, при ^мпературе / = 0°С имеет массу Л/= 1 кг. Масса пустого
361
сосуда MQ = 0,1 кг. Найти массу т ртути, которая мс-.:-гт поместиться в сосуде при температуре t - 100° С. Коэффициент объемного расширения ртути Д = 1,82-10"* К"1. Расширением стекла пренебречь.
Решение:
Масса ртути, находящаяся в сосуде при температуре / равна Гп0=М-М0, тогда плотность ртути при данной
температуре Р = Отношение плотностей (см. задачу
<7 О-П Р т т 1
7.22) — =—, тогда — = — г, откчда
Ро Щ «о
w0 = т{ 1 - p{t -10)) = (М - М,Xl - P{t ~ tQ))= 884 г.
7.29. Решить предыдущую задачу, если коэффициент объем-ного расширения стекла /?' = 3 • Ю-5 К-1.
Решение:
При нагревании объем сосуда стал V = V0(\ + соотв^т-
т т
СТВЄННО ПЛОТНОСТЬ рТуТИ р- — = . г (1). С Д! V-
V VQ(\ + P't)
гой стороны, р = =—т"—^—г — (2). Приравнивая
1 + 0t V(j{\ + 0t)
уравнения (1) и (2), получим т = lj4 ^ 1 - 887 г.
7.30. Стеклянный сосуд наполнен до краев жидким мас. м
при температуре t0 = 0° С. При нагревании сосуда с маслом °
температуры / = 100° С вытекло 6% налитого масла. На; и
коэффициент объемного расширения масла, если коэффиш1 :Г объемного расширения стекла = 3 • 10~5 К-1. 362 решение:
0ри нагревании объем сосуда увеличился и стал равным р =Fo(l + /?0> и объем масла также увеличился и стал
равным V2 = VQ(\ + p't). Количество масла, которое
вытекло, AV = V2~V\ = V0[(l + fit)-{\ + pt)] = VQt{fl' - p).
0o условию = 0,06, тогда (p" - p)t = 0.06 , откуда
7.31. Какую относительную ошибку мы допустим при нахож-дении коэффициента объемного расширения масла в условиях предыдущей задачи, если пренебрежем расширением стекла?
Решение:
Коэффициент объемного расширения масла с учетом расширения стекла (см. задачу 7.30) Р' = 6,3ТО-4 К-1. Если не учитывать расширения стекла, то количество масла, которое вытекло, AV = V2 - V0 = F0[(l + P0t)-l] = V0PQt, где Д) - коэффициент объемного расширения масла без учета расширения стекла. Тогда AV/V = р[}( = 0.06, тогда
Д, = ^ = 6-Ю"4 К-1. Отсюда относительная ошибка t
Х = AzA = 0 05 -100% = 5% . р
7.32. Температура помещения t = 37° С, атмосферное давление р0 = 101,ЗкПа. Какое давление р покажет ртутный барометр, находящийся в этом помещении? Коэффициент объемного Расширения ртути р = 1,82 ТО"4 К-1. Расширением стекла пренебречь. Т. к. температура в помещении постоянна, то по закону Бойля — Мариотта pVQ = p0V, где V = F0(l + fit) — фак. тический объем ртути в барометре. Тогда pVQ = х x(l +/? г), откуда р = pQ(\ + fi t) = \02 кПа.
7.33. Какую силу F нужно приложить к горизонтально му алюминиевому кольцу высотой А = 10 мм, внутренним диаметром d] =50 мм и внешним диаметром d, =52 мм, чтобы очор-
вать его от поверхности воды? Какую часть найденной силы составляет сила поверхностного натяжения?
Решение:
Будем считать, что кольцо касается воды только своей нижней поверхностью, не погружаясь. Сила, необходимая для отрыва кольца от поверхности воды F = FX+F2, /де
Fx — сила тяжести, F2 — сила поверхностного на.я-
жения. Fx = ph~(d2 - dx )• g = 40 мН. При отрыве кольца
водяная пленка разрывается по внутренней — cU и внешней — dx сторонам кольца. F2 = 7ra(dx + d2) = 23.5 \ЇН.
Отсюда F = 63.5 мН и ^ = 31% .
7.34. Кольцо внутренним диаметром dx-25 мм и внешнем диаметром d2 = 26 мм подвешено на пружине и соприкасается- с поверхностью жидкости. Жесткость пружины к = 9,8 • 10~! ІЇ При опускании поверхности жидкости кольцо оторвалось о г :;ее при растяжении пружины на А/= 5,3 мм. Найти поверхности^ натяжение а жидкости. 364?
