6. Метод собственных функций для задач теплопроводности
6.1. Теплопроводность в ограниченном стержне. Рассмотрим однородный цилиндрический стержень длины I, один конец х = 0 которого поддерживается при температуре MQ = %(t), а другой, х = I, охлажда-
а2 — R2
ется по закону Ньютона.
Температуру внешней среды положим равной нулю. Температура и(х\ г) в сечении х стержня в момент времени t удо-влетворяет уравнениюЭи 7 Э2и ,
где а2 = к/(ср), Ь2 = (Лр)/(ср^). Предположим, что начальная температура в стержне равнялась ф(дг), где ф(дг) — заданная функция от х. Тогда имеем начальное условие м|,=о = ф(дг) и краевые условия
ди
= —hu
ы
= Х(0, к
х=0 ОХ
х=1
Соответствующая задача о собственных значениях будет иметь уравнение v" - (b2/a2)v + Xv = 0 и краевые условия г|Л=о = 0, ^ + yvj = О,
где у = h/к. Согласно разделу 2 собственными функциями задачи будут: v„ = sinfi„x, где fin определяется из уравнения tglfi= —fi/y. Будем искать решение нашей задачи в виде ряда и = w„(t) s'mnnx. Умножим уравнение на s\nfi„x и проинтегрируем от 0 до I. Тогда для определения vv„ получаем дифференциальное уравнение
w>i + {b2 + a2ti)Wn = ^x(t)
"л
и начальное условие
і
= JJ2 J(f>(x)sinfi„xdx = b„.
w,
' N„ " о
Для конкретности предположим, что %(t) — Uo = const, а ф(х) = 0. Тогда Ьп = 0 и
W»=U°M2, І2' ,2Jl-exp(-(fc2 + a2/x2)/)]. Решение нашей задачи получим в виде
ОО 2
^ = S л,2/ 2 2" -exp(-(fc2 + a2/i2)r)]sin/x„jr.
6.2. Стационарное распределение температуры в бесконечной призме. Пусть вдоль линии (/), проходящей внутри призмы параллельно ее ребрам, равномерно распределены источники тепла с плотностью Q. Температура внешнего пространства принимается равной нулю, а коэффициент теплопроводности к постоянным.
Направим ось z по одному из ребер призмы, а оси х, у по ее граням. Обозначим через а и b размеры поперечного сечения ?2 призмы, а через хо а уо — координаты линии (/).
Будем считать источники тепла распределенными в бесконечной призме поперечного сечения dQ с9 В. И. Лгошков и др.
малым диаметром 5, содержащей прямую (/). Плотность распределения источников тепла в рассматриваемой призме обозначим через q(x,y). При
этом q(х, у) = 0 вне Э?2 и / / q(x, у) dxdy = Q. Очевидно, температура
JJ Эй
и призмы одинаково распределена в любом поперечном сечении, т.е. и не зависит от г. Таким образом, это есть двумерная задача для уравнения kAn = —q с краевым условием вида к^ —hu = 0, которые можно
переписать так: Аи = —q/k и ^ — уи = 0, где у = h/k.
Соответствующая задача о собственных значениях с уравнением Av + + Xv = 0 была решена в разделе 2. В соответствии со сказанным там собственными значениями будут числа Хт<п = /х„, + V,,, где /х,„ и V,, — корни уравнения
Собственными функциями будут Ущп = sin (худ^ + ф,„) sin [ул/^іх + Ул) 1 Фш = arctg (у//х,„),
V'J — arctg (Y/V„). Вычислим коэффициенты Фурье c,„t„ функции q по системе vm „ :
4(2
Ст.п = "р : — : Г sm(x0y/jliii+ ((),„) s\n(y0y/wii+ЦІп).
YZ+V„J
Ьиь,
Теперь будем искать решение нашей задачи в виде ряда по функциям vmy.
оо
т,п= 1
Для определения коэффициента wmn умножим исходное уравнение на vm ll и проинтегрируем по прямоугольнику ?2. Тогда выражение для н>т>„ имеет вид
_ 4(25Іп(д^у/^ + ф,„)5Іп(>'0У^+у/„) Wm. tt — 6.3. Распределение температуры в однородном цилиндре. Рассмотрим однородный цилиндр радиуса R и высоты Н. Коэффициент внешней теплопроводности на одном из оснований цилиндра равен h\, а на боковой поверхности /і2, где h\,li2 постоянны. Второе основание поддерживается при температуре UQ. Температура внешней среды равна нулю. Внутри цилиндра источники тепла отсутствуют. Температура и внутри цилиндра определяется уравнением Ди = 0 и краевыми условиями
= и0, 7Г + Ри| =0, 3- + Vм
:=о dz I z=H аг
ди „ | „ ди
ai
*=0> r=R
где $ = hi/k, у = Иг/к. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа в цилиндре при краевых условиях v|z=o = 0, +
+ (3v| ^ = 0, др + yv| О имеют следующий ВИД-
V0,m,« = ^о (х?„ Sin vAhiz, v2k-1,m,n = Л sin*фsin v/v^z,
V2*,m,n = Л cos top sin v^VZ,
где x* и v„ — соответственно /71-Й и n-й корни уравнений xJ'k(x) = = —yRJk(x) и tg H\Jv= — л/v/P • Соответствующие собственные значения равны 2
^¦2к— 1 ,т,п — А.2*,Ш,Н = —3 Ь V,,.
А
Ищем f в виде
+ (w2*-1 ,m,H вт^ф + И>2*)т,„ COS&p) j Sinv^VZ.
Для определения whm,n умножим исходное уравнение на v,проинтегрируем по объему цилиндра. Получаем
w,,m>„ = 0, і > 0,
SUoyRy/4,
w0,m,n Отсюда
Z vvo)m,„7o sinvAvz.
1
' т,п=1