3. Методы расщепления
Далее будут рассмотрены алгоритмы, широко используемые в настоящее время при решении сложных многомерных задач математической физики. Чтобы сосредоточить основное внимание на их формулировках, в качестве основного объекта исследования рассматривается эволюционная задача математической физики
d(p
— +Аф = / в QxQ,, ср = g в Q при t — О at
с положительно полуопределенным оператором А > 0 (т.е.
(Аф, ф) > 0). При этом предполагается, что уже осуществлена аппроксимация исходной задачи по всем переменным (за исключением t), Q есть сеточная область, А — матрица, ф, /, g — сеточные функции. Индекс параметра сетки h для простоты опущен. Решение задачи на 9Q удовлетворяет заданным граничным условиям, и с учетом этого построены А,/. Пусть также пространства сеточных функции Фи F совпадают и, если не оговорено особо, имеют одну и ту же норму||ф||ф = (ф,ф)ф/2- Рассматриваемую задачу можно также записать в виде d(p
= / в Q„ ф = g при t = 0, (43)
подразумевая при этом, что первое уравнение рассматривается в QxQ,, а второе — в Q х {0}. Условимся в дальнейшем использовать в основном последнюю запись задачи.
Заметим, что при желании приведенные выше уравнения можно рассматривать как уравнения исходной задачи без какой-либо предварительной их аппроксимации и относить формулируемые ниже алгоритмы непо-средственно к этой задаче. Однако изложение данных алгоритмов зачастую следует считать формальным, и их теоретическое обоснование в этом случае значительно сложнее.
3.1. Методы покомпонентного расщепления (методы дробных шагов).
3.1.1. Метод расщепления, основанный на неявных схемах первого порядка точности. Рассмотрим задачу (43), где
п
А= ?Дсх, А<х > 0, сх=1 ,...,N <х=1
(т. е. {Аа} — положительно полуопределенные операторы). Пусть операторы Аа не зависят от времени. Алгоритм расщепления, основанный на
использовании неявных схем первого порядка точности по т, имеет вид Ф-
— -міфу+1/'" = о,
т
(44) ї ^ + Anq>'+l=fJ, j = 0,1,...;
Ф° = *.
Схема (44) устойчива и обладает первым порядком точности по т, причем справедлива оценка
||ф;+1Ц<1И1 + /гтах||Л|.
j
Реализация (44) состоит в последовательном решении уравнений из (44).
И если расщепление оператора А на сумму АА проведено так, что обращение операторов (Е + тЛа) осуществить просто (например, АА и (Е + ъ4сх) — трехдиагональные или треугольные матрицы), то легко найти фJ+1 — приближенное решение задачи, соответствующее t = tJ+\.Алгоритм (44) допускает очевидное обобщение, если А зависит от времени. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует знать подходящую разностную аппроксимацию AJ этого оператора на каждом интервале tj < t < tJ+i.
3.1.2 Метод покомпонентного расщепления на основе схем Кранка- Николсон Пусть / = 0 в (43), а оператор А имеет вид А = Аа, Да > > 0, п > 2. Введем на интервале tj (е+ фу+<Х/'" = (я - \AJO) ф/+(«-')/«, а = 1,2,... ,и; у = 0,1,...; (45) В случае, когда коммутативны и А„ — Aa(tJ+i/2) или А„ = (/1сх('./+і) 4- + AA(TJ))/2, данная схема является абсолютно устойчивой и имеет второй порядок аппроксимации по т. Для некоммутативных операторов AJA схема (45), вообще говоря, будет схемой первого порядка точности по т. Идея доказательства сформулированных утверждений типична при рассмотрении многих методов расщепления и состоит в следующем Заметим, что система уравнений (45) сводится к одному уравнению вида Фу+1 = П (?+|ла) _1 (Е-^Л^фЛ? откуда на основе теоремы 11 имеем ||ф-'+1|| < ИфЛІ < ••• < |І?І|- Если операторы AJa кососимметричные, т.е. (ЛаФ, ф) =0, то ||ф-'+1|| = = ||ф^|| = ... = ||g||. Таким образом, схема (45) абсолютно устойчива. Для того чтобы определить порядок аппроксимации, разложим по степеням малого параметра т выражение (полагая (т/2)||Л(х|| < 1) 7" = Д(Е + 5ЛІ)"(?