Сила поверхностного натяжения F, зісидкости уравновешивается силой упругости пружины f2. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо чтобы Fx + F2 = 0 или F] = F2. По закону Гука F2 = ?Д/. При отрыве кольца поверхностная пленка разрывается по внешней и внутренней поверхности кольца. Поэтому сила поверхностного натяжения будет складываться из двух J Решение: Сила тяжести уравновешивается силой поверхностного натяжения. Чтобы пере- # кладина находилась в равновесии, необходимо, чтобы mg + F = 0 или F - mg . Т.к. -> -> К ті" . _ жі-lpg _ т = pV и V= /, то F = С , 4 4 А Другой стороны, F = 2cd (т. к. у пленки т^ ч ^ nd^lpg р 8/ог 8ог Две стороны). Отсюда 2а! = — ; с/" = = ; 4 я-//^- яpg 8c«r d = = 1.2 мм. Работа по перемещению перекладин' \xpg А = 2aS (т.к. у пленки две стороны). Т.к. S = /ДА, і о А А = 2#/ДА; / = 5 см. 2oAh 7.36. Спирт по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку внутренним диаметром Решение: Чтобы капля оторвалась от поверхности, необходимо разорвать поверхностную пенку длиной / = 2яг , где г — радиу с шейки капли, силой тяжести Р = 2яга = 7га1 а . В массе спирта содержится N капель, причем /772" Ш2 N = —— = —— = 780 капель. Т.к. по условию капли отры- Р Tida ваются с промежутком в Дг = 1с, значит, общее время т = Л^Д т — 780 с= 1 Змин. 7.37. Вода по каплям вытекает из сосуда через вертикальную трубку внутренним диаметром d ~ 3 мм. При остывании воды от Г, =100° С до t2 = 20° С масса каждой капли изменилась на Д/и = 13,5 мг. Зная поверхностное натяжение а2 воды при г, = 20° С, найти поверхностное натяжение воды при /,=100° С. Диаметр шейки капли в момент отрыва считаїь равным внутреннему диаметру трубки. Решение: Сила тяжести, действующая на каплю, в момент ее отры должна разорвать поверхностну ю пленку по дли-е / = 2m' = Ttd , т.к. по условию диаметр шейки капли равен внутреннему диаметру трубки. Тогда начальная си із 366 тяжести р0 = nda2 • При остывании капли сила тяжести изменится на Ар = A mg и станет равной р = р0 - р = =: nda2 - Amg . С другой стороны, р = ndax, тогда яг/**! = nda{ - Amg, откуда а{ = —^ШК. = 0,059 Н/м. nd 7.38. При плавлении нижнего конца вертикально подвешенной свинцовой проволоки диаметром d = I мм образовалось N =20 капель свинца. На сколько укоротилась проволока? Поверхностное натяжение жидкого свинца а - 0,47 Н/м. Диа-метр шейки капли в момент отрыва считать равным диаметру нроволоки. Решение: Капля отрывается от проволоки, когда сила тяжести равна силе поверхностного натяжения, т. е. mg - F. Масса капли т = pVK . Сила поверхностного натяжения F = al, где l -nd, откуда F -ncxd . Отсюда объем капли VK Р Полный объем расплавленного свинца V = NVK = ^^ . с Р *) О nd~ nNad Другой стороны, V = Al. Тогда Al = , отск> 4 4 р „ . . AN а _ . да А/ = = 34 см. pgd 7.39. Вода по каплям вытекает из вертикальной трубки внутренним радиусом г = 1 мм. Найти радиус R капли в момент Отрыва. Каплю считать сферической. Диаметр шейки капли в момент отрыва считать равным внутреннему диаметру трубки. Решение: Сила тяжести, необходимая для отрыва капли (см. задачу 7.37) р~2пга . С другой стороны, сила тяжести р - mg, где т = pV — масса оторвавшейся капли. Т.к. по \е. )ЗИ}0 4 з 4 капля сферическая, то V-—rcR , тогда 2лга ¦ р^ г,з 3 га п 3 га откуда к = или /с = з/ = 2,2мм. V 7.40. На сколько нагреется капля ртугл, полученкч от слияния двух капель радиусом г = 1 мм каждая? Решение: При слиянии двух капель ртути выделяется з; згия AW = aAS, где изменение площади по вер: - :>сти AS = Атгг2 • 2 - 4/rR2. Радиус большой капли R наедем, приравняв объем большой капли сумме объемов ели- 4яг3 47rR- З/- вилихся капель, т.е. 2 = , откуда R = . огда 3 3 AS = 4т'1 (2 - V?) и AJV = а- 4т-2 (2 - У?) — (1). 3? счет выделенной энергии прои зойдет нагревание ртутно і і кап- 4 8 ли, тогда AW =спАТ = cp—7rR3AT = ср—7ГГ3АТ — (2). 3 3 Приравнивая (1) и (2), найдем АТ = —= • 1 С: 4 К. c'plr 7.41. Какую работу А против сил поверхностного натяжения надо совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути радиусом R = 3 мм на две одинаковые капли? Решение: Т. к. капля разрывается на две одинаковые, то пло:иаДь AS, по которой произойдет разрыв, будет равна пло .<даДи круга, проходящего через центр капли, т. е. AS - ' Тогда работа против сил поверхностного натяжения А = aAS = anR2 = 14,7 мкДж. 1,42. Какую работу А против сІІЛ поверхностного натяжения ««Л совершить, чтобы увеличить вдвое объем мыльного пузыря :Щ*Іусом г = 1 см? Поверхностное натяжение мыльного раствора |^0,043 Н/м. реіоепие: 4 . 