5. Методы интегральных тождеств
Метод интегральных тождеств (интегро-интерполяционный метод, метод баланса) традиционно относился к разностным методам. В настоящее время получены проекционные формы интегральных тождеств, позволяющие рассматривать этот метод как одну из модификаций проекционного метода.
5.1.
Основные идеи метода. Суть метода интегральных тождеств изложим на примере уравнения-J^Wr+'W^/W' а < х < b, (59)
с некоторыми краевыми условиями. Сущность метода интегральных тождеств для решения этого уравнения состоит в следующем: вводится сетка а — хо < хх/2 < X] < ... < x/v-i/2 < xN = Ь и уравнение (59) интегрируется в интервале 0C,_i/2,X,+i/2)- В результате приходим к интегральным тождествам
Лі+1/2
-(VW-W,_1/2)+ J (qu(x)-f(x))dx = О, хі-і/г
где W,+ 1/2 = W(x) = р(х) (du/dx) (х). Затем, используя прибли
жения входящих в эти тождества производных и интегралов, а также краевых условий, получаем соответствующие разностные схемы.
Однако этот алгоритм можно переформулировать следующим образом. Введем систему {цг,(х)} ступенчатых функций
ш (И = / 1 ПрИ *Є (*<-1/2>*М-1/2)> \ 0 при г).
Тогда полученные тождества — не что иное, как результат проектирования в Ьг(а, b) уравнения (59) на систему т. е. тождества можно представить в виде системы
Этот этап построения приближенного решения совпадает с этапом в про- екционно-сеточном методе, а тождества являются результатом проектирования рассматриваемого уравнения на некоторую базисную систему.
Итак, если задана некоторая система базисных функций {\|/,(х)}, то интегральные тождества можно получать путем проектирования уравнений, описывающих задачу, на данную систему.
На следующем этапе построения численного решения задачи инте-гральные тождества можно приближать двумя способами: а) либо при-ближенно вычислять интегралы с помощью квадратур и т п ; либо б) искать приближенное решение «/, в виде разложения, вообще говоря, уже по другим базисным функциям (ф,(х)}.
Второй способ позволяет в ряде случаев трактовать метод интегральных тождеств как одну из модифи-каций проекционного алгоритма и привлекать для обоснования процесса решения задачи теорию проекционных методов.5.2. Метод интегрального тождества Марчука. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений широко применяется метод интегральных тождеств, разработанный Г. И. Марчуком. Сущность этого метода состоит в следующем.
Рассмотрим краевую задачу для одномерного уравнения диффузии вида
—?P(x)^+q(x)u = f(x), x?(a,b), u(a) = u(b)= 0. (60)
Предполагается, что p(x),q(x) Є U*(a, b), f(x) Є Ьг(а, b), p(x) > 0, q(x) > 0.
Метод интегральных тождеств, применяемый для решения задачи, состоит в том, что, исходя из (60), получают тождества
Ч 4-І
хм/г ч+1 _і х
хк-1/2 хк хк хк+1/2 +0т)~Чш / <«-•«* <61>
-4-І xk—l/2
где а = х0 < х\/2 < х\ < х3/2 < ... < х/у_3/2 < хдг_і < xN_y2 < хц = b — некоторый набор точек. Используя теперь ту или иную аппроксимацию входящих в (61) интегралов, получаем соответствующую разностную схему.
Тождества (61) были получены Г.И.Марчуком и широко использовались для построения разностных схем. Однако затем было замечено, что (61) эквивалентны каждому из следующих соотношений: . М . _1 . хк . .
+
( / J + («(*)-«(*-,)) ( /
хк
хк-1 + (?и,е*) = (/,е*). k=l,...,N-l, (62)
(р(х)^,^)+(?к,Ш = (/,аО, 1 1, (63)
(p(x)^,^f)+(qu,Qk) = (f,Qk), lc=l,...,N-l, (64) fb
где (ф, \|/) = / фу^х, ||ф|| = (ф, ф)1/2, к/(х) — некоторый интерполянт Ja
функции м(х) такой, что м/(х,) = м(х,), / = 0,1,...,/V, и имеет смысл производная dui/dx. Функция Qk(x) (/: = 1,2,...,N- 1) имеет вид
1~ІЖ)\І Ж) '
•4-1 (65)
Qk{x) = < Отмечаем, что соотношение (63) есть не что иное, как известное ра-венство, применяемое в методе Бубнова-Галеркина для построения при-
ближенного решения на основе использования {Qk(x)} в качестве базисных функций. Если воспользоваться соотношениями (62), то замечаем, что здесь становится возможным использование разрывных базисных функций {ф,(х)}.