-3Л4)' Поскольку Т1 = Та, то сначала разложим в ряд операторы 7^: В результате имеем Г' = Е - тЛ' + ? [(Л')2 + І І (ЛІЛ? - АрЛц)1 + 0(т3). z а=1р=а+1 В случае когда операторы AJa коммутативны, выражение, стоящее под знаком двойной суммы, обращается в нуль. 2 Т! — Е — хА! + у (Л-')2 + 0{т3). Сравнивая это разложение с разложением оператора в ряд по степеням TAj, где А1 определяются с помощью одного из следующих соотношений: AJ — A(tj) + (т/2)A(tj), AJ — A((tj +tJ+1)/2); AJ = (\/2)(A(tJ+\) + A(tj)), убеждаемся, что схема (45) имеет второй порядок аппроксимации по т. Если операторы AJa некоммутативны, то схема расщепления имеет только первый порядок точности по т. 3.2. Методы двуциклического многокомпонентного расщепления. 3.2.1 Метод двуциклического многокомпонентного расщепления Рассмотрим задачу (43), где а=1 Будем аппроксимировать Aa(t) не на t3 < t < tJ+i, а на большем интервале tу— і < t < t]+\. Положим AJa = Aa(tj), при этом требование коммутативности операторов {Да} отсутствует. Другими примерами выбора AJa являются следующие аппроксимации: X 5 1 Ai = Aa(tj) + ^-Aa(tj), AJa = -(Aa(tJ+l)+Aa(tj)), обладающие вторым порядком аппроксимации. Для задачи (43) на интервале tj-\ < t < tj+i схема двуциклического многокомпонентного расщепления имеет вид (? + \ Л/;) = IД/,) (ф^ + хЯ, где AL = Aa(tj). Эта схема в предположении необходимой гладкости имеет второй порядок аппроксимации по х и абсолютно устойчива. Многокомпонентную систему уравнений (46) можно записать в эквивалентной форме: (? + іда)фм«+1-<*)/(«+1) = ІЛв)ф'-(«+1-«+1)/(я+1)) ex = 1,2,... ,п, фУ+1/("+1) = фУ-1/(»+1) +2xfj, (Е + ІАп-а+2) = (Е-1 A„_a+2) ф/+(«-і)/(»+і), а = 2,3,... ,и 4-1, которая может оказаться предпочтительней, чем форма (46). 3.2.2. Метод двуциклического покомпонентного расщепления для ква-зилинейных задач. Рассмотрим эволюционную задачу с оператором А, за-висящим от времени и от решения задачи, ^+Л(г,ф)ф = 0 в QxQ„ dt ф = g в ?2 при t = 0. Относительно оператора A(t, A(t, ф) = X Л<*('' Ф)> Ф) ^ °> а=1 и обладает достаточной гладкостью. Предположим, далее, что решение ф также является достаточно гладкой функцией времени. X (47) = 0, - " + А X 11 2 где А1 — A(tj, ф-'), ф-* = ф-'-1 — тА(*у+ь ф-/-1)ф-'-1, x = tj-tj-l. Методами, изложенными выше для линейных операторов, зависящих только от времени, можно доказать, что схема расщепления (47) имеет второй порядок аппроксимации по х и абсолютно устойчива. Аналогично определяется метод расщепления для неоднородных квазилинейных урав-нений. 3.3. Методы расщепления с факторизацией операторов. Идея данного класса методов состоит в следующем. Предположим, что для решения задачи (43) используется разностная схема по времени, которая записана в виде = 7=1,2,-.., где F] = FJ(q>J~l, ф-'-2,...; х) — известная функция от х, ф7-1, ф7-2,... (в случае двухслойной схемы F3 = F3 (х, ф;_ 1)), а В — некоторый оператор, построенный таким образом, что допускает (факторизованное) представление р- В = В\В2...В, Причем здесь операторы Ва являются операторами более простой, чем оператор В, структуры и могут быть эффективно обращены. Разностные схемы, допускающие такое представление В, называют факторизоеанны- ми схемами или схемами факторизации разностного оператора. Численная реализация решения уравнения B(pJ = F1 на каждом вре-менном слое может быть проведена путем последовательного решения более простых уравнений Bi ^ — +Лф;+ = 0, 7 = 0,1,...; v° = g, х где Л = Аа, Ла > 0, которую запишем в форме (Е + тЛ)ф-'+| = фJ. Факторизуем оператор (Е + хЛ) приближенно с точностью до членов по-рядка 0(т2). Для этого заменим оператор (? + хЛ) на факторизованный (Е + хЛі )(? + хЛ2) ...