4 * Т'К. по Условию Г, =2V{, где 1\ = — тп'{' и V2 -—т<2 — " 3 3 <|&емы пузыря до и после совершения работы, .то г2 = 2i? ^jjjj r2=V2r,. Изменение площади поверхности пузыря после совершения работы — AS = S2-Sl = ^r^2 -г2] = 4m? л/4 — l] . Т. к. у оболочки пузыря две поверхности, наружная и внутренняя, то совершенная работа ^$aAS = 8nr2a \І4-l] - 63,4 мкДж. .-.it-Г." 97.43. Какую работу А против сил поверхностного натяжения Н^і,..совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь диаметром 4;й4см? Поверхностное натяжение мыльного раствора ЙЭД043 Н/м. Решение: Площадь поверхности мыльного пузыря S = Аяг1 = nd2, совершенная работа против сил поверхностного на- тШения (см. задачу 7.42) А = 2ccS = 2nd1 а = 432 мкДж. Найти давление р воздуха в воздушном пузырьке диа- tostppM d — 0,01 мм, находящемся на глубине /7 = 20 см под полностью воды. Атмосферное давление pQ =101,7 кПа. Решение: Давления воздуха в пузырьке р = р0 + р1 + р2, где р0 — атМосферное давление, /?, = pgh — гидростатическое Мление воды, р2 = — добавочное давление, вызванное кривизной поверхности. Таким образом 4а р = р0 + pgh + — = 132,9 кПа. d ' 7.45. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Ар = 133,3 Па больше атмосферного. Найти диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение мыльного раствора а = 0,043 Н/м, Решение: Добавочное давление внутри мыльного пузыря, вызванное г\ іЛ — + — Rx R2 і. к. \ кривизной его поверхности, Ар-2а пузырь сферический, то радиусы кривизны взаимно перпендикулярных поверхностей R{ = R2 = —, тогда &а .8а ^ Ар = —, откуда а = — = 2,58 мм. d Ар 7.46. На какой глубине h под водой находится пузырек воздуха если известно, что плотность воздуха в нем р = 2кг'м3? Диаметр пузырька d = 15 мкм, температура t — 20° С, атмо-сферное давление /70 =101,3 кПа. Решение: Давление воздуха в пузырьке сложится из атмосферного давления р0, гидростатического давления воды р{ = p\gh 4 а и добавочного давления Ар- —, вызванного кривизной d 4а поверхности, т.е. p = Po + Pigh + —• Из закона Боїіля d Мариотта p0V = pV0 следует, что тогда р V р? Лл Pi) і 4а р()р i3L = . откуда р0 + р, gh + —- = или р Ро + pxgh + 4a/ d ' d р0 n*gh = - — ~ Ро • Окончательно, глубина погружения: п Ро d h = PoPd~4apo-PoPod . h = p()d(p-pCi)-4ap0 . Л = 4 72 м Po+P\Sd ' Po + P\gd 7.47. Во сколько раз плотность воздуха в пузырьке, нахо-дящемся на глубине h = 5 м под водой, больше плотности воздуха при атмосферном давлении р0 =101,3 кПа? Радиус пузырь- Щ г - 0,5 мкм. Решение: •^ношение плотностей воздуха в пузырьке и на по-верхности (см. задачу 7.46) — = — = 4,4. р p0+pxgh + 2a/r 7.48. В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр, внутрен- Шй диаметр которого d - 3 мм. Разность уровней в сосуде и в Щіпилляре Ah = 3,7 мм. Найти радиус R кривизны мениска в $&Пилляре. решение: Jfe рисунка видно, что г = Rcos й. - 2a cos О Иениска, Ар = :—. Т.к. для ртути г cos 0 < 0, то Ар > 0, следовательно, уровень Рїути в капилляре будет ниже, чем в сосуде. 1> 4а cos 0 Разность уровней Ah = , отсюда Pgd - cos 0 = _ Q j4 Следовательно, радиус криви-зны 4 а мениска ртути R = — = 2 мм. cos в 7.49. В сосуд с водой опущен открытый капилляр, вн>трец. пен диаметр которого d = 1 мм. Разность уровней в сосуде и в капилляре ДА = 2,8 см. Найти радиус кривизны R мениска в капилляре. Какова была бы разность уровней ДА в сосуде и в капилляре, если бы смачивание было полным? Решение: D к, 2а cos О Высота поднятия жидкости в труоке Ah- (1). rpg Радиус кривизны мениска R = r cos(p = r cas(l 80° - 6>)= -\-rcos6\ — (2). Из (1) cos в = и x> к у = — T0 I 2a 2 ' d" Ah окончательно R = — = 0,46 мм. Если бы смачивание Sa было полным, то 0 = 0° и cos 9 = 1, тогда in (1) ДА = — = 2,98 мм. dpg 7.50. На какую высоту h поднимается бензол в капилляре, внутренний диаметр которого */ = 1мм? Смачивание считать полным. Решение: Т. к. смачивание полное, то высота поднятия бензола в 4 а капилляре (см. задачу 7.49) h = 13,86 мм. dpg 7.51. Каким должен быть внутренний диаметр d капилляру чтобы при полном смачивании вода в нем поднималась 372 Щ-9 2 см? Задачу решить, когда капилляр находится: а) на |к(ле, б) на Луне. решение: |рй полном смачивании высота поднятия жидкости в S 4 а 4 а йуіилляре (см. задачу 7.49) А/? = -—, откуда d = dpg pgAh На Земле g = 9,8 м/с2, тогда d -1,48 мм. б) На Луне -у |М,65 м/с", тогда d = 8,83 мм. 7.52. Найти разность уровней Д/? ртути в двух сообщайся капиллярах, внутренние диаметры которых равны ||=Г1ММ И d2 =2 мм. Несмачивание считать полным. іепие: ЙЬота поднятия жидкости