Действительно, пусть функции ф,(х) кусочно непрерывны с возможными разрывами первого рода в точках, не совпадающих с узлами сетки хк, к = 1,..., Л/ — 1. Тогда каждая из этих функций имеет конечное значение в Хк, а значит, и их линейная комбинация м/, = а*ф*(х) с произвольными постоянными сік будет принимать конечное значение в узлах Xj, т.е. Uh(xj) = abТаким образом, метод интегральных тождеств может рассматриваться как один из проекционных алгоритмов, а соотношения (62)-(64) могут использоваться наравне с тождеством (61), с достаточно широким выбором базисных функций для приближения и(х).
5.3. Обобщенная формулировка метода интегральных тождеств.
Изложим метод интегральных тождеств в общей формулировке, получая тождества путем проектирования на систему некоторых базисных функций.
5 3.1 Алгоритм построения интегральных тождеств В гильбертовом пространстве Я рассмотрим уравнение
Au + Bu = f, /ЄЯ, (66)
где А — линейный (в общем случае неограниченный) оператор, дейст-вующий в Я, с областью определения D(A) С Я, плотный в Я и с областью значений R(A) С Я, В — линейный, симметричный, ограниченный в Я оператор с D(B) = Я, R(B) С Я. Предполагается в дальнейшем, что операторы А + В и В являются Я-определенными: ((А + B)v, v) > YolMI2, v Є D(A), (Bv, v) > y2||v||2, v Є Я, Yi > 0, а также что уравнение (66) имеет единственное решение и Є D(A) при заданной функции / Є Я.
Введем в Я систему линейно независимых функций плотную
в Я. Линейную оболочку системы {\|/,} обозначим через Спроекти-
руем уравнение (66) ортогонально на Щ . В результате получаем систему интегральных тождеств
A,(A,W(B«,Vl) = (/,V,), i=l,...,N, (67)
где A{tN)u+(Au, \|/,).
Может оказаться, что оператор Aзадаваемый как система операторов А^': AM = {А^, / = 1,...,jV}, будет иметь область определения,
более широкую по сравнению с D(A), и поэтому можно расширить A т.е.
построить такой оператор А^ с областью определения D(A^), чтоD(AM) С D(AW) и А(Л° и = А^'и при и Є D(A^). Отметим, что если v Є D(A), ТО согласно определению расширения оператора будем иметь
AWv =aWV= {A,Wv, і = l,...,iV} = {(Av,v,), i=l,...,iV}. Если же
(n)
v Є D(A ), но V ? D(A), то в общем случае нельзя представить А как совокупность операторов {A[W'V} = {(Av, а сделать это можно только
/дп
через систему {А, }, для которой представления (Аи, \|/,) уже не имеют места.
По предположению и Є D(A) и А^'и = А^и, поэтому система (67) оказывается эквивалентна системе
A{")u + (Bu,yl) = (f,y,), i=l,...,ЛГ, (68)
которая является основной системой интегральных тождеств.
Для построения приближенного решения теперь можно воспользоваться именно этой системой, благодаря чему появляется возможность использовать для построения приближенного решения базисные системы, не принадлежащие D(A), т. е. можно искать приближение м/v = V^, а,ц>, яз и,
где функции ф, могут принадлежать лишь D(A ). Последний путь построения приближенного решения с помощью ф, называют проекционным подходом в методе интегральных тождеств. Но можно воспользоваться и классическим алгоритмом аппроксимации входящих в (68) выражений с помощью разностных отношений и квадратурных формул. Такой подход называют разностным.
5.3.2 Разностный метод аппроксимации интегральных тождеств Рассмотрим разностный подход к построению приближенных решений задачи на основе интегральных тождеств (68). Для этого введем в области задания функций сетку и определим сеточные функции: и/, — проекция точного решения на сетку, и' — вектор приближенного решения задачи. Предполагается, что размерности и/, и и1' совпадают и равны N. Пусть для слагаемых, входящих в (68), определены аппроксимации
m J=l J=l
где є, — ошибки аппроксимации. Определим матрицы и векторы вида
А„ = (А^1), В„ = (В„),
/=((/>Vi),...,(/,V„))r, є<*> = (є<*\ ..., є«)г.
Тогда система уравнений для определения приближенного сеточного решения и1' имеет вид
Ahuh + B„uh=f.