(? + хЛ„) = Е + хЛ + х2/?, где KJ i<] 7 = 0,1,...; ф°=*, где В = Па=і ва, Ва = Е + хАа. Решение этих уравнений можно осуществить путем последовательного решения уравнений (Е + хЛі)ф'+1/" = фЛ (? + ха2)ф^+2/" = ф^+1/", (48) (? + хл„) Ф;+1 =ф;+("-1>/", 7 = 0,1,...; Если операторы Ла в представлении Л = Ла имеют простую структуру и допускают экономичное обращение, то достаточно просто решить и систему (48). Схема (48) обладает первым порядком аппроксимации по х. Метод стабилизации (явно-неявные схемы с приближенной факторизацией оператора) Рассмотрим однородную задачу (43), где А = = Лі +А2, Аа > 0, / = 0, и следующую двухслойную схему: (g + |А,) (е + 1А2) ф7+'т~+ А = 0, 7 = 0,1,...; ф0 = g. (49) Если Aj > 0, Л2 > 0, то при достаточной гладкости решения задачи (43) эта схема имеет второй порядок аппроксимации по х и абсолютно устойчива, причем справедлива оценка 1|ф;+,||с2<Ы1с2, 7 = 0,1,..., где ІМІС2 = (C2V,V)i,/2, С2=(е+ (Е + Разностная схема (49) допускает удобную реализацию на ЭВМ: (e+x-a2)*j+x =^+і/2, Здесь t>+x!2 и — некоторые вспомогательные векторы, обеспечивающие редукцию задачи (49) к последовательности простейших задач, первое и последнее уравнения из которых являются явными соотношениями. Это значит, что обращать операторы нужно во втором и третьем уравнениях, В которых присутствуют ТОЛЬКО простейшие операторы Л] и А2. Рассмотрим неоднородную задачу (43), где А — А\ +А2, А\ > 0, А2> > 0, / ^ 0. Схема метода стабилизации запишется следующим образом: (Е + Х-АХ) (? + ІА2)фУ+'т~ф7+Аф;=/;, (p° = а не зависят от времени, то при достаточной гладкости решения и функции / задачи (43) данная схема абсолютно устойчива и аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком точности по т. Замечание. Схема метода стабилизации может быть получена путем введения в схему Кранка-Николсон (т е. в явно-неявную схему) опе-ратора b = e+(j)a1a2, после чего оператор задачи становится факторизуемым. Поэтому схему стабилизации можно назвать также явно-неявной схемой с приближенной факторизацией оператора. Сформулируем схему стабилизации для неоднородной задачи (43), в которой п А = ? Аа, п> 2, Да > 0, а=1 и операторы Аа. не зависят от t. В этих предположениях метод стабилизации может быть представлен в виде П (е + Ua) фУ+' ~ ф7 = f>, Ф°= где fJ — f(tJ+i/2). FJ = -Aq>J+fJ, -1)/„ При достаточной гладкости метод стабилизации (43) имеет второй порядок аппроксимации по т. Счетная устойчивость будет обеспечена при выполнении условия: ||Г|| < 1, где Т — оператор шага, определяемый формулой T = E-xfl (е+\аХ\. о=л Заметим, что здесь из условия Аа > 0 не следует устойчивость в какой- нибудь норме, как это имело место в случае п — 2. Поэтому условие || ГЦ < 1 здесь рассматривается как дополнительное условие для обеспечения устойчивости схемы (50). Замечание. Н Н.Янснко получены также схемы приближенной факторизации, возникающие из многослойных схем Аіф'+1 +і4оф; + А-1Ф7"1 + • • -+А-Р+ +f}= О, которые могут возникать при аппроксимациях уравнений вида Эф Э2ю Э^ф где В\,В2,.. ,ВР — линейные операторы. 3.4. Метод предиктор-корректор. Еще один класс методов расщепления — метод предиктор-корректор (схема аппроксимационной поправки), так же, как и схема с факторизацией оператора, будет рассматриваться в применении к матричным эволюционным уравнениям (43) с оператором, не зависящим от г. 3.4.1 Метод предиктор-корректор Случай А = А\ + А2 Идея метода предиктор-корректор состоит в следующем Весь интервал 0 < / < Т разбивается на частичные промежутки и в пределах каждого из элементарных промежутков tj < t < t,+\ задача (43) решается в два приема. Сначала по схеме первого порядка точности и с довольно значительным «запасом» устойчивости находится приближенное решение задачи в момент времени 0+1/2 = 0 +т/2 — этот этап обычно называется предиктором После этого на всем интервале (t},t}+x расписывается исходное уравнение со вторым порядком аппроксимации, которое служит корректором Для неоднородной задачи метод предиктор-корректор имеет вид Фу ¦ ф> = /Л + АіФ т/2 ,7+1/4 _ (51) т/2ф + Л2Ф^2 = 0. J+1 Ф = /Л + Аф 7+1/2 _ где р = f(t]+!