в капилляре (см. задачу 7.49) % 2а cos в ___ d 7 4а cos в ___ . Поскольку 7'= — , то п- . При пол- rpg 2 pgd [М несмачивании 0 = 180° и cos9~-1, тогда высота рнятия жидкости в первом и втором капилляре соответ- 4 а 4 а Pgd і и h2=- pgd2 4 a ^ PgCh; 4 a Pg 4 a їенно равна /7, = - d pgd2 2 j Ah = //-, - h = . Тогда разность 1 1 [d, Pgdxd2 7.53. Каким должен быть наибольший диаметр d пор в фи- Щ11© керосинки, чтобы керосин поднимался от дна керосинки до ||Релки (высота /7 = 10 см)? Считать поры цилиндрическими рубками и смачивание полным. Решение: Т. к. по условию поры цилиндрические и смачивание полное, то наибольший диаметр капилляра (см. задачу 7.5 1) 4 а d = = 0,15 мм. Pgh Капилляр внутренним радиусом г = 2 мм опущен в жидкость. Найти поверхностное натяжение а жидкости, если известно, что в капилляр поднялась масса жидкости т = 0,09 г. Решение: При полном смачивании высота поднятия жидкости в ка- 2а пилляре (см. задачу 7.49) /? = (1). Масса поднятой Pgf жидкости т-pV, где V = Sh и S = 2т-2, т.к. у пленки две стороны, тогда m = 2pm,2h, отсюда h =—— (2) 2ртщ~ Т. к. в формулах (1) и (2) левые части равны, то можно 2 а т приравнять и правые части, тогда = - или pgr 2 ряг~ — = , отсюда окончательно а = —— = 0,07 Н/м. g 2т* 4я?' В сосуд с водой опущен капилляр, внутренний радиус которого г = 0,16 мм. Каким должно быть давление р воздуха над жидкостью в капилляре, чтобы уровень воды в капилляре и с сосуде был одинаков? Атмосферное давление р0 = 101,3 кПа. Смачивание считать полным. Решение: При полном смачивании высота поднятия жидкости із 2а капилляре (см задачу 7.49) h- . Чтобы уровень воды Pgf в сосуде и капилляре был одинаковым, необходимо, чтобы 374 = Ро + Pgr давление было равно р = р0 + pgh = /;0 + pg + — = 102.2 кПа. 7.56. Капиллярная трубка опущена вертикально в сосуд с ;водой. Верхний конец трубки запаян. Для того чтобы уровень -ВОДЫ в трубке и в широком сосуде был одинаков, трубку пришлось погрузить в воду на 15% ее длины. Найти внутренней радиус г трубки. Атмосферное давление /?0=ЮОкПа. Смачивание считать полным. Решение: По закону Бойля — Мариотта p0V0 - pV, где р0 и р — давления воздуха в капилляре до и после погружения его в воду, VQ и V — объемы воздуха в капилляре до и после 2а погружения. Р = РО+ —, VQ = Sh0, где S — площадь г Сечения капилляра и h0 — его длина, V = Sh, где h — длина непогруженной части капилляра. С учетом этого = 65,7 . Подставляя (1). По числовые данные в (1), получим г = 0,1 мм. 7.57. Барометрическая трубка А , заполненная ртутью, имеет внутренний диаметр d, равный: а) 5мм; б) 1,5см. Можно ли определить атмосферное давление непосредственно по высоте ртутного столба? Найти высоту ртутного столба в каждом из этих случаев. Атмосферное давление pt) = 758 мм рт. ст. Несмачивание считать полным. АҐХЛ О }y\r Высота поднятия жидкости в капил- , 2a cos в л ляре п- , где и — краевой Pgr угол, а — поверхностное натяжение. При полном несмачивании в = п и 2а 4 а Pgd Pgr cos 0 = -1, тогда h = (1) — высота, создавающая дополнительное давление за счет кривизны поверхности мениска, а) Если d- 5 мм, то из (1) найдем /г = 3мм, тогда Р - Ро ~ h ~ мм рт. ст. б) Если d = 1,5 см, то h = 1 мм, тогда р-р0- h =757 мм рт. ст. Таким образом, если трубка узкая, то атмосферное давление не может быть непосредственно определено по высоте ртутного столба h, т. к. к давлению столба прибавляется, еще давление выпуклого мениска в трубке. 7.58. Внутренний диаметр барометрической трубки d = 0,75 см. Какую поправку надо ввести, измеряя атмосферное давление по высоте ртутного столба? Несмачивание считать полным. Решение: Поправка к атмосферному давлению при полном 4а несмачивании (см. задачу 7.57) h- = 2 мм. Pgd 7.59. Какую относительную ошибку мы допускаем, вычисляя атмосферное давление р0 = 101,ЗкПа по высоте ртутного столба, если внутренний диаметр барометрической трубки d равен: а) 5мм; б) 10мм? Несмачивание считать полным. 376? решение: Из закона Паскаля /;0 = pgh^. Тогда высота ртутного столба /?0 =-^- = 760 мм. рт. ст. Поправка к атмосферному Pg давлению при полном несмачивании (см. задачу 7.57) , 4а ^ h 4а pg h = . Тогда относительная ошибка х = — = = pgd h0 pgd р0 4 а . а) Если с/, = 5 мм, то х{ = 0.39% . б) Если d = 10 мм, Фо Pro х2 =0,19% . 