4. Другие применения методов потенциала

4.1. Применение методов потенциала к уравнению Гельмгольца.

4.1.1. Основные факты. Если искать решение однородного уравнения и„ = а2Аи в виде установившегося синусоидального режима заданной частоты, то приходим к уравнению Гельмгольца

Av + k2v = 0.

(63)

На бесконечности решения этого уравнения должны удовлетворять принципу излучения

Эу

v = 0(r-1), ¦^¦ + ikv = o(r~l), or

а для двумерного случая —

v = 0(r~1/2), t + ikv = o(r-i/2h or

В этом случае верна теорема единственности решения.

Фундаментальным решением, удовлетворяющим принципу излучения, в трехмерном случае является решение

-ikr

v(A) = —, (64)

где г — расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной точки О до точки А.

В плоском случае фундаментальным решением, удовлетворяющим принципу излучения, является решение #Q2' (kr), где — вторая функция Ганкеля.

Условие излучения выделяет единственное решение и для неоднородного уравнения

Av + k?v = -F(A) (k> 0), (65)

определенное во всем пространстве. Будем считать F(A) непрерывно дифференцируемой функцией точки трехмерного евклидова пространства, определенной во всем пространстве и равной нулю вне некоторой конеч-ной области V. Тогда указанное решение определяется равенством

v{A) = ikllle~rF{p)dx = (66)

Аналогично краевым задачам для уравнения Пуассона (п. 3.1.6), для решения краевых задач для неоднородного уравнения (65) следует представить его решение в виде суммы решения краевой задачи для однородного уравнения (63) (уравнения Гельмгольца) и функции (66).

4.1.2. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Решение (64) уравнения (63) имеет при г — 0 полярность 1 /г, и это дает возможность построить для уравнения (63) теорию потенциала, совершенно аналогичную теории ньютонова потенциала для уравнения Лапласа. Обозначая через г расстояние между переменной точкой Р поверхности S и точкой А, в трехмерном случае приходим к следующим аналогам потенциалов простого и двойного слоя:

v(A) = Ц(і(Р) dS, w(A) = - If ti(P) ^ dS, (67)

5 5

(68)

где n — направление внешней нормали к S в переменной точке Р.

Выделяя из ядра полярное слагаемое 1 /г, получим потенциалы, в которых предельный переход при стремлении А на поверхность совершается по формулам, совершенно аналогичным (18), (19), (23), (24):

r=\AP\,

w+{A) = 2Щ{А) - II,i(/>)|- dS,

(69)

и>_(А) = -2Щ{А) - IIц(Р)2- (lil) dS, s

причем в (68) ядро является значением производной по направлению нормали п в точке А, а в (69) — по направлению нормали п в точке Р.

В плоском случае потенциалы принимают вид

v(A) = IКР) j.ni>2)(kr)dS, w(A) = Iц(Р) \l^\kr)] dS, (70) и для них имеют место формулы, совершенно аналогичные формулам (68) и (69), причем справа множитель 2п надо заменить на я. Написанные потенциалы удовлетворяют уравнению (63), и в силу специального выбо-ра ядер каждый элемент написанных интегралов и сами эти интегралы удовлетворяют принципу излучения. Введем ядро

где ф — угол, образованный направлением нормали в точке Р с направлением АР. Транспонированное ядро будет иметь вид

wn.M Э (е~,Ь\ e,kr(ikr+1)

где у — угол, образованный нормалью в точке А с направлением АР. Совершенно так же, как и для уравнения Лапласа, можно поставить задачи Дирихле и Неймана.

Внутренняя задача Дирихле состоит в отыскании внутри S решения уравнения (63), удовлетворяющего на S краевому условию

ик=/(А).

Аналогично формулируется и внешняя задача, причем на бесконечности должен быть выполнен принцип излучения. В случае задачи Неймана имеем краевое условие

Из теоремы единственности вытекает, что внешние задачи могут иметь только одно решение. Для внутренних задач единственность имеет место не при всяких к.

Число к2 называется собственным значением внутренней задачи Дирихле, если существует внутри S решение уравнения (63), удовлетво-ряющее на S однородному предельному условию = 0. Аналогично определяются собственные значения внутренней задачи Неймана.