/2). При таком выборе /7 эта схема аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком по т и справедлива оценка < Ф J + \fJ где ІІ/ІІС-, =тах||Л|сг., СГ1 = (Е + + ІІФІІср' = (сГ'ф> Ф)ф2' т. е. при 0 < tj < Т снова имеем устойчивость разностной схемы. Таким образом, если А\ > О, Д2 > О и элементы матриц Л 1,^2 не зависят от времени, то при достаточной гладкости решения и правой части / задачи (43) разностная схема (51) абсолютно устойчива и позволяет получать решения второго порядка точности по т. 3.4.2. Метод предиктор-корректор. Случай А = Xa=iПусть в (43) А = Да, Аа > О, п > 2. Схема метода предиктор-корректор в этом случае имеет вид (?+ІЛ2)ф7+2/(2»)=ф7+1/(2«)і (52) Ф 7+1/2 _ 7+1 — ф7 + Аф- где снова предполагается, что Аа > 0 и f1 = f(tJ+1/2). Система уравнений (52) сводится к одному уравнению вида Отсюда заключаем, что метод предиктор-корректор при достаточной гладкости решения имеет второй порядок аппроксимации по т. Последнее уравнение можно записать в виде фЖ=7у + 1(? + Г)/Л где Т — оператор шага: а=н Требование счетной устойчивости в конечном итоге сводится к оценке нормы оператора Т. К сожалению, и в этом случае конструктивное условие Аа > 0 не позволяет доказать устойчивость схемы. В случае, когда операторы Аа коммутируют друг с другом и имеют общий базис, из условия Аа > 0 следует устойчивость рассмотренных схем. 3.5. Метод переменных направлений и метод стабилизирующей поправки. 3.5.1 Метод переменных направлений Рассмотрим матричную однородную эволюционную задачу (43) (т. е. при / = 0), где А = А\ +А2. Схема метода переменных направлений для данной задачи имеет вид Ф^^Ф! + 1(А1Ф^/2 + Д2Ф,)=О, т z Ф'+'~Ф+'/2 + \ (А,ф^'/2 + А2Ф^') = 0, (53) X 2 j = 0,1,2,..., (f>° = g. В такой форме она была предложена Писманом, Рэчфордом и Дугласом в применении к параболической задаче с двумя пространственными пе-ременными. При этом оператор Аа являлся разностной аппроксимацией одномерного дифференциального оператора -а2д2/дхОтмстим, что схема (53) в этом случае симметрична, т. е. в ней дгі и х2 меняются ролями от первого дробного шага ко второму (чем и обусловлено название метода). Решение каждого из уравнений в параболической задаче легко реализуется методом прогонки, поэтому схему (53) называют также схемой продольно- поперечной прогонки Если в (53) исключить ф-'+1/2, то получим cp^V (Ф^Ф!) + xlAlA2 (Ф;+1-Ф;) = 0. Сравнивая это уравнение со схемой Кранка-Николсон, заключаем, что она обладает вторым порядком аппроксимации по т. Далее, если рассматривать (53), когда Аа есть трехточечная аппроксимация оператора —а2д2/дх\ : Аа = —а2(&хоУха)/ЬІ,, то легко установить, что данная схема абсолютно устойчива. Однако Н. Н.Яненко показал, что схема метода переменных направлений непригодна для трехмерной параболической задачи. Так, показывается, что в этом случае схема (при Аа = -а2(Д,«У,«)//?) Ф;+1/з_ф. X ф7+2/з _ф7+1/з т ф7+1 _ фЛ-2/3 X - + | (АіФ;+1/3 + A2(pJ +Л3ф;) = О, + \ (Д,Ф^+1/3 + Д2Ф;+2/3 +Д3Ф;+1/3) = о, + | (А,Ф^+2/3 + Л2Ф7+2/3 +А3ф^+1) = о не является абсолютно устойчивой. Поэтому во многих задачах предпочтительны схемы метода стабилизирующей поправки (которые вместе со схемой метода переменных направлений иногда называют также неявными схемами переменных направлений). 