7.60. На поверхность воды положили жирную (полностью Іресмачиваемую водой) стальную иголку. Каков наибольший [диаметр d иголки, при котором она еще может держаться на роде? Решение: Щля того чтобы иголка не тонула, необходимо, чтобы давление, оказываемое иголкой на площадь ее опоры, было «е больше давления, вызванного кривизной поверхности Жидкости в углублении под иголкой. Давление иголки на mg pVg PTtdg Воду p. = -- = — 2- , где I — длина иголки и F{ Id Id 4 V — ее объем. Давление, вызванное кривизной Поверхности жидкости, определяется формулой Лапласа Pi В нашем случае поверхность жидкости Цилиндрическая, т.е. Я, = оо и R2 =г — радиус иголки. Тогда р2- — = — • Т. к. необходимо, чтобы рх < р~, то г d Prig 2а [~8а~ 1 , —-— < —, откуда d < = 1,6 мм. 4 d у png? 7.61. Будет ли плавать на поверхности воды жирная (п< j. ностью пссмачивае.мая водой) платиновая проволока диаметр \5 сі = 1 мм? Решение: Чтобы проволока могла держаться на воде, иеобходпоо. чтобы давление, оказываемое проволокой на площадь ее опоры, не превышало давления, вызванного кривизной поверхности жидкости в углублении под проволокой и направленного вверх (силой Архимеда пренебрегаем). Да- mg pVg pjiclg вление проволоки на воду рх - —— = = ———, где / — Id Id 4 длина проволоки и V — ее объем. Давление, вызванное кривизной поверхности жидкости, определяется формулой ТТ а 2а г п Лапласа р= — = —. Г. к. неооходимо, чтооы р, < р,, го г d pndg 2 а . 8а _, , < —, откуда dmax = . Для платины р = 2],-*х 4 d V рщ х103кг/м3, для воды а = 0,073 Н/м, тогда атах =0,09 мм, а по условию d = 1 мм, значит, проволока плавать не будет. 7.62. В дне сосуда с ртутью имеется отверстие. Каким может быть наибольший диаметр d отверстия, чтобы ртуть из сосуда не выливалась при высоте столба ртути /? = 3 см? Решение: Чтобы ртуть не выливалась из сосуда, давление ртутного столба высотой h должно быть равно добавочному давлению, вызванному кривизной поверхности жидкое:и. т.е. р-Ар. По закону Паскаля р = pgh, а по формуй п .4а 4а 4и _ Лапласа Ар = —¦, тогда pgh = , откуда dr. а d pgh * pgr. = 0,5 мм. 378 7.63. В л і ic стеклянного сосуда площадью S = 30 см2 имеется круглое о шерстне диаметром d = 0.5 мм. В сосуд налита ртуть, масса ртути осіанется в сосуде? решение: ///с тг - Давление ртути на дно сосуда р=.—±-% Дооавочнос Давление, вызванное кривизной поверхности жидкости, —. Чтобы ртуть осталась в сосуде, необходимо, d mg 4 а 4 aS р = Ар или = — .тогда ///= = 1,22кг. 5 d zd 7.64. Водомерка бегает по поверхности воды. Найти массу ||>домеркп. если известно, что под каждой из шести лапок насе- І&мого образуется ямка, равная полусфере радиусом г = 0,1 мм. решение: рпя того чтобы водомерка держалась на воде, необходимо, $гобы давление, оказываемое ею на площадь опоры, не р>евышало давления, вызванного кривизной поверхности редкости в углублениях под ее лапками. Давление одной М" mg Іапки па воду />, = . Давление, вызванное кри- 6 -2л?- Ійзной поверхности жидкости, р1 =— (см. задачу 7.60). V ' г Р ¦ a mg авнивая р{ и р2, получим — = -, отсюда г \2т'~ \2ш-а ¦ ; т - 28 мг. 8 7.65. Какую силу F надо приложить, чтобы оторвать друг от (без сдвига) две смоченные фотопласшнки размером ^ = 9x12 см"? Толщина водяной прослойки между пласі пиками ^ ==0,05 мм. Смачивание считать полным. Поверхность ЖИДКОСТИ МЄЖ.-jy пластинками имеет ралп\с j ?^ L-^ кривизны R = -^ (Рис.). Тогда до- Г" У crz^: оавочное отрицательное давление под цилиндрической вогнутой а 2а поверхностью р- — = —. Величина р — избыток R d внешнего давления, действующего па площадь пластинок S. Следовательно, сііла, которую надо приложить, чтобы 2 а оторвать пластинки друг от друга, F = pS = ^—S - З1,5 И. d 7.66. Между двумя вертикальными плоскопараллельны.\:ц стеклянными пластинками, находящимися на расстоянии сI = 0,25 мм друг от друга, налита жидкость. Найти плотность р жидкости, если известно, что высота поднятия жидкости между пластинками Л = 3,1 см. Поверхностное натяжение жидкости а - 0,03 Н/м. Смачивание считать полным. Решение: Поверхность смачивающей жидкости между пластинками имеет цилиндрическую форму с радиусом кривизны i? = y. Тогда добавочное отрицательное давление под а 2 а г цилиндрическои вогнутой поверхностью р ~ — = —¦ L другой стороны, по закону Паскаля p = pgh. Тогда — = pgh. отсюда р = = 0,79 • 103 кг/м3. d dgh 7.67. Между двумя горизонтальными плоскопараллельны стеклянными пластинками помещена масса т = 5 г ртути. Когда ga верхнюю пластинку положили груз массой М = 5 кг, расстояние между пластинками стало равным сі = 0,087 мм. Пренебрегая массой пластинки по сравнению с массой груза, найти поверхностное натяжение а ртути. Несмачивание считать полным. Решение: Поверхность ртути между пластинками имеет цилиндри-ческую форму и радиус кривизны R = ~ • Силу добавоч-ного отрицательного давления можно определить по ! 