(69)Пусть введены сеточное пространство H\j, — пространство решений с нормой || ¦ Ці,/, и сеточное пространство Ни с нормой || • ||/,. Теперь к исследованию схемы (69) можно применить общую теорию разностных схем, из которой вытекают следующие утверждения: если система (69) имеет единственное решение при любом N, причем справедлива априорная оценка||кЛ||і,/, < сЦ/Ц/,, то при выполнении условий аппроксимации ||є(1)||/і < Єі(Л0 о, ||є(2)||л < ЕГ(Ы) О, N -*<*>, приближенные решения и1' сходятся к м/, при N при этом справедливы оценки погреш-ности
ІІ«/'-"ЛІІ1,Л<С,(Є|+Є2).
Отметим, что по сравнению с обычными разностными методами (когда не осуществляется предварительная проекция исходного уравнения на Ну^) здесь осуществляется аппроксимация интегральных тождеств (68), в силу чего для обоснования алгоритма может потребоваться меньше ограничений на гладкость решения уравнения (66), чем это имеет место в разностных методах. Однако в рассмотренном здесь алгоритме остается одна из основных трудностей разностных методов: необходимо строить
так, чтобы получить «хорошую» аппроксимацию, не потеряв при этом устойчивости.
Заметим также, что при выполнении аппроксимаций тождеств может
сказаться, что ej'^ = 0. В этом случае остается проблема получения оцен-
(2)
ки Є, , которая решается, как правило, проще и при более слабых ограничениях на точное решение исходного уравнения (66).
5.3.3. Проекционный метод аппроксимации интегральных тождеств. Введем еще одну систему линейно независимых функций {ср,} таких, что
ф, Є D(a|^), і = 1,... ,N. Линейную оболочку {ф,} обозначим через Предполагается, что последовательность подпространств {Нпредельно плотна в Н. Очевидно, что Н^ С ?>(А^) и система {D(a'^)} плотна в Н. Оператор проектирования на Н^ обозначим через Предпо
лагается, что D(P^) = Н. Отметим, что здесь пока нет ограничений в выборе а требуется лишь, чтобы pjfK Є
"Г Vv Є Н. Предполагаем ,,(N)
стся, что размерности Щ и Ну совпадают.
Рассмотрим общую схему проекционного подхода построения приближенного решения.
Будем искать его в Н^ в виде UN = , а,ф,, где а, определим из системы уравнений NХ(А,Мфу + (Вф;,^))а; = (/,^). «=!,...,Л. (70)
;=і
Сформулируем некоторые условия, при выполнении которых имеет место однозначная разрешимость (70) и сходимость UN к и при N —> Предположим, что базисы удовлетворяют условию равномерной линейной независимости, т. е.? n n .
<ШІ2< 2>,ф, где DI,... ,DI > 0 — постоянные, не зависящие от с = (сі,... ,CN)T, и КІІ2 1=1 Будем также пользоваться обозначениями (и, v)B = (Ви, v), ІНІв = (и, u)lJ2. Введем следующие условия. Условие 1. Матрица А = (А,;) с элементами А,; = А; ф; + (ф,, ф;)в положительно определена и n n n n 1=11=1 1=11=1 Условие 2. Базисы {ф,},удовлетворяют ограничению ? С,С;(ф„ф;-\|Г;)в| sup с^ о <6< 1, где постоянная 0 не зависит от с = (сі,...,с^)г и N, а норма |с|^>jV имеет вид ? с,с;(А,(Л')ф; + (ф1,ф;)в)] ' . lcU,w = (n) Условие З В Щ ' можно найти такую функцию n u = (c\,...,cn)t n . < 8i(/V) О, 1=1 \c\afi \\u-u система (70) имеет единственное решение а; справедлива априорная оценка 3) приближенные решения n "n = x а,ср' 1=1 сходятся к точному при N —» и справедливы оценки погрешности [ | - а,)(Ь} - aj) + |К - идНІї]1/2 < , \\u-uN\\<0(^). (ДГ) _ (ДГ) Замечание 1. Может оказаться, что А, м<р = А, м, ( = 1,...,/V. В этом случае проблема аппроксимации сводится к более простой задаче получения соотношений n ?