2.3. Кинематические уравнения движения материальной точки
Описывая любое движение, мы классифицируем его по виду траектории. Последняя задается нормальным ускорением. При равенстве его нулю траектория будет прямолинейной, в иных случаях нормальное ускорение задает радиус ее кривизны.
При его постоянстве тело будет двигаться по окружности.Тангенциальное ускорение при движении по любой траектории говорит о характере изменения величины скорости. Скорость может оставаться постоянной во всё время движения, увеличиваться либо уменьшаться. Более того, изменение скорости может быть равномерным – то есть за равные промежутки времени изменения скорости будут одинаковыми. По этим причинам принято различать такие типы движения: равномерное (при постоянной скорости), равнопеременное (при постоянном тангенциальном ускорении) и не равнопеременное (когда тангенциальное ускорение меняется). Для двух первых видов движения нетрудно найти уравнения, позволяющие рассчитать характеристики движения в любой момент времени.
Поскольку характеристик всего три: путь, скорость и ускорение, то уравнений будет не много. Вопрос о нахождении вида уравнений движения можно решить как графическим, более наглядным способом, так и аналитическим. Рассмотрим их последовательно сначала на примере простейшего вида движения – равномерного.
1. В случае равномерного движения графиком зависимости величины скорости от времени будет прямая линия, параллельная оси времени (рис. 2.8). Из этого графика нетрудно найти и пройденный за определенное время t путь. Действительно, из определения величины скорости следует, что
ds = udt. | (2.17) |
Значит, на графике величина ds найдётся как произведение ординаты u на элементарный промежуток времени dt.
Весь пройденный за конечное время t путь будет равен площади прямоугольника со сторонами u и t, то есть:
s = ut. | (2.18) |
В рассматриваемом случае одна из трех кинематических характеристик равна нулю (тангенциальное ускорение), вторая постоянна (скорость), значит полученное выше уравнение будет единственным.
Это уравнение можно получить аналитически, интегрируя уравнение (2.17) в соответствующих пределах:![]() | (2.19) |
что для случая постоянной скорости приведет к полученному выше результату. Это вполне естественно, так как площадь, ограниченная графиком любой функции и осью, на которой отложена независимая переменная (в нашем случае t) имеет геометрический образ интеграла этой функции.
2. Для случая равнопеременного движения следует рассмотреть два графика, соответствующих ускоренному (at > 0) и замедленному (at < 0) движениям. Первый из них представлен на рис. 2.9, где с течением времени скорость возрастает.
Поскольку ускорение at есть первая производная от скорости по времени, постоянство тангенциального ускорения означает, что за равные промежутки времени изменения скорости одинаковы.
Постоянным остается и угловой коэффициент
![]() | (2.20) |
значит график будет прямой линией.
Замедленное движение обязательно имеет начальную скорость, которая с течением времени убывает (рис. 2.10). Угол наклона прямой к оси t теперь тупой, что соответствует отрицательному угловому коэффициенту.
Очевидно, что зависимость скорости от времени может быть получена интегрированием уравнения (2.10), определяющего тангенциальное ускорение. В рассматриваемом случае равнопеременного движения оно постоянно, поэтому в результате интегрирования получим:
du = at dt; ? ![]() | (2.21) |
Теперь перейдем к выводу уравнения для нахождения второй, зависящей от времени, характеристики движения – пройденного пути s. для этого вновь воспользуемся уравнениями (2.17) и (2.19).
Естественно, что теперь при интегрировании следует учесть полученную выше зависимость скорости равнопеременного движения от времени:ds = udt; ? ![]() ![]() | (2.22) |
Если принять во внимание, что тангенциальное ускорение при замедленном движении отрицательно, и условиться далее под at понимать его модуль, то в уравнениях скорости и пути в этом случае появится знак минус.
Приведем все в систему и покажем, что арсенал уравнений и понятий, которыми располагает кинематика, не так обширен, как это может показаться на первый взгляд. Действительно, если оставить в стороне вопрос о траектории, и, следовательно, о направлении скорости, в кинематике остается только три характеристики движения: пройденный путь s, величина скорости u и тангенциальное ускорение at .
Если положить ускорение равным нулю, то есть скорость постоянной, то с течением времени будет меняться только путь:
s = u t . | (2.23) |
При равнопеременном движении появляется второе уравнение, дающее возможность вычислить скорость в любой момент времени. Тогда уравнения зависимостей u(t) и s(t) можно записать в виде:
u = u0 ± at ; ![]() | (2.24) |
Здесь под a следует понимать модуль полного ускорения прямолинейно движущейся точки, либо модуль тангенциального ускорения, если точка движется по криволинейной траектории.
Часто приходится решать и обратную задачу: нахождение скорости и ускорения по заданному закону движения s(t). Такая задача решается дифференцированием пути по времени. Скорость находится как первая производная от пути по времени, а ускорение – как вторая производная:
![]() ![]()
| (2.25) |
Здесь точки над буквами означают операцию дифференцирования по времени (в отличие от производной по координате, которая, как известно, обозначается штрихом). Следовательно, – вторая производная от пути по времени.
Если точка движется по кривой известного радиуса R, то полное ускорение точки находится по (2.16): , где нормальное ускорение определяется по (2.14): an = u2/R.
И, наконец, последнее. Уравнения для равнопеременного движения имеют два частных случая: когда начальная либо конечная скорости равны нулю. Уравнения скорости в этих случаях будут одночленами:
u = at t и u0 = – at t . | (2.26) |
Уравнение пути одинаково для обоих частных случаев, если тангенциальное ускорение взять по модулю:
![]() | (2.27) |
Поскольку одночленными уравнениями легче пользоваться, не следует ими пренебрегать, решая конкретные задачи.
2.4.