2 а формуле F= — S из задачи 7.65, но в данном случае d Поверхность будет выпуклая, т. к. имеет место полное йесмачивакие. Груз давит на ртуть с силой Р - Mg — (2). Поскольку силы уравновешены, то F + P = 0 или F = P. 2 а Подставляя (1) и (2), получим —S = Mg — (3). Масса d ртути т- pV - pSd, откуда S = . Подставим это pd 2 am Mgpd2 выражение в (3): —5— = Mg , откуда а=———; d~p 2т а = 0,5 Н/м. 7.68. В открытом капилляре, внутренний диаметр которого нижнего менисков в каждом из этих случаев. Смачивание считать полным. Решение: верхний мениск будет вогнут, давление рх, вызванное Кривизной этого мениска, направлено вверх и равно 381 2а Pi= — , где Rx — радиус кривизны верхнего мениска, R) п 2а При полном смачивании рх- —, где г — радиус кг- г пилляра. Гидростатическое давление столба жидкости направлено вниз; р2 = pgh. Если р{ > р2, то результирующее давление, направленное вверх, заставляв, нижний мениск быть вогнутым. При этом давление р-. вызванное кривизной нижнего мениска, направлено вниз ч 2 а п равно ръ-—, где R-, — радиус кривизны нижнего R2 мениска. В равновесии рх = р2 + ръ. Если рх < р2, го результирующее давление направлено вниз и нижниі? ^ ГТ 2 С/ мениск оудет выпуклым. При ЭТОМ давление /?З=~ будет направлено уже вверх. В этом случае рх + ръ~ р2. Если рх - р2, то нижний мениск будет плоским и ръ = 0 . Подставив числовые данные, получим: a) Rx = 0,5 мм, /?2=-1,52ММ; Б) 7?J=0,5MM, #2=1,46ММ; В) /^=0,5 мм, Я2=оо. 7.69. Горизонтальный капилляр, внутренний диаметр которого d - 2 мм, наполнен водой так, что в нем образовался столбик длиной /? = 10см. Какая масса т воды вытечет из капилляра, если его поставить вертикально? Смачивание считать полным. Указание: учесть, что предельная длина столбика воды, оставшейся в капилляре, должна соответствовать радиусу кривизны нижнего мениска, равному радиусу капилляра. Решение: При вертикальном положении капилляра верхний менис;: вогнут и давление, вызванное кривизной этого мениска, 382 lot 4a всегда направлено вверх и равно рх = — = —, где d — г d диаметр капилляра. Гидростатическое давление столба жидкости всегда направлено вниз и равно р2 = pgh. -Предельная длина столбика воды, оставшейся в капилляре, должна соответствовать радиусу кривизны нижнего мениска, равному радиусу капилляра, поэтому рх < p2i результирующее давление будет направлено вниз и нижний мениск будет выпуклым. При этом давление 4 а рг =— будет направлено уже вверх и рх + ръ = р2 или d 8а 7 ,8а -— = pghx, откуда /7, = высота столбика жидкости, d pgd оставшейся в капилляре пц = pShx, а ее первоначальная масса /77-) = pShQ, тогда масса жидкости, которая выльется т - /770 - тх = ps(j\ - hx), где S = — площадь поперечного сечения капилляра, поэтому окончательно \ ржі1 т = — 8а Pgd К = 0,22 г. 7.70. В открытом вертикальном капилляре, внутренний радиус которого г = 0,6 мм, находится столбик спирта. Нижний мениск этого столбика нависает на нижний конец капилляра. Найти высоту h столбика спирта, при которой радиус кривизны R нижнего мениска равен: а) 3г ; б) 2г ; в) г . Смачивание считать полным. Решение: По условию, нижний мениск выпуклый, тогда резуль-тирующее давление направлено вниз, следовательно (см. 2 а задачу . 7.69), рх + рл = р?, где = —, р2 = pg/? и г 2а _ 2а 2а . ; 2a(i? г) А - — . Тогда — + — = pgh, откуда /? = —-. л г R pgrR 8 а А) Если і? = Зг , ТО // = = 11,5 ММ. б) ЕСЛИ R = 2R . то 3pgr З А 4 А h = = 12,9 мм. в) Если R = г, то /7 = = 17,2 мм. 7.71. Трубка, изображенная на рисунке, открыта с обоих концов и наполнена керосином. Внутренние радиусы трубок 1 и 2 равны /*, = 0,5 мм и г2 = 0,9 мм. При какой разности уровней Ah мениск на конце трубки 1 будет: а) вогнутым с радиусом кривизны R = і\ ; б) плоским; в) выпуклым с радиусом кривизны /? = /•,; г) выпуклым с радиусом кривизны R~t\7 Смачивание считать полным. Решение: Высота поднятия жидкости в ка- 7 2 acosO _ пилляре h = г- . Тогда для ¦У//'-'/У/,У//- // Alj Pgr _ , 2a cos 9 каждой трубки /?, = и PgR і,-,. "w-t j . 2 a cos 0 _ h2 = . Т.