<:,(«<,,-и,\|/,) <ЄІ(ЛГ)|С|л,Л?, IIK-MJB < Є2(JV). 1=1 Замечание 2. Если ср, Є D(A), то рассматриваемый алгоритм совпадает с методом Галеркина-Петрова. Оценки погрешности в этом случае принимают вид ((А(Ц, - Мдг), мФ - uN) + ||цр - ид,ЦІ)'/2 < ^(^Гд) , Отметим, что здесь в слагаемое (А(м<р — мдг), м<р — идг) входит функция и<р (а не точное решение м). 5.4. Приложения методов интегральных тождеств к задачам мате-матической физики. 5.4.1 Метод интегральных тождеств для уравнения диффузии Рассмотрим применение тождеств (62)-(64) для приближенного решения задачи (59), используя при этом два базиса: один — из ступенчатых функций, являющихся примером разрывных на (а, Ь) базисных функций; второй — из функций {Q,(х)}, которые непрерывны на (а, Ь). Пусть h, = х,+ 1/2 — *(-1/2; h — max, А,, и пусть через ф,(х) обозначена характеристическая функция интервала (x,_i/2, х,+ 1 /г), через фо(х) — интервала (хо,х{/2), через фдт(лг) — интервала (xN_{/2, хо)- Примем {ф,} в качестве базисных функций и будем искать приближенное решение в виде и''(х) = а,<р,(х), где полагаем ao=aN = 0 Тогда и''(х) = а,ф,(х), где {а,} определим из соотношений (полученных на основе (62)) / , \ —1 / * J \ - <"*<"»-"*<«-»(/ ш) / Ш Ч 4-і + (quh,Qk) = (f,Qk), k= 1,... ,/V — 1. (71) • .4-1 , ** . . -1 + Система (71) в матричной форме имеет вид Aa = f, где a = (au...,aN.,)Г, / = (/ь• • • ,/tf-i)Т, А = (А,;), /, = (/, Q,), ( Хн' d \ ~' ( *' d \ ~' A,j = (Ф;(*,) " Ф;(*,+ і)) ( J ~ J + (ф;(*,) - ф;(*,-і)) ( J ~J + x, x,_ і ¦"j+l + J q>j{x)Q,(x)q{x)dx, ij = 1,... ,N - 1. лг,_1 Вычислив A,j и /, и решив систему, найдем коэффициенты а\,.. 1, с помощью которых строится кусочно постоянное восполнение приближенного решения n-1 «''(¦*) = X а'Ф'С*)> ao = aN-0. 1=1 Считая, что р(х), q(x) суть ограниченные функции, a f(x) Є Ьг(а, b), можно доказать, что при достаточно малых h система (71) имеет единственное решение, причем шах |м(дг,) - мЛ(дг,)| + (q(u - и1'), и - мЛ)1/2 < ch, і где с — const > 0. Можно строить приближенное решение также в виде и"(х) = ^ «,&(*)> i=i где неизвестные {а,} определяются из (71). Нетрудно заметить, что в данном случае алгоритм совпадает с методом Бубнова-Галеркина, а значит, справедливы соответствующие результаты о сходимости метода. Однако, используя специфику метода интегральных тождеств, здесь просто уста-навливается оценка погрешности вида шах|м(дг,) — «Л(х,)| + і + [(/>(*) L (и, - «"), ? (и/ - «")) + (q(u - и"), и - иЛ)]1/2 < 0(h2), которая, вообще говоря, не следует из теории метода Бубнова-Галеркина. 5.4 2 Решение вырождающихся уравнений Рассмотрим задачу для уравнения с вырождением -^-xap(x)^+q(x)u = Ax), х Є (0,1), и(0) = и(1)=0. (72) где а > 0, р(х) Є МО, 1)> Ф) Є МО, О. /М Є ?.2(0,1), 0 < Р0 < р{х) < < Pь />0, />і — постоянные, q(x) > 0. При построении приближенных решений ограничимся простейшими базисными функциями {ф,} (характеристическими) и случаем 0 < а < 1 (слабое вырождение). Введем функции Хк di, ( db, \—' 4-і , 4+1 Qk(x) = < 4 ' 4 .0, х$(хк-\,хк+\), к = l,...,N— 1, и с помощью известных преобразований получим тождества , 4+i -1 + (и(дг*)-и(дг4+,))( j ^^у 4 + (и(хк) - и(*і_і)) ( j ) + (4-і Пусть, как и в п. 5.4.1, введены характеристические функции ф,(дг), г = 0,1,... ,N. Будем искать приближенное решение в виде i=i где принимаем «о = QN = 0, а остальные постоянные определяются из системы уравнений 4 (и\хк)-и\хк+1)) ( / + (*"(**)-«"(**-.)) ( j ^L) + 4 4-\ + (qu",Qk) = (f,Qk), k=l,...,N-l. (74) Эту систему можно представить в матричной форме: где A = (Ai;), a = (au...,aN-l)T, /=(/.,... ,/yv-i )Г, /, = (/,(2,), dl Vі + (qQi,q>i-1), У = «' + і» j = i-l, Aij = -і (Г ^ у {J **рЫ +{J р. О, Система (73) однозначно разрешима при достаточно малых h и спра-ведлива априорная оценка для и": Е2(А)' где 1-а _ „1-а >4-1/2 і— 1 /2 Є2(/і) = 0(h) шах 1 гу ^ Л-1/2 —-^О — 0, X/v+1/2 - — 1, > X (X а М/(х) = a,Q,(x) — интерполянт приближенного решения: и'}(хк) = = uh(xk), к — 1 ,...,N — 1. Оценка погрешности здесь имеет вид е(А)||/|| шах|и(дс,) - и*(*,-)| + (q(u - uh), и - мА)1/2 < с (1_а)і/2(1_є(/і))- Замечание. Аналогичным образом может быть рассмотрен случай задачи с сильным вырождением, когда а > 1 и краевое условие имеет вид м(1) = 0. Здесь МОЖНО ввести сепсу 0 = Х\/2 < х\ < ДГз/2 < ... < XN_\/2 < < XN = 1. Пусть -1 1 ! Ш) (/і d\ ДГЄ (*|/2,JC|), Q|(*) = , хЄ(хі,х2), о, Х^(х{/2,Х2), а остальные Q„ і — 2,... ,N — 1, те же, что и раньше. Дальнейший ход построения приближенного решения uh(x) = a,-q>i(x), где ф;(дг) — характеристическая функция интервала (дг,_!/2, х,+!у2) при і — 1,..., N — 1 остается прежним. 5.4.3. Метод интегральных тождеств для задачи на собственные значения. Рассмотрим задачу об отыскании чисел А. и ненулевых функций и(х) таких, что -^p(x)^+q(x)u = Xu, а <х < b, и(а) = и(Ь) = 0, IMl?2( где р(х), q(x) — положительные ограниченные функции. Для приближен-ного решения задачи (75) применим метод интегральных тождеств. Для этого введем сетку а = хо < xi/2 < х\ < ... < хн-1/2 < xn = b и поставим в соответствие каждому узлу дг, функцию Qi(x) вида (65) и функцию ф, (дг) (вообще говоря, отличную от Q, (дг)), для которой выполнены условия ф,(дг;) < оо, J = l,...,N - 1. Предположим, ЧТО {ф;(х)} есть базис Спро-ектируем уравнение из (75) в L2(a,b) на функции {Qj {х)}. В результате приходим к тождествам X, ЛГ,-| + (qu,Q,) = X(u,Q,), i=l, ..,N-1. (76) Приближение к собственной функции и(дг), соответствующей Л, будем искать в виде и/,(х) = Х(=і Поскольку краевые условия и (а) = = и(Ь) = 0 являются главными, предполагается, что базисные функции {ф,(дг)}, по которым раскладывается м/,(дг), удовлетворяют им. Коэффици-енты {а,} определяются из системы («,,(*,)-"/,(*.+ 0) ( J J^j + (uh(xi) — U/,(x,- 1)) ^ j + X, X,-1 + (?Ий,<2.) = А,А(И*, (2,), i=l,...,N-l, (77) или, в матричной форме, La = XhMa, (78) где a = (au...,aN-{)T, M = (MtJ), L=(L,j), Мч = (ф„ Q}), Xj+l Xj+l ¦ / Ч j. n-1 ... PW) + + (<7Ф., Gy), i,y= 1 Отыскивая собственные числа A.'1, j = 1,...,/V — 1, матричной задачи (78) и соответствующие им собственные векторы а, с помощью под-ходящего численного метода, можно принять Х'і в качестве приближений к некоторым точным собственным значениям Хк задачи (75), а функции uf(x) = Хуі/au(PjМ> построенные на основе векторов а,, — в качестве приближений к собственным функциям и,(х). Пусть в дальней- 15* шем для упрощения изучения сходимости А.'* к Хк принимается, что ФіМ = Qi{x), і = l,...,N— 1. В этом случае матрицы L,M будут симметричными и положительно определенными. Следовательно, приближенные собственные значения А.'* будут вещественными и положительными. Пусть {и'[} — последовательность приближенных собственных функций, соответствующих {А.^} И подчиненных условию нормировки ||М[|| = = 1. Тогда при h -? О справедливы оценки вида с1,2 Ai < Х'( < X, +ch2(gi +Х02, ||«i - и\\\с(а,ь) < j-j- где с = const > 0, <71 = ||<7||M