2. Элементы нелинейного анализа

2.1. Непрерывность и дифференцируемость нелинейных отображений.

2.1.1. Основные определения.

Определение 1. Пусть Ех и Еу — нормированные пространства. Оператор F: Ех —> Еу называется слабо непрерывным в точке ио Є Ех, если из и„ мо следует F(u„) —L F(uo), где символ —означает слабую сходимость.

Определение 2.

Определение 3. Оператор F: Ех -> Еу называется вполне непрерывным, если он непрерывен и компактен.

Определение 4. Оператор F: Ех-> Еу называется усиленно непрерывным, если он преобразует всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, т. е. и„ —L ио ==> F(u„) F(u0).

Определение 5. Оператор F: Ех -> Еу называется коэрцитивным, если

= (Л = |И).

А

Отметим, что в рефлексивных пространствах Ех из усиленной непре-рывности оператора F: Ех —> Еу следует, что этот оператор вполне непрерывен. Известны, однако, примеры нелинейных вполне непрерывных отображений в Z-2, не являющихся усиленно непрерывными.

Теорема 1. Для линейных операторов полная непрерывность сов-падает с усиленной непрерывностью.

2.1.2. Производная и градиент функционала. Пусть /(и) — нелинейный функционал, заданный на всюду плотном линейном подпространстве D(f) вещественного нормированного пространства Е. Допустим, что в точке и Є D(f) для всех А Є D(f) существует предел

,,/(»+»»-/w=v/(M);

о t

он называется вариацией функционала /. Эта вариация есть однородный функционал от А, ибо V/(«, ah) = aVf(u,h), но она может и не быть аддитивным по h функционалом. Если вариация Vf(u,h) - линейный по h функционал, то ее называют дифференциалом Гато и пишут Vf(u, h) = Df(u, h). Этот линейный функционал от h записывают так же, как D/(u, h) = f'{u)h, и говорят, что /'(и) — производная Гато от функционала / в точке и.

Если при данном фиксированном и производная /'(и) есть ограниченный линейный функционал, т.е. /'(и) € Е*, то ее называют градиентом функционала / и обозначают grad/(u). В этом случае Df(u,h) = = (A, grad/(«)). Здесь (/і, grad/(u)) означает значение непрерывного линейного функционала /'(и) = gradf(u) на векторе h Є D(/). Так как D(f) плотно в Е, то по непрерывности функционал можно продолжить с D(f) на все Е. Это продолжение также обозначается grad/(и). (Здесь и — фиксированный вектор из Е.) Итак, по определению градиента имеем

(/,,grad/(u)) = +

где (A, v) — значение линейного функционала v € Е* на векторе h Є Е.

Если grad/(и) определен для любого и Є со С Е, то grad f(u) отображает со на некоторое множество из Е*.

Если функционал /(и) дифференцируем по Гато в каждой точке открытого выпуклого множества со нормированного пространства Е, то для любых и, и + h € со существует такое х, 0 < х < 1, что выполнена формула Лагранжа

f(u + h)-f(u) = Df(u + xh,h),

В случае ограниченности производной Гато будем иметь

/(и + h) - f(u) = (h, grad/(и + тА)),

так что в случае ограниченности gradf(u) на со, т.е. если [|grad/(м)|| < < с = const, из последней формулы получим неравенство Липшица

|/(M + A)-/(«)|<||grad/(M + TA)||||A||,

т. е.

|/(и + А)-/(и)| <с||А||, с — const > 0.

Дифференцируемость по Фреше. Пусть Ех и Еу — нормированные пространства и F — отображение открытого множества со С Ех в Еу.

Определение 6. Если при фиксированном и Є со и всех h Є Ех, для которых и + h Є со, F(u + h) - F(u) = g{u, h) + ы(и, h), где g(u, h) — линейный непрерывный no h оператор, a

А-» О ||Л||

то g(u, h) называется дифференциалом Фреше оператора F в точке и, а со(и, Л) — остатком этого дифференциала. Пишут g(u, h) = dF(u, h). Пишут также dF(u, h) = F'(u)h, где F'(u) Є L(EX, Ey) называется производной Фреше оператора F в точке и. Здесь L(Ex,Ey) обозначает пространство линейных непрерывных операторов из Ех в Еу.

Из определения производных Гато и Фреше следует, что если отображение дифференцируемо по Фреше, то оно дифференцируемо по Гато, и производные совпадают. Обратное утверждение не всегда справедливо. Известны отображения, которые всюду дифференцируемы по Гато, но нигде не дифференцируемы по Фреше. В связи с последним представляет интерес следующая

Теорема 2. Если производная Гато F' существует в некоторой окрестности точки ио, ограничена и непрерывна в точке щ в смысле нормы пространства L(EX, Еу), то в точке ио существует производная Фреше F', так что DF(uo, h) = dF(uo, h).