к. по условию Pgr2 смачивание полное, то во второй трубке всегда 0 = 0, отсюда cos 9 = 1. Тогда перепад высот в трубках 2а Ah = //, - h. = . а) Мениск на конце трубкі R Pg rcosO г, \ 2 J будет вогнутым, с R = f\, если 0 = 0, отсюда cos 9 = 1 384 2а_ Pg = 6,8 мм. б) Мениск на \Г\ r2j полное смачивание Ah = п конце трубки 1 будет плоским, если ^ = отсюда 2а cos в - 0; А/7 = = 8,5 мм. в) Мениск на конце трубки I Р& 2 будет выпуклым, с R = r2, если 0=я, отсюда cosO = ~ 1 ^І-ПММ. Г) Мениск „а конце трубки 1 ^дех Pg >2 выпуклым, с R = i\> если в = к , отсюда cos в - -1 — пол- 1 1 — + — v/i r1J - 23,8 мм. А7 2а ное несмачивание Ah = — Pg 7.72. В широкий сосуд с водой опущен капилляр так, что Верхний его конец находится выше уровня воды в сосуде на h - 2 см. Внутренний радиус капилляра г = 0,5 мм. Найти радиус дсривизны R мениска в капилляре. Смачивание считать полным. Решение: Если бы капилляр был достаточно длинным, то вода _ 2acosO л _0 __ поднялась бы в нем на высоту h = = 2,98 см. Но pgr высота капилляра над водой h < h'. К мениску приложены 2а давление р0 = , вызванное кривизнои мениска и Направленное вверх, и гидростатическое давление 2 а р = pgh. Для любой высоты h будем иметь pgh = —, R 2 а откуда R = = 0,75 мм. Pgh 7.73. Ареометр плавает в воде, полностью смачивающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d = 9 мм. На сколько изменится глубина погруженил ареометра, если на поверхность воды налить несколько капел:, спирта? Решение: На плавающий ареометр действуют сила Архимеда F4 ? направленная вверх, сила тяжести Р, направленная вниз. сила поверхностного натяжения F, направленная вниз, т. к. смачивание является полным. Условие равновесия имеет вид: P + F + FA= 0 или в скалярном виде P + F = FA. Имеем Р = mg; F = 2т а - nda ; FA= pgx x(y + Sh), где V — объем ареометра (без трубки), S ¦— площадь поперечного сечения трубки ареометра, h — длина трубки. Тогда для воды mg + лхіах = pg(V + ?7?,); для спирта mg + nda2 = pg(V + Sh2) (считаем, что плотность воды не изменилась). Решая совместно эти два уравнения, найдем Д/?= —-— — = 2,4 мм. Pgd 7.74. Ареометр плавает в жидкости, полностью смачивающей его стенки. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d- 9 мм. Плотность жидкости р = 0,8-103 кт/м \ поверхностное натяжение жидкости а = 0,03 Н/м. На сколько изменится глубина погружения ареометра, если вследствие замасливания ареометр стал полностью несмачиваемым этоГ; жидкостью? Решение: На ареометр, плавающий в жидкости, действуют: сила тяжести Р, направленная вниз, сила поверхностного 386 натяжения F = ML А, направленная при полном смачивании вниз, а при полном несмачивании вверх и сила Архимеда FA = pg(V + SJi), направленная вверх, где V — объем цилиндрической части ареометра, S — площадь поперечного сечения трубки ареометра и h — длина цилиндрической трубки, находящейся в жидкости. Условие равновесия при полном смачивании Р + F = FAL, A при полном несмачивании Р = F + FA->, следовательно, FAL-F = F + FA 2 или pgV + pgSl\-mla = 7ida +pgV -ь + pgSh2 • Отсюда pgS(h{ -h2)= pgSAh = Inda и, оконча- ,. 2?cda 2лгіа 8a „ , тельно, Ah = = г = = 3,4 мм. pgS 7td~ pgd Я — 7.75. При растворении массы w = 10r сахара (С12Н22Ои) в объеме V = 0,5 л воды осмотическое давление раствора /? = 152кПа. При какой температуре Т находится раствор? Диссоциация молекул сахара отсутствует. Решение: Осмотическое давление раствора связано с термодинамической температурой формулой Вант-Гоффа m p = CRT. Молярная концентрация раствора С- , где рУ Л ->10 / т PVP р = 0,j42 кг/моль, тогда р = , откуда Т = —— . рУ mR Подставляя в полученное выражение числовые данные, _ 0.342-0.5-Ю-3-152-103 получим: Т = = = 313 К. 10 -8,31 7.76. Осмотическое давление раствора, находящегося при температуре ґ = 87°С, Р = 165 кПа. Какое число N молекул воды приходится на одну молекулу растворенного вещества в этом растворе? Диссоциация молекул вещества отсутствует. Решение: Осмотическое давление (см. задачу 7.75) р = CRT. Т. к. по условию диссоциация молекул в растворе отсутствует, то „ TV, N,RT молярная концентрация С - —L, тогда р = —1 = NJcT. na »"R VNa M pV Ar pNA откуда /V, = —-, где v = — = ——, тогда N2 = r—~L. V p p p n ЛГ N2 pNAkT pRT 1ЛЛ_ Следовательно, N = —- = л— = — = 1007 молекул. р р рр 7.77. Масса т = 2 г поваренной соли растворена в объеме V = 0,5 л воды. Степень диссоциации молекул поваренной соли а = 0,75. Найти осмотическое давление р раствора при температуре t = 17° С. Решение: Если масса всей растворенной в воде поваренной соли равна т, а степень диссоциации а, то масса диссоциированной соли равна ат, а масса недиссоциированной — (l-a)w. Тогда молярная концен- _ ((і -а)т)/ р + ат /І2р,) + сап/(2р,) трация раствора С = — 7 4 17 4 -7; С = + 24 5 моль/мз Следовательно, 2pp{p2V осмотическое давление р = CRT = 300 кПа. 7.78. Степень диссоциации молекул поваренной соли при растворении ее в воде а = 0,4. При этом осмотическое дав- ленне раствора, находящегося при температуре t - 27° С, ^? = 118,6кПа. Какая масса т поваренной соли