Если искать решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двой-ного слоя и внутренней задачи Неймана в виде потенциала простого слоя, то приходим к союзным интегральным уравнениям

ц(А) + Ц fi(P)K(A,P;k)dS= —-^f(A), (71)

ц(А) + Лд(/>)К(/> A;A)dS = ^/(A).

(72)

Если к2 не есть собственное значение внутренней задачи Неймана, то однородное уравнение (71) имеет только нулевое решение и, следовательно, неоднородное уравнение разрешимо при любом /(Л), т. е. при любом /(Л) внешняя задача Дирихле имеет решение в виде потенциала двойного слоя. Совершенно аналогично, если к2 не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле, внешняя задача Неймана имеет решение в виде потенциала простого слоя.

4.1.3. Функции Грина. Для уравнения (63) можно построить функцию Грина совершенно так же, как это делалось для уравнения Лапласа. В трех-мерном случае фундаментальное решение этого уравнения можно записать в виде (coskr/r). Функцию Грина, соответствующую условию

"Is = 0, (73)

надо искать в виде

Gi(A,P-,k2) = ^+gl(A,P-,k2) (r=|A/»|), (74)

где P;k2) удовлетворяет внутри V уравнению (63), а на S — краевому условию (75)

cos kr Если к2 не есть собственное значение уравнения (63) при краевом условии (73), то такая функция Грина может быть построена.

В плоском случае решения уравнения (63), зависящие только от расстояния г = \АР\, имеют вид Zo(kr), где Zo(z) — любое решение уравнения Бесселя нулевого порядка

4'(z) + ^4(z) + Zb(z) = 0. (76)

В качестве решения этого уравнения возьмем функцию Неймана

Фундаментальным решением с полярностью (1/(2я))1п(1/г) является функция

~No(kr). (78)

Поэтому следует искать функцию Грина в виде

Gi (Р, Q\ к2) = -Х- N0(kr) + ?і(Л, Р\ к2). (79)

Поскольку первое слагаемое в правой части удовлетворяет уравнению и имеет требуемую полярность, вопрос приводится к определению слагаемого Р; к2) так, чтобы оно не имело уже полярности, удовлетворяло уравнению (63), а на контуре L удовлетворяло бы следующему неоднородному краевому условию:

8I\L = ^N0(kr),

которое обеспечивает нулевое значение функции Грина на границе L.

4.1.4. Уравнение Av — Av = 0. Рассмотрим уравнение

Av-Av = 0, (80)

где X — заданное положительное число, и поставим внутреннюю задачу Дирихле с краевым условием

v\s = f(A).

(81)

Решения уравнения (80) не могут иметь внутри V ни положительных мак-симумов, ни отрицательных минимумов, и отсюда следует единственность решения указанной задачи Дирихле.

Если функция f(A) удовлетворяет неравенству -а < f(A) < b, где а и b — некоторые положительные числа, то такому же неравенству в V должно удовлетворять и решение задачи Дирихле. Рассмотрим неоднородное уравнение

Д у-Ху=-(р(А) внутри V (82)

с однородным краевым условием

Vis = о. (83)

Пусть ф(А) непрерывна в замкнутой области V и имеет внутри V непрерывные производные. Тогда задача (82), (83) равносильна интеграль-ному уравнению

v(A) = хЩ G(A,P)v(P)dx + ЦІ G(A,P)(P) dx, (84)

v v

где G(A,P) — функция Грина уравнения Лапласа с краевым условием (83). Поскольку (—Я.) — отрицательное число, а все собственные значения интегрального оператора с ядром G(A,P) положительны, то уравнение (84) имеет при любом свободном члене одно решение, которое является решением задачи (82), (83).

Перейдем теперь к решению задачи Дирихле (80) и (81). Пусть w(A) — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с краевым условием (81). Функция

и(А) = v{A) - и>(Д) (85)

должна удовлетворять уравнению

Аи — Хи — Xw

и однородному краевому условию = 0. Решение этой задачи существует. Зная и(Р), можно теперь найти решение задачи Дирихле v(A) согласно формуле (85).

Фундаментальным решением уравнения (80) является функция

v0(A)=exp(-\/Xr)/r, (86)

где г — расстояние точки А до некоторой фиксированной точки О. Основываясь на этом решении, можно построить теорию потенциала совершенно так же, как это сделано ранее.

4.2. Нестационарные потенциалы.