Производные высших порядков и ряд Тейлора. Пусть X, У — банаховы пространства и Fk(u\,... ,uk) — оператор, зависящий от к переменных иі,...,и*єХ, со значениями в У. Оператор Fk(u\,.. .,и/.) называется к-линейным, если он линеен по каждому своему аргументу и,- при фиксированных остальных аргументах. Далее, к-линейный оператор Fk{u\,...,uk) называется ограниченным, если существует постоянная т Є R, т > 0 такая, что

Наименьшая из таких постоянных называется нормой Fh и обозначается ||F*||. Линейный по каждому аргументу оператор Fk(u\,...,ик) называется симметричным, если его значения не меняются при любой перестановке его аргументов. Пусть Fk(u],...,ик) — к-линейный симметричный оператор. Оператор /**(и,... ,и) называется к-степенным оператором и обозначается FkUk. Далее к-линейный оператор записывается в виде F^u і,..., u*.

Пусть оператор F(u) дифференцируем в окрестности S, а дифференциал dF(u, h) также дифференцируем в точке ио'-

F'(u0 + g)h - Ґ(uo)h = (Bg)h + р(*)/г,

где ||р(я)|| = o(Hsll) при ?->(). При этом оператор

B = F"(uo)&L(X,L(X,Y))

называется второй производной оператора F(u) в точке ио- Из определения F"(uo) следует, что F"(uo)hg есть ограниченный билинейный симметричный оператор.

d2F(u0; h) = d[dF(u, h); ио,*]|в=А>

откуда d2F(uo; h) — F"(uo)h2 — квадратичный или двухстепенной оператор, получающийся из билинейного при g = h.

Если a"F(u;h) = F^(u)h" уже определен, то в предположении его дифференцируемое™ в точке ио полагают

d"+lF(uo;h) = d[d"F(u,li)-uo,g]\g=h,

откуда d"+xF{uo\h) = F^+X\u0)hn+X. Оператор F(n\uo)h{,...,hn является и-линейным симметричным оператором, a d"F(uo, h) — и-степенным оператором.

Пусть Fkuk — к -степенные операторы из X в У (к Є N), a Fo Є Y. Образуем формальный степенной ряд

%Fkuk (F0u° = F0). к=о

Предположим, что числовой ряд

І пяти*,

*=о

мажорирующий рассматриваемый степенной, имеет радиус сходимости р > 0. Тогда в любом шаре Sp, где р є (0, р), исходный степенной ряд сходится абсолютно и равномерно. Пусть р > 0, a F(u) — сумма исходного степенного ряда, т. е.

? Fkuk F(u) *=о

при п —> оо. Тогда оператор F(u) называется аналитическим оператором в точке и = 0.

Если дан бесконечно дифференцируемый оператор F(u), то степенной

ряд

k=0 к-

называется рядом Тейлора F(u) в точке и = 0. Поскольку разложение оператора F(u) в степенной ряд единственно, то всякий степенной ряд аналитического оператора является его рядом Тейлора.

2.2. Сопряженные нелинейные операторы.

2.2.1. Сопряженные нелинейные операторы и их свойства. Пусть Е — рефлексивное вещественное банахово пространство и F :?—>?* — нели- нейное непрерывно дифференцируемое по Гато, а значит, и по Фреше отображение, т.е. F' Є L(E,E*), причем для каждого фиксированного

иЄЕ

при ||u - v|| 0.

Будем предполагать также, что F(0) = 0. Из этой совокупности операторов {F} выделим класс Т> таких, что каждому F Є (D отвечает такое отображение G из той же совокупности, что (G'(u)v,w) = (F'(m)v, w) (для всех и, v,w є ?). При выполнении последнего равенства будем писать [10] G'(u) = (F'(u))' и называть G оператором, сопряженным с F. Итак, множество Т> содержит все непрерывно дифференцируемые по Гато операторы, обращающиеся в нуле в нуль и имеющие сопряженные операторы G, обладающие такими же свойствами.

Сопряженный оператор, если он существует, является единственным.

Переходим к рассмотрению свойств сопряженных операторов.

Если F имеет сопряженный оператор, то F* также имеет сопряженный оператор, и F** — (F*)* = F. Это свойство прямо следует из определения.