растворена в объеме V = 1 л воды? Решение: Молярная концентрация частично диссоциированного раствора поваренной соли (см. задачу 7.78) /7/(2//,//,(1 -а)+аи2) С = —1— -. С другой стороны, из формулы 2 mt*iv Ъ Г п р р /;м2//, //, (l - а) + а/и1) Вант-Гоффа С = , тогда =—4 v RT RT 2 ppxp2V откуда да = , 2m*rp— lf93 г RT\2pxp2 (І - а) + afj" J 7.79. Масса т = 2,5 г поваренной соли растворена в объеме К = 1л воды. Температура раствора / = 18° С. Осмотическое давление раствора /? = 160кПа. Какова степень диссоциации молекул поваренной соли в этом случае? Сколько частиц растворенного вещества находится в единице объема раствора? Решение: Масса растворенной в воде частично диссоциированной / «7 70\ 2ррхр-Ур соли (см. задачу 7.78) равна: т= f / \ RT\~>plp2(\-a) + ap-) о (л \ 2 2ррхр-Ур < гкуда получим 2рхр2\\ -aj + ар - или mRT „ 2 о 2pxp\pVp-mRl) ар - 2архр2 = —? . Из последнего выраже- ния, после преобразований, найдем степень диссоциации 2pxpApVp-mRT) _ __ .. а = >^ = 0,32. Число частиц в единице mRTy.r -2pxpi) объема (см. задачу 7.76) п = — = 3,98 • 10Ь м '. кТ 7.80. Масса т = 40 г сахара (С,2Н,2Ом) растворена в , fv>v,e V = 0,5 л воды. Температура раствора t = 50° С. Найти д;м р насыщенного водяного пара над раствором. Решение: Давление насыщенного пара над раствором меньше, чем над чистым растворителем (водой). При достаточно малой концентрации раствора относительное уменьшение давления насыщенного пара над раствором определяется закоти Ро~ Р ном Рауля — = где р0 — давление насы- Ро ^ + ^ щенного пара над чистым растворителем, р — давление насыщенного пара над раствором, v — количество . По таблице 8 на- жидкости. Отсюда р = р0 V v + v'j ходим для / = 50° С давление насыщенного водяного пара р0 = 12302 Па. Количество сахара v', где //-0.342 М pV кг/моль, количество воды v=——, где // = 0.018 к; моль. М\ пщ Л 1 = 12.3 кПа. Тогда р = р0 pVp + тр{ 7.81. Давление насыщенного пара над раствором при температуре / = 30° С равно /?,=4,2кПа. Найти давление />: насыщенного водяного пара над этим раствором при темге^іуР6 U = 60° С. Решение: Давление насыщенного пара над раствором (см. ^ 1ЛЧ- ( v' ^ 7.80) р = А)|1 :— . Т.к. количество растворенною ¦Гі-^1 v у+ у J дества v' и растворителя v не зависит от температуры, V, Рп(^) Р\Рп(^) т-г Г, ZL--1——-, тогда р, =-LJ-—. По таолице 8 находим рг /W:) " РЛ!\) (/,) = 4229Па. (л )= 19817 Па, тогда /; = 19.68 кПа. 7.82. Давление р насыщенного пара над раствором в 1,02 раза меньше давления р0 насыщенного пара чистой волы. Какое «йісло N молекул воды приходится на одну молекулу растворенного вещества? решение: Давление насыщенного пара над раствором (см. задачу ' \ v Р = Ро\ , отсюда v - v р0 _ v - v _ v / у' -1 р v-2v' v/v'-2 >. Число молекул растворенного вещества и растворителя vN, . задачу 7.76) соответственно равно N-—^- и »7t v'N \ N v _ ДГ = —, тогда — = — — (2). Из (1) имеем Г" П) { V \ V 1 или — U ) У J V V N' v' (v Ро J* 2 pQ-p 2р()/р-\ N 2p0/p-l = —^—— = —-— или с учетом (2) — = —^— v Ро-Р N' Ро'Р-1 Отсюда окончательно N = ^ ^ ^—— = 52 молекулы. 7.83. Масса т = 100 г нелетучего вещества растворена в ооъ- К = 1л воды. Температура раствора / = 90° С. Давление на- сыщенного пара над раствором р = 68.8 кПа. Найти молярную массу р растворенного вешества. Решение: Закон Рауля молено применить для определения молярной массы вещества. Действительно, закон Рауля можно запи-сать так: ——— = — +1, или —— 1 = —-— - — — (1) Ро~Р Ро-Р Ро'Р v' о т ' т' Замечая, что г =— и v =—- нетрудно из (1) пол\- Р Р , т р чить р = р (2), где т — масса растворителя, т р0-р р — молярная масса растворителя и р' — молярная масса растворенного вещества. Подставляя числовые данные, получим р' = 0,092 кг/моль. 7.84. Нелетучее вещество с молярной массой р = 0,060 кг/моль растворено в воде. Температура раствора t = 80° С. Давление насыщенного пара над раствором /? = 47,1кПа. Найти осмотическое давление рос раствора. Решепие: jjiRT Осмотическое давление (см. задачу 7.75) р . pV Давление насыщенного пара над раствором (см. задачу ( f N ( _ 7.80) р = Ро 1 , отсюда v'= ——. Число мо- \ v + v'J р т рУ < (РО- р)рУ леи воды У =— = ——, тогда у ——. С другой Р\ Р\ РР\ Р ' т > {P0~P)PVP тт ороны, v = —, тогда m-v /л = — ' . Для И РР\ |s=80°C давление насыщенного пара над чистой водой йр0 = 47215 Па, следовательно, осмотическое давление [ __rt (рй-р)рум _{po-p)prt . рос ~ т/ » г рУ РР\ РР\ ¦ (47215 -47100). 103 • 8,31 - 353 . { : = 398кПа . Woc 47, МО3- 0,018 * Ответ в данной задаче не совпадает с ответом первоисточника: Рос = 925 кПа.