4. Метод Ритца
Пусть F — потенциальный оператор, действующий из банахова пространства Е в сопряженное ?*, т. е. существует такой функционал / € ?", что F = grad /.
Предположим, что рассматривается некоторая задача математической физики, которая сводится к нелинейному операторному уравнению F(u) — = 0.
Как следует из 3.1, эта задача может быть сформулирована в вариаци-онной постановке (5): найти «о € Е такой, что /(ко) = inf„6?/(к). В этом разделе предполагается, что Е — сепарабельное вещественное нормиро-ванное пространство и / — конечный вещественный функционал, заданный на Е. Лишь во второй половине раздела потребуется полнота Е. Для минимизации функционала /, если он ограничен снизу на Е, воспользуемся методом Ритца. В. Ритц применил свой метод к решению конкретных задач. В дальнейшем его метод был развит в работах С. Г. Михлина и других авторов.При формулировке различных предложений о методе Ритца потребуется следующее определение.
Определение 16. Функционал / называется полунепрерывным сверху (снизу) в точке UQ € Е, если каждому є > 0 соответствует 5 > 0 такое, что как только ||м - мо|| < 8, то
/(Мо)-/(„)>-Е (/(Мо) -/(„)< Е).
Функционал / называется полунепрерывным сверху (снизу) на множестве М С Е, если он полунепрерывен сверху (снизу) в каждой точке и Є М.
4.1. Приближения и системы Ритца. Пусть / — ограниченный снизу вещественный функционал, заданный на нормированном пространстве Е. Метод Ритца минимизации функционала / заключается в следующем. Сначала в Е задается так называемая координатная система, т. е. линейно независимая система векторов (pi ,(Р2,...,(р„,..., множество всевозможных линейных комбинаций которых плотно в Е. Затем строится последовательность конечномерных подпространств {?„}, где Еп — л-мерное пространство, натянутое на векторы фі,ф2,- -,фи- Из ограниченности снизу / на Е следует, что / ограничен снизу на Е„.
Пусть dn = inf„6?„/(к) (п = 1,2,3,...). По построению d\ > d2 > d^ > ... > dn... Допустим, что при каждом п существует ип Є Е„, что /(«„) = dn. Тогдаа
и„ = ^ акщ, (12)
*=1
где коэффициенты ак зависят от п. Векторы ип называются приближениями Ритца.
Пусть / дифференцируем по Гато на Е и F = grad /. Тогда / дифференцируем по Гато и на Ё„, причем для произвольных векторов и, h є Е,„ т. е. для и = а*Фь h = (3*фь где а* и (3* произвольны, имеем
Jt/(м + 'А) Lo= №)> = § (F (? а'ф<)'фі) •
Отсюда согласно теореме 10 следует, что если и„ — точка абсолютного минимума / на Е„, то
( 5>Ф*) , Ф.) = О (;=1,2,...,л). (13)
*=1 '
Система (13), определяющая коэффициенты ак, называется системой Ритца.
Отметим, что в случае выпуклости / всякое решение системы (13) дает по формуле (12) приближение Ритца, т. е. точку абсолютного минимума / на Еп.
Лемма 3. Если выпуклый функционал /, заданный в линейном пространстве (не обязательно нормированном), имеет две различные точки минимума, то его значения в этих точках совпадают.
4.2. Разрешимость систем Ритца. Если на Е задан выпуклый и дифференцируемый по Гато функционал, то для того, чтобы векторы и„, заданные формулой (12), представляли собой приближения Ритца, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ак удовлетворяли системе Ритца (13). Если / — строго выпуклый на Е функционал, то он будет строго выпуклым и на Е„ С Е, а потому система (13) не может иметь более одного решения.
Решение (а і, а2,..., ап) системы (13) может дать по формуле (12) критическую точку /, т. е. точку, в которой градиент / обращается в нуль, и только если это — точка абсолютного минимума / на Е„, то решение системы (13) определит приближение Ритца. Но если / — выпуклый функционал, то всякая его критическая точка будет и точкой абсолютного минимума (см. теорему 10).
Исследовать разрешимость системы Ритца (13) можно в предположении, что вещественный сильно возрастающий (т.е. НшццЦ^^Дм) = и дифференцируемый по Гато функционал /, заданный на Е, полунепрерывен снизу на каждом подпространстве Е„ С Е.
Так как / — сильно возрастающий функционал, то найдется такое г > 0, что f(u) > /(0), как только ||и|| > г. Рассмотрим в Е„ шар К" = = {и : и Є Е„, |Н| < г}. В силу полунепрерывности снизу / на К'г' (согласно известной теореме классического анализа) существует точка ко Є К", в которой / принимает наименьшее значение, т. е./(м0) = inf f(u), и0=І af]q>k.
Эта точка не может принадлежать поверхности шара К'г\ ибо там /(к) > > /(0). Но
вне шара К" имеем /(к) > /(0) > /(щ). Следовательно, /(м0) = infu6?„/(к) и af\..., удовлетворяют (13).
Лемма 4. Если вещественный сильно возрастающий и дифференцируемый по Гато функционал /, заданный на Е, полунепрерывен снизу на каждом подпространстве Е„ С Е, то система Ритца (13) разрешима при любом п.
Лемма 5. Если заданный на Е дифференцируемый по Гато вещественный функционал / с градиентом F полунепрерывен снизу на каждом подпространстве ЕпС Е и при некотором г> 0 выполнено
(F(u),u)>0 для всех и с нормой ||«|| = г, (14)
то система Ритца (13)разрешима при любом п.
4.3. Сходимость метода Ритца. Пусть приближения Ритца (12) для функционала /, заданного и ограниченного снизу на Е, существуют при любом л, и пусть /(ы) полунепрерывен сверху. Пусть d = inf„g? / и (к'")) с Е — какая-нибудь минимизирующая последовательность, удовлетворяющая неравенствам
Ди(я)) т у(«) = ?аМф4 {m = m{n)>n)j ||u(n)_v(«)|| <5и. Так как / полунепрерывен сверху, то 6„ можно выбрать столь малым, чтобы для произвольного вектора w ? Е, удовлетворяющего неравенству ||и(") - w|| < 6„, было Дм(")) - f(w) > -1 /п. Полагая w = v(m), отсюда и из предыдущего находим, что f(v{m)) Отсюда следует Лемма 6. Пусть приближения Ритца (12) для функционала /, заданного и ограниченного снизу на Е, существуют при любом п. Тогда если f(u) полунепрерывен сверху, то его приближения Ритца образуют минимизирующую последовательность. В условиях леммы 6 метод Ритца можно использовать для отыскания приближенного решения задачи F(u) = 0. Назовем вектор и„ при п = N N-м приближением к точному решению мо задачи. Согласно лемме 6 для любого є > 0 существует номер N такой, что - мо|| < є. Это означает, что, используя метод Ритца, можно найти приближенное решение мдг с любой наперед заданной точностью.