Если операторы F и G имеют сопряженные, то F + G имеет сопряженный оператор, причем (aF + bG)* — aF* +bG* для любых вещественных чисел а,Ь. і

Если F имеет сопряженный оператор, то F*(u) = / (F'(tu))*udt (для всех и Є Е).

Если оператор F имеет сопряженный, то (F(u),u) = (F'(u), и).

Другие определения сопряженного оператора можно найти в [116].

2.2.2. Симметрия и кососимметрия. Оператор Fg® называется симметрическим, если F = F*. Если F Є (D и F* = —F, то F называется кососимметрическим. Из свойств 1° и 2° непосредственно следует, что если F Є Т>, то (F + F") — симметрический оператор, a (F — F*) — косо- симметрический оператор.

Теорема 3. Оператор Fg 2) является симметрическим тогда и только тогда, когда он сильно потенциален, т. е. существует такой дифференцируемый по Фреше функционал f є Е*, что F(u) — grad/(и).

Теорема 4. Оператор F є Т> является кососимметрическим тогда и только тогда, когда он линейный и для любого и Є Е выполняется равенство (F(u),u) — 0.

2.3. Выпуклые функционалы и монотонные операторы.

Определение 7. Вещественный дифференцируемый функционал /(и), заданный на открытом выпуклом множестве со нормированного пространства Е, называется выпуклым на со, если для любых и,ио Є со выполняется неравенство f(u) — /(«о) — Df(uo, и — ио) > 0, и строго вы-пуклым, если равенство возможно лишь при и = UQ.

Если дифференциал Df(u,h) ограничен по h, то последнее неравенство принимает вид /(и) - /(ио) - (Г{ио), и — ио)) > 0, где F{u) = = grad/(и). Известно еще и следующее определение.

Определение 8. Если для всех мі, иг Є со и А. Є (0,1) выполняется неравенство f(Xui + (1 - А.)иг) < Xf(uі) + (1 — Х)/(иг), то / называется выпуклым функционалом.

Для дифференцируемых по Гато функционалов определения 7 и 8 эк-вивалентны.

Определение 9.

Теорема 5. Для монотонности (строгой монотонности) F(u) = = grad/(и) на открытом выпуклом множестве со Є ? необходимо и достаточно, чтобы функционал / был выпуклым ( строго выпуклым).

Определение 10. Вещественный функционал /, заданный в нормированном пространстве ?, называется полунепрерывным (слабо полунепрерывным) снизу в точке ио, если какова бы ни была последовательность (и„) Є ? такая, что и„ —> ио (и„ -1 ио), имеет место неравенство Л"о) < ІІШ,,/("«)•

Функционал / называется полунепрерывным (слабо полунепрерывным) снизу на ст, если он обладает этим свойством в каждой точке ст. Так же, как для вещественных функций, можно показать, что сумма полунепрерывных (слабо полунепрерывных) снизу функционалов представляет собой полунепрерывный (слабо полунепрерывный) снизу функционал.

Теорема 6. Пусть на открытом выпуклом множестве со норми-рованного пространства задан выпуклый и дифференцируемый по Гато функционал /. Тогда если Df(u,h) непрерывен по її, то / слабо полуне-прерывен снизу на со.

Приведем теперь критерий слабой полунепрсрывности снизу функционалов.

Теорема 7. Для того чтобы функционал /, заданный в нормированном пространстве, был слабо полунепрерывен снизу, необходимо и достаточно выполнения условия: каково бы ни было вещественное число с, множество Ес = {и : f(u) < с} секвенциально слабо замкнуто.

Теорема 8. Для слабой полунепрерывности снизу выпуклого функционала, заданного в банаховом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы он был полунепрерывен снизу.

Вопрос о слабой полунепрерывности снизу также связан с понятием опорного функционала.

Определение 11. Линейный функционал vo Є ?* называется опорным (или субградиентом) к функционалу / в точке щ Є ?, если /(«) - Л"о) > (vo, и - ио).

Из этого неравенства вытекает слабая полунепрерывность / снизу. Для формулировки очередной теоремы нам потребуется следующее понятие. Пусть F — отображение одного нормированного пространства в другое нормированное пространство. Если существует предел

,/ EY 1Л г Hu + th)-F{u)

V+F(u, h) — lim —

' r-»+0 t

для любого h Є D(F), to V+F(U, h) называется вариацией F в точке и по направлению h.

Теорема 9. Если Е — нормированное пространство и конечный выпуклый функционал /, заданный на открытом выпуклом множестве со С Е, имеет непрерывную по h вариацию V+f(u, h) для любого и Є со, то он имеет опорный функционал в каждой точке и Є со.