3.5.2 Метод стабилизирующей поправки Если в (43) А = Л і + А2 + + A3, f — 0, то схема стабилизирующей поправки для решения трехмерного уравнения теплопроводности имеет вид ф/+'т ^ +A(()J+l+Х2{А1А2 + А1Аз+А2АЗ) ( ) + Исключая ф-'+|/3, ф-'+2/3, придем к уравнению Отсюда следует, что эта схема имеет первый порядок точности по х. Рассматривая ее для уравнения теплопроводности, легко установить и абсолютную устойчивость. Кроме того, здесь структура схемы такова: первый дробный шаг дает полную аппроксимацию уравнения теплопроводности, следующие дробные шаги являются поправочными и служат цели улучшения устойчивости. Поэтому такие схемы называются схемами стабилизирующей поправки или схемами с поправкой на устойчивость. Замечание. Метод переменных направлений, предложенный Пис- маном, Дугласом, Рэчфордом, обычно связывают с разбиением оператора А на одномерные операторы Аа, при этом на каждом дробном шаге для решения уравнения используется метод прогонки. Однако распространение данного метода на задачи с тремя пространственными переменными встречает трудности. С другой стороны, можно отказаться от требования одномерности операторов Аа. Поэтому представляет интерес расщепление оператора А на такие, которые позволили бы экономично реализовать решение задачи на каждом шаге и сохранили бы основные преимущества метода переменных направлений. Таким расщеплением является раз-биение матричного оператора А = А* на две матрицы А\ и А2 такие, что А і = А\, А і + А2 — А. Если после этого формально записать схемы переменных направлений, то получим схемы попеременно-треугольного метода, предложенные и обоснованные для ряда задач математической физики А.А.Самарским и В.П.Ильиным. В работах В.П.Ильина предложены также схемы, обобщающие методы переменных направлений, в которых А\ и А2 — уже произвольные матрицы (в частности, треугольные) и которые называются схемами метода переменных операторов. 3.6. Метод слабой аппроксимации. 3.6.1. Основная система задач Пусть в некотором гильбертовом пространстве Ф рассматривается абстрактная задача Коши (43), где А = = A(t) — линейный оператор с плотной в Ф областью определения и областью значений из Ф. Пусть, кроме того, оператор А представлен в виде суммы А — линейных операторов Л,(г), имеющих ту же об ласть определения, что и Л, а также / = f,- Данную задачу заменим следующей системой: ^+*.Ф.=/.(0, / Єе7 = фі(0) = у(0). ^+Л2ф2=Л(0. 'Є8 J, Ф2(0)=фі(0+і)« (54) ^ -М„ф„ = /„(/), t Є 9j, фn{t}) = ф„-і(0+і) и положим v(0+i) =Ф/.(0+і)> j = 0,... ,п — 1, v(0)=g. Тогда процесс нахождения приближенного решения v(r) исходной задачи по времени на интервале [tj,t]+\] сводится к последовательному решению каждого из уравнений (54) для ф,,6 = 1 ,п, на данном интервале tJ+1]. Для попарно коммутирующих операторов A,(t'), Aj(t"), і, У = 1 я, іфі, t',t"<=[0,T) при условии на точное решение задачи (43) вида ||Л,Д;ф|| < М < можно установить, что задача (54) аппроксимирует (43) в суммарном смысле, т. е. 115>,Н = 0(т), i=i где d(D v, = /,(/)-Л,(ОФ(О+І), »>1, ?1 =/І(0-АІ(0Ф(0--^-- Система задач (54) составляет суть метода слабой аппроксимации задачи (43).? 3.6.2. Двуциклический метод слабой аппроксимации Расщепление задачи (43) на систему задач Коши, аппроксимирующую с порядком 0{х2) задачу (43), можно осуществить, используя двуциклическую процедуру. Приведем одну из возможных схем. На интервале f;_i -j-+A„v„=f+-A„f, at 2 а на интервале tj + А„_,+іФп+і = 0, г = 2,..., и, dt при условиях 3.7. Методы расщепления — итерационные методы решения стационарных задач. 