1.7. Дифракция. Принцип Гюйгенса — Френеля
Хорошо известное прямолинейное распространение света легко объяснимо с точки зрения корпускулярных представлений о нём. Волновые представления тогда лишь могут быть приняты, если с их позицией можно будет объяснить этот фундаментальный закон.
На первый взгляд это невозможно, поскольку сама природа волнового движения такова, что приводит к дифракции — отклонению от прямолинейного распространения. Это явление можно наблюдать, когда свет на своём пути встречает препятствие с отверстием, либо небольшой экран, за края которого он заходит. Огибание препятствий легко объясняется тем, что при распространении любой волны каждая точка, до которой дошло колебательное движение, вызывает такое же движение в соседней точке. Это положение было сформулировано Гюйгенсом и носит название его принципа: каждая точка волнового фронта может рассматриваться как вторичный источник колебаний. Причём это может быть лишь точечный источник, поэтому колебания от каждого вторичного источника пойдут в разные стороны, а фронт вторичной волны будет сферой.
 |
На рис. 1.14 изображены фронты вторичных волн для двух случаев: а) источник света точечный, и фронт волны — сфера; б) плоская волна идет от протяжённого источника. Вторичные же источники в обоих случаях точечные, испущенные ими волны — сферические, но огибающая отдельных фронтов в первом случае часть сферы, а во втором — плоскость. Эти огибающие задают новое положение фронта волны. В каждом случае вторичные источники, расположенные у краев диафрагмы Д, испускают лучи, приводящие к отклонению света от прямолинейного пути на произвольный угол j и загибанию его за края экрана. Угол отклонения от прямолинейного пути носит название угла дифракции.
На рис. 1.14б показаны также лучи, идущие от вторичных источников, и направленные внутрь пучка света.
Они, встретившись с лучами первичного источника, способны с ними интерферировать. Дифракция может привести к появлению интерференционной картины, но для этого лучи, отклонённые от прямого пути, должны быть когерентны тем, которые идут от первичного источника. В первом случае (см. рис.1.14а) это условие выполняется, а во втором не все лучи точечного источника испущены одним атомом. В плоской волне каждый луч, достигающий фронта волны, испущен разной группой атомов, расположенных в различных частях светящегося тела. Чтобы наблюдать интерференцию в случае плоской волны, следует, как уже отмечалось выше, поставить перед отверстием узкую щель, либо взять пространственно-когерентный источник.
Расчёт интерференционной картины, возникшей вследствие дифракции, интересен тем, что приводит к доказательству прямолинейности света. Он был выполнен Френелем, дополнившим принцип Гюйгенса положением об интерференции вторичных волн. Для расчёта картины интерференции Френель предложил открытую часть фронта волны (т.е. площадь отверстия) разбить на зоны, которые теперь называют зонами Френеля. Принцип этого разбиения проследим по рис. 1.15, где на отверстие падает плоская когерентная волна. Здесь изображён луч, идущий от центра фронта волны, точки О, к центру экрана — к точке А. Длина l0 этого центрального луча равна кратчайшему расстоянию от отверстия до экрана: l0 = L. Над ним показан луч, длина которого больше на полволны, т.е. l1 = L + l/2. Очевидно, лучей такой длины множество: они все идут от окружности с центром в точке О, проведенной на плоскости фронта волны. На рисунке можно показать лишь два луча указанной длины — сверху и снизу от центрального луча. Радиус окружности нетрудно найти по теореме Пифагора: (L + l/2)2 = L2 + r12. Пренебрегая квадратом длины волны как величиной второго порядка малости, получим радиус первой зоны Френеля
 . | (1.22) |
Фронт волны, лежащий внутри окружности указанного радиуса, носит название центральной или первой зоны Френеля.