2.4. Вариационный метод исследования нелинейных уравнений.

2.4.1. Экстремальные и критические точки функционалов. Пусть / — вещественный функционал, заданный в нормированном пространстве Е. Точка и0 Є ? называется экстремальной точкой функционала /, если в некоторой окрестности V(uo) этой точки выполняется одно из следующих неравенств:

О /(«) 2) Дм) > Л"о) Для всех и Є V(u0).

Если второе неравенство справедливо для всех и Є то ио называется точкой абсолютного минимума функционала /. Далее, если / дифференцируем по Гато в точке и0, то при выполнении условия Df(uo,h) =0 точка ио называется критической точкой функционала /. Так как из равенства нулю дифференциала следует его непрерывность по Л, то последнее равенство принимает вид (grad/(мо), /г) = 0, и так как это равенство справедливо для произвольного h Є Е, то можно сказать, что ио — критическая точка /, если grad/(м0) = 0.

Теорема 10. Пусть функционал / задан в области со нормированного пространства Е и ио — внутренняя точка области со, в которой существует линейный дифференциал Гато.

Тогда справедливы следующие утверждения.

Для того чтобы точка ио была экстремальной, необходимо, чтобы она была критической, т. е. чтобы

grad/(M0) - 0. (3)

Если дополнительно в некоторой выпуклой окрестности U(ио) точки ио функционал f выпуклый (или grad/(и) — монотонный оператор), то равенство (3) необходимо и достаточно для того, чтобы точка ио была точкой минимума функционала /.

Теорема 11 (обобщенная теорема Вейерштрасса) Если на ограниченном слабо замкнутом множестве а в рефлексивном банаховом пространстве Е задан конечный слабо полунепрерывный снизу функционал /, то он ограничен снизу и достигает на а своей нижней грани. 2.4.2. Теоремы существования критических точек.

Теорема 12 (элементарный принцип критической точки). Пусть К = {и: иё?, |М| < г, г > 0} — шар рефлексивного банахова пространства Е и S — поверхность этого шара.

Тогда если слабо полунепрерывный снизу на К функционал f дифференцируем по Гато на открытом шаре ||u|| < г и іпГцнц=г/(и) > /(и*), где ||ы*|| < г, то в точке минимума ио Є К этого функционала grad /(ио) = 0.

Теорема 13. Пусть вещественный функционал /, заданный в вещественном рефлексивном банаховом пространстве Е, дифференцируем по Гато и grad/ = F удовлетворяет условиям-.

функция (F(/m), и) непрерывна по t на [0, 1] при любом и Є Е\

(F(u + h) - F(u), h)> 0 (при всех и, he ?);

1ітциц_>00((/г(м), м)/||и||) = Ч-оо, т.е. F коэрцитивен.

Тогда существует точка минимума щ функционала f и grad/(«о) = = 0. Если в условии 2) знак равенства возможен лишь при h = 0, т. е. F — строго монотонный оператор, то точка минимума функционала единственная, и в ней / принимает абсолютный минимум.

Теорема 14. Пусть дифференцируемый по Гато вещественный функционал /, заданный в рефлексивном вещественном банаховом пространстве, слабо полунепрерывен снизу и удовлетворяет на некоторой сфере S= {и: и Є Е, ||u|| = R > 0} условию (F(u), и) > 0.

Тогда существует внутренняя точка щ шара ||м|| < R, в которой f имеет локальный минимум, а следовательно, grad/(ио) = 0.

Теорема 15. Пусть монотонный потенциальный оператор F(u), заданный в рефлексивном вещественном банаховом пространстве Е, удовлетворяет условию (F(u), и) > IMIy(IMI), где функция у(/) интегрируема на отрезке [0, /?] при любом R > 0 и

r

о

Тогда потенциал / оператора F имеет точку минимума. Эта точка минимума единственна, и в ней / принимает абсолютный минимум, если F — строго монотонный оператор.

2.4.3. Основная идея вариационного метода. Пусть Ф — потенциальный оператор, т. е. существует такой функционал <р, что Ф = gradЕсли Ф не является потенциальным оператором, то возможны следующие приемы.

Уравнение Ф(м) = 0 заменяется эквивалентным уравнением \|/(и) = = О, где V)/ — потенциальный оператор.

Ищется минимум функционала ||Ф(м)|| = /(и).

2.4.4. Разрешимость уравнений с монотонными операторами. С помощью вариационного метода доказываются следующие утверждения [10].

Теорема 16. Пусть потенциальный монотонный оператор F, заданный в рефлексивном вещественном банаховом пространстве Е, удовлетворяет условию коэрцитивности

причем (F(tu), И) непрерывно по t на [0, 1] при любом и Є Е.

Тогда уравнение F(u) = v имеет решение при любом v є Е*, т. е. F — сюръективное отображение Е —> Е* (отображение Е на Е"). Если F — строго монотонный оператор, то он представляет собой биективное (сюръективное и взаимно однозначное) отображение Е -ї Е*.

1) при любом иЄ? существует (F(tu, u))dt\

Теорема 17. Пусть потенциальный монотонный оператор F, заданный в рефлексивном вещественном банаховом пространстве Е, удовлетворяет условиям:

2) (F(u), и) > ||и||у(||м||), где у(t) — функция, интегрируемая на отрезке [0, /?], при любом R > 0 и

R

о

Тогда отображение F : Е —> Е* сюрьективно. Если F — строго монотонный оператор, то F : Е —> Е* биективно.

2.5. Минимизирующие последовательности. Конструктивным способом доказательства существования безусловного минимума функционала является построение сходящихся минимизирующих последовательностей, которые в свою очередь могут быть использованы для построения приближенного решения задачи.

2.5.1. Минимизирующие последовательности и их свойства. Пусть Е — вещественное векторное пространство, / — вещественный функционал, заданный на Е, и о — некоторое множество из Е.

Определение 12. Всякая последовательность (и„) С а, удовлетворяющая условию lim,,_><», f(u„) = d, где d = infa/(u), называется минимизирующей (для / на о). Это определение сохраняется и тогда, когда d — /(«о), гае ио — точка условного минимума / относительно о или безусловного минимума /, т. е. точка локального или абсолютного минимума / относительно пространства Е.

Важным является вопрос о сходимости минимизирующих последо-вательностей к точке безусловного минимума функционала. При изучении этого вопроса известную роль играют выпуклые функционалы, об-ладающие некоторыми дополнительными свойствами. Если Е — конеч-номерное пространство, то в силу компактности в нем любого замкнутого шара можно утверждать следующее: если вещественная функция / растет вдоль каждого луча, выходящего из точки щ, то /(и) — /(ио) обладает монотонной минорантой c(t) для t > 0, с(0) = 0, которую можно считать непрерывной, строго возрастающей и удовлетворяющей условию /(и) - /(ио) > с(||и - Moll)- Разумеется, если это неравенство имеет место для функционала /, то ио — точка минимума /(и), и всякая минимизирующая последовательность сходится к этой точке мо. Однако в бесконечномерных пространствах существуют строго выпуклые функционалы, имеющие в точке ио минимум, а значит, растущие вдоль всякого луча, выходящего из ио, для которых тем не менее неравенство не имеет места.

Возникает вопрос об условиях, обеспечивающих ограниченность всякой минимизирующей последовательности. Приведем такое условие, ис-пользующее следующее определение.

Определение 13. Конечный вещественный функционал /, заданный в нормированном пространстве Е, называется возрастающим, если для любого числа с множество {ы: и Є Е, /(и) < с} ограничено.

Теорема 18. Если / — возрастающий функционал, то всякая минимизирующая его последовательность ограничена.

Из последнего утверждения вытекает, что если возрастающий функционал задан в рефлексивном банаховом пространстве и d — f(uo), то из всякой минимизирующей последовательности d = inf/ = /(«о) можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к ио-

2.5.2. Корректная постановка задачи минимизации. Следующее оп-ределение принадлежит А. Н. Тихонову.

Определение 14. Задача минимизации вещественного функционала, заданного на некотором подмножестве нормированного пространства, поставлена корректно, если она разрешима, имеет единственное решение и к нему сходится в смысле нормы пространства любая минимизирующая последовательность.

Приведем достаточное условие корректности задачи минимизации функционала.

Теорема 19. Пусть у(t) — неотрицательная функция, интегри-

rr

руемая на [0,/?] при любом R >0 и такая, что c(R) = / у(t)dt воз-

J о

растает и при некотором R: c(R) > /?||F(0)||.

Тогда если оператор F — grad/, заданный в рефлексивном банаховом пространстве Е, удовлетворяет условиям: для любых h, v Є Е функция (F(v + th),h) интегрируема по t на [0, 1] и (F(v + h) — F(v), h) > > ||Л||у(||А||), то задача минимизации функционала f поставлена корректно.

Ниже перейдем к рассмотрению некоторых методов построения минимизирующих последовательностей. Из известных методов минимизации нелинейных функционалов рассмотрим метод наискорейшего спуска, метод Ритца и метод Ньютона — именно они широко используются для решения нелинейных уравнений.