3.7.1 Общие понятия теории итерационных методов Решение многих стационарных задач с положительными операторами можно рассматривать как предельное при t °° решение нестационарной задачи. При ре-шении стационарных задач методами асимптотического стационирования не обращается внимание на промежуточные значения решения, поскольку они не представляют интереса, тогда как при решении нестационарных задач эти промежуточные значения имеют физический смысл. Пусть имеется система линейных алгебраических уравнений (являющаяся, например, результатом аппроксимации конечно-разностным методом некоторой стационарной задачи математической физики) Аф = /, где ф Є Ф, / Є F. Рассмотрим также нестационарную задачу = V(0) = 0. В предположении, что А = АТ > 0, ранее было доказано, что lim,-*»» = ф. (Если оператор стационарной задачи имеет спектр произвольной структуры, то в этом случае такой простой и прозрачной связи между решениями ф уже может не быть.) Нестационарную задачу для новой функции \|/ можно решать разностными методами по t, например, \iiJ+l-\ifJ У т ? +A\\fJ = /. Тогда У+1 =yJ -x(A\\iJ -f). Если нашей целью является решение стационарной задачи, то при определенном соотношении между т и Р(А), где р = Р(Л) — максимальное собственное значение А, имеем = ф. Параметр х может быть величиной как не зависящей, так и зависящей от номера j, который при решении стационарной задачи удобно считать номером шага итерационного процесса. Здесь имеет место еще одна особенность: в нестационарных задачах для обеспечения точности решения значения х должны быть достаточно малы, в стационарных же оптимальные итерационные параметры х выбираются из условия минимизации числа итераций и могут принимать относительно большие значения. Большинство итерационных методов, которые применяются для решения линейных систем, могут быть объединены формулой 5L = _а(Аф7_/), (58) "j где а — некоторое положительное число, {Bj} — последовательность невырожденных матриц, а {х;} — последовательность вещественных параметров. 3.7.2 Итерационные алгоритмы Для эффективной реализации метода (58) оператор В} должен иметь более простое строение по сравнению с Л. Во многих практически интересных случаях оператор В} имеет вид т BJ = Yl(E + xJBl), i=i где В, — некоторые матрицы того же порядка N, что и матрица А. Эти матрицы выбираются так, чтобы матрицы (E + XjB,) были легко обратимы, т е. чтобы обращение всей матрицы Bs осуществлялось проще, чем обращение матрицы А. Часто выбор {В,} производится с учетом *=1 Положим сначала п = т — 2, xs = х и, обращаясь к приведенным в предыдущих разделах схемам расщепления и переменных направлений, приведем соответствующие итерационные алгоритмы решения системы Аф = /. Метод переменных направлений При а = 2, В, = А, из (58) имеем алгоритм вида mj+1 -mj {E + x}Ax){E + XjA2)^ = -2 (Лф7-/), ~j который после простых преобразований можно записать также в «дробных шагах»: XJ Метод стабилизирующей поправки получаем при а = 1, В, = А, : (E + ,) (? + XjA2) —= - (AcpJ - f). XJ Его можно записать в виде т.l+U2-mJ , mJ+l -mJ+l/2 Ф Ф- + (А^'+А^) = /, V ? + А2(Ф'+1 - ф') = 0. х j X j Метод расщепления (дробных шагов) для произвольного значения т = — п> 2 может быть представлен в следующем виде: Ф'+1/т""Ф' + А ,(фЖ/. _ ф.) = -«,(? Ak^ - /) , XJ V*= і ' 5 ^ -М*(ф'+І/"-фЧ = 0, k = 2,...,n, j или, эквивалентно, ф^+'-ф^ Bj\ =-aj(A где Bj = ПЇ=і(?+тА), a и aj - некоторые итерационные параметры. Аналогично могут быть сформулированы и другие итерационные алгоритмы. Ускорение сходимости сформулированных итерационных алгоритмов достигается либо путем специального выбора параметров тj,CLj, либо путем применения к этим алгоритмам какой-либо ускоряющей процедуры.