4.2.1. Потенциалы для одномерного уравнения теплопроводности. Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности

и, = а2ихх (87)

и положим, что для промежутка 0 < л: < / поставлена краевая задача с краевыми условиями

mU=o = 0)i, u\x=i = 032{t) (88)

и, без ущерба общности, однородным начальным условием

и|г=о = 0 (0 <*

Фундаментальным решением, соответствующим источнику, помещен-ному в момент t = тв точке х = является тепловой потенциал

Аналогично построению потенциала диполя продифференцируем фундаментальное решение по 4 (по «нормальной» производной), что приводит к другому сингулярному решению — тепловому потенциалу «диполя». Умножая его на плотность потенциала ф(т) и интегрируя, получаем решение (87), соответствующее диполю в точке X = действующему от момента х = 0 с интенсивностью ф(т), в виде (см. [83])

Если х стремится к 4 слева или справа (ср. с (23), (24)), то функция (91) удовлетворяет следующим краевым соотношениям:

Кроме того, решение (91) удовлетворяет, очевидно, однородному начальному условию

Решение начально-краевой задачи (87), (88) следует искать в виде суммы двух потенциалов: одного, помещенного в точке х = 0, и другого — в точке х = /; искомую плотность первого обозначим через ф(т), а второго — через \|/(т):

Краевые условия (88), в силу (92), запишутся в виде

Эти уравнения представляют собой систему интегральных уравнений Вольтерра для ф(т) и \|/(т), и ядра этих уравнений зависят только от раз-ности t — х. Таким образом, в данном случае метод потенциалов приводит к решению системы двух интегральных уравнений.

Если на одном из концов задана не сама функция и, а ее производная ди/дх, то потенциал, порожденный этим краевым условием, следует искать на основании запаздывающего потенциала (90), а не его производной. В этих рассуждениях несложно усмотреть сходство с анализом задачи Дирихле, решение которой ищется в виде потенциала двойного слоя, и задачи Неймана с решением в виде потенциала простого слоя. Если, например, краевые условия имеют вид

то решение задачи с однородными начальными условиями следует искать в виде суммы двух потенциалов вида

Дифференцируя формулу (97) по х и устремляя х к /, получим, в силу (92) и второго из условий (96),

так что снова для ф(т) и \|/(т) возникает система интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности t — х. Отметим, что подобный вид ядер (в виде свертки) свидетельствует о целесообразности использования преобразования Лапласа для решения системы интегральных уравнений.

4.2.2. Тепловые источники в многомерном случае. Идея потенциала может быть применена и к многомерным задачам теплопроводности. Ограничимся указанием результатов, которые аналогичны предыдущим. Рассмотрим плоский случай, т. е. уравнение

Пусть на плоскости Оху имеется область D с границей L. Фундаментальное решение, соответствующее источнику в точке (?, л)> действующему с момента времени х, имеет вид

Аналог потенциала простого слоя дается следующей формулой:

где I — длина дуги контура L, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, и а(1, х) — функция переменной точки / контура и параметра х. Через г обозначено расстояние от точки (х,у) до переменной точки I контура L. Тепловой потенциал двойного слоя представляется формулой

где п — направление внешней нормали в переменной точке интегрирования, или

где направление г считается из точки Р, пробегающей при интегрировании по контуру L, в точку (х,у). Если ввести угол dep. под которым элемент длины dl виден из точки (JC, у), то предыдущую формулу можно переписать в виде

Краевые значения потенциала двойного слоя в точке А(хо,уо) контура определяются формулой

где параметр к определяет смену знака: к = 1 для внутренней и к = 2 для внешней задачи; го — расстояние от переменной точки интегрирования до точки Л(д:о,;Уо)- Потенциал простого слоя (99) непрерывен при переходе через контур L, а его производная по нормали в точке А контура имеет в этой точке краевые значения, определяемые по формуле

Пользуясь указанными формулами, можно приводить решение краевых задач к интегральным уравнениям.Пусть, например, ищется функция v(x, у, t), удовлетворяющая внутри D уравнению (98), имеющая на контуре L данные краевые значения:

где s — координата точки контура, определяемая длиною дуги s, отсчитываемой от некоторой точки. Начальные данные считаются равными нулю. Отыскивая решение в виде потенциала двойного слоя (100), получаем, в силу первого из равенств (ЮЗ), интегральное уравнение для функции b(l, х):