Она представляет собой участок волнового фронта, от каждой точки которого свет распространяется во все стороны и, следовательно, попадает и в точку А. Крайние лучи, идущие от этой зоны, отличаются от центрального на половину длины волны: l1 = L + 0,5l. На рис. 1.15 ниже центрального луча показан ещё луч, длина которого l2 = L + l. Лучей такой длины тоже множество, все они идут от окружности с радиусом r2, охватывающей центральную зону. Эта окружность вырезает на световом фронте зону, следующую за центральной. Она уже не круг, как центральная, а кольцо. Это будет вторая зона Френеля.Предположим теперь, что отверстие имеет такие размеры, что пропускает только ту часть светового фронта, в которой укладывается две зоны Френеля. Лучи от каждой точки этих зон в результате дифракции попадают в центральную точку экрана и, накладываясь там друг на друга, интерферируют. Центральный луч, выходящий из точки О, и крайний луч центральной зоны, наложившись друг на друга, дадут минимум, поскольку разность их хода составляет l/2. То же самое произойдет, когда наложатся лучи, идущие от точек, лежащих рядом с этими точками: центральной точкой О и точкой, испускающей луч длиной L + l/2. Эти лучи будут чуть длиннее первых двух, но разность их хода останется прежней — полволны. Следовательно, две соседние зоны гасят друг друга в центре экрана.
Центральный луч и начальный луч третьей зоны разнятся на целую длину волны, поэтому они усилят друг друга. То же самое произойдет со всеми лучами, вышедшими из точек центральной и третьей зон. Интенсивности света в т. А от близких к центру зон будет примерно одинаковой (можно показать, что площади всех зон Френеля практически равны), но по мере удаления от центра она будет уменьшаться из-за увеличения расстояния и наклона зоны относительно направления на центр экрана:
| I1 > I2 > I3 > I4 …, или Ik > Ik+1. | (1.23) |
Здесь через Ik обозначена интенсивность света, пришедшего в точку А от зоны с номером k.
Суммарная интенсивность света от всех открытых отверстием зон может быть найдена как сумма интенсивностей всех зон. Причём интенсивности чётных зон должны не прибавляться, а вычитаться:| I = I1 – I2 + I3 – I4 + I5 – I6 … | (1.24) |
Из последнего равенства вытекает два существенных следствия:
1. Если отверстие открывает чётное число зон Френеля, в центре дифракционной картины будет минимум. Максимум будет наблюдаться при условии, что отверстие пропускает нечётное число зон Френеля.
2. Второй вывод мы получим, сгруппировав интенсивности попарно:
| I = I1 – (I2 – I3) – (I4 – I5) – (I6 – I7) – … . | (1.25) |
В силу (1.23) в скобках стоит всегда положительная величина, поэтому I1 > I, т.е. интенсивность света на прямой, соединяющей глаз с источником света, больше тогда, когда открыта одна только центральная зона, а не весь световой фронт! Причём, как будет ясно из дальнейшего, интенсивность в т. А от полностью открытого фронта будет в 4 раза меньше, чем если свет проходил бы через малое отверстие размером с центральную зону Френеля.
Теперь выясним, велики ли размеры того участка волнового фронта, который создаёт в точке А основную освещённость. Для этого воспользуемся выражением (1.22), дающим радиус центральной зоны. Пусть отверстие отстоит от экрана на расстоянии L = 1 м, тогда r1 = 
» 7?10–4 м, что составит примерно 0,7 мм при освещении отверстия зелёным (l = 500 нм) светом. Следовательно, распространение света происходит так, как если бы световой поток шёл вдоль очень узкого канала, т.е. распространялся бы прямолинейно.
В действительности же мы всегда наблюдаем расхождение светового луча: пучок света, вышедший из яркого источника (например, прожектора), имеет форму конуса.
Такая форма луча обусловлена его дифракцией (см. рис. 1.14.). Расхождение лучей приводит к уменьшению плотности энергии луча — ведь в этом случае энергия распределяется по большему объему.И только в случае когерентных пучков их расхождение гасится интерференцией, действие всех зон сводится к действию одной центральной зоны. Это имеет место в источниках когерентного излучения (лазерах). Из-за малого расхождения пучка когерентных волн плотность энергии в лазерном луче очень велика и мало изменяется с удалением от источника света — лазера.
В случае сферического фронта радиусы зон Френеля можно вычислить по формуле
 , | (1.26) |
где R — радиус волнового фронта (расстояние от точечного источника света до отверстия); k = 1, 2, 3… — номер зоны. Нетрудно показать, что для плоского фронта (R ® ∞) и k = 1 из последней формулы получится выражение (1.22).
Для оценки суммарного действия нескольких зон, помимо приведённых выше рассуждений, используется более строгий и точный метод, который мы приводим ниже.