где г — расстояние между точками s и / контура L и направление г считается от I и s. В написанном уравнении интегрирование по I совершается по фиксированному промежутку (0, |L|), где \L\ — длина контура Z, а при интегрировании по х верхний предел является переменным. Иначе говоря, написанное интегральное уравнение имеет характер уравнений Фред-гольма по отношению к переменной I и характер уравнений Вольтерра по отношению к переменной х. Несмотря на такой смешанный характер уравнения (106), обычный метод последовательных приближений для уравнений Вольтерра оказывается сходящимся и в случае уравнения (106). Метод применяется и для области, ограниченной несколькими контурами. Он легко обобщается и на трехмерный случай и применим к внешним задачам. Приведение начального условия и(х, у, 0) = f(x, у) к нулю со-вершается, как обычно, путем переноса неоднородности из начального условия в краевые при помощи представления искомого решения в виде суммы решения задачи с однородными начальными условиями и решения уравнения для всей плоскости или всего пространства. В двумерном случае решение для всей плоскости имеет вид 4.2.3. Краевая задача для волнового уравнения. При решении краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов в основе всего построения лежало фундаментальное решение соответствующего дифференциального уравнения. Применим эту идею к уравнениям гипер-болического типа.

на промежутке 0 < л: < / с однородными начальными условиями

Отметим, что начальные условия могут быть всегда приведены к однородным. Функция Бесселя мнимого аргумента /о(с\/<2 - х2) есть фундаментальное решение уравнения (107).

Помещая соответствующие этому решению непрерывно действующие источники на концах промежутка [0,/], получим, как нетрудно непосредственно проверить, потенциалы «простого слоя» — решения уравнения (107)

где ф(т) и \|/(т) есть некоторые дифференцируемые функции. Поскольку краевые условия являются краевыми условиями первого рода, то аналогично решению задачи Дирихле и уравнения теплопроводности следует искать решение в виде потенциала диполя (двойного слоя). Для нахождения этого потенциала дифференцируем фундаментальные потенциалы «простого слоя» по Л: И ищем решение задачи (107)—(109) в виде суммы д 1-х

причем считается, что ф(т) = V|f(t) = 0 при х < 0. Уравнение (107) и на-чальные условия (108) удовлетворяются при любом выборе ф(т) и V|f(t). Краевые условия (109) приводят к следующей системе уравнений для ф(т) и у(т):

Функции Ші(т) и (1)2(0 считаем непрерывно дифференцируемыми. Обозначим

v(0 - ф(') = Ф1 (0. V(0 + Ф(') = Vi (')• Складывая и вычитая почленно уравнения (111), получаем раздельные уравнения для фі(ґ) и іуі(/):

В отличие от системы интегральных уравнений для уравнения теплопроводности в данном случае получается система интегральных уравнений с функциональной зависимостью. Ее можно решить при помощи последовательных шагов на промежутках [0, /], [/, 21} и т.д.

Отметим, что при с = 0 фундаментальными решениями волнового уравнения

являются функции (в зависимости от размерности пространства) W,(x,/) = ^-0(2а ' ' 2лaVa2t2 - г2'

Здесь г = |х|, 0(г) — ступенчатая функция, равная нулю при г < 0 и единице в противном случае. В трехмерном пространстве волновой потенциал выражается в виде обобщенной S-функции. Волновой потенциал определяется как свертка фундаментального решения и плотности потенциала р, которая также считается равной нулю при t < 0. Поэтому возникает интеграл по времени на промежутке [0, г]. В зависимости от размерности волновые потенциалы имеют вид

Здесь K(z) — круг с центром в точке х радиуса г- Трехмерный волновой потенциал V3 является запаздывающим, поскольку его значение в точке х в момент времени t > 0 определяется значениями источника р(?, т), взятыми в ранние моменты времени т = t - —/а, причем время за-паздывания |лс —/а — это то время, которое необходимо для прихода возмущения ИЗ ТОЧКИ 4 В точку X.

Дальнейшее изучение волновых потенциалов приводит к определению поверхностных волновых потенциалов простого и двойного слоя. Проведенное выше рассмотрение краевой задачи для волнового уравнения использует эти конструкции.

4. Другие применения методов потенциала

Еще по теме 4. Другие применения методов потенциала: