3.8. Атом водорода с точки зрения волновой механики
Атом водорода, имеющий один электрон, представляет для этого электрона потенциальную яму, выйти из которой электрон может лишь при затрате определенной энергии.
Но декартовы координаты здесь удобнее заменить сферическими, поскольку атом обладает сферической симметрией и удобнее отсчитывать положение электрона относительно центра атома. В сферической (иначе — полярной) системе координат положение электрона однозначно определяется тремя координатами: линейной координатой r — расстоянием от ядра, и двумя угловыми координатами j и q (рис. 3.15). При переходе к сферическим координатам второй член уравнения не изменится, а сумма частных производных по x, y, z заменится суммой вторых производных по новым переменным:
 . | (3.51) |
Потенциальная энергия U электрона в атоме — это энергия его взаимодействия с ядром:
 , | (3.52) |
где Zе — заряд ядра, е — заряд электрона. Энергия отрицательная, так как она обусловлена силами притяжения.
Чтобы решить уравнение (3.51), поступим следующим образом: положим для начала угловые координаты q и j постоянными, и найдём y как функцию только r. Затем, полагая постоянными r и q, найдём зависимость y от j, и после этого таким же способом найдём зависимость y от q.
Для первого случая все производные по q и j будут равны нулю, и уравнение (3.51) примет вид  . | (3.53) |
Решение его ищем подбором в виде экспоненты, предполагая, что волновая функция y, а, значит, и вероятность, пропорциональная y2, по мере удаления от ядра убывают, стремясь в пределе к нулю:
 . | (3.54) |
где a0 – коэффициент, имеющий размерность длины, поскольку показатель степени в экспоненте должен быть безразмерным. Если подобранное выражение действительно является решением уравнения (3.53), то подставленные в него первая и вторая производные от y (3.54) должны обратить его в тождество. Первая производная 
; вторая производная 
. Подставив их в (3.53), получим
 . | (3.55) |
Это равенство обратится в тождество, если коэффициенты попарно равны:
 ; или  , | (3.56) |
что в точности соответствует выражению (2.11), полученному Бором для радиуса первой электронной орбиты. Значение полной энергии электрона на этой орбите получим, приравняв оставшиеся два коэффициента:
 , | (3.57) |
что при подстановке сюда а0 из (3.56) даёт выражение, совпадающее с формулой (2.12) для полной энергии электрона на первой боровской орбите.
Следует обратить внимание, что в полученных выражениях отсутствует квадрат главного квантового числа, т.е. и энергия, и радиус по этим уравнениям могут быть найдены лишь для первой боровской орбиты. Происходит это потому, что использованный выше подход является упрощённым, сделанным в обход специального математического аппарата, применение которого даёт полное совпадение с полученными ранее боровскими выражениями.
Найдя вид функции y (3.54) и установив смысл введённого параметра а0, можем найти теперь те значения радиальной переменной r, при которых вероятность найти электрон в атоме будет максимальной. В рассматриваемом случае волна будет сферической, поэтому элемент объёма dV = 4pr2dr (объём шарового слоя толщиной dr). Используя (3.28), получаем вероятность
  , | (3.58) |
Дифференцируя плотность вероятности dZ/dr из (3.58) по переменной r и приравнивая производную нулю, легко найти расстояние r1, при котором вероятность принимает максимальное значение:
 ; ? r1 = a0. | (3.59) |
Иначе говоря, вероятнее всего найти электрон на расстоянии a0 от ядра, т.е. там, где пролегает первая бόровская орбита.
Мы снова встречается здесь с принципом соответствия Бора: в квантовой механике бόровская модель атома не отвергнута, а уточнена и дополнена в соответствии с принципом неопределённости, который утверждает, что точную траекторию микрочастицы указать нельзя. Можно лишь предполагать, что электрон находится где-то вблизи боровской орбиты, вероятнее всего на ней, но не исключается возможность встретить его и ближе, и дальше, чем на расстоянии a0 от ядра.
Совокупность точек, где вероятность встретить электрон не равна нулю, принято называть электронным облаком. Плотность этого облака больше там, где больше вероятность нахождения электрона. Таким образом, судя по кривой dZ/dr = f(r), плотность электронного облака постепенно спадает по мере удаления от а0 в обе стороны (рис.3.16), то есть электронное облако не имеет чётких границ, как того и требует принцип неопределённости..
Поскольку y является функцией не только r, то вполне вероятно ожидать, что плотность электронного облака будет не одинакова при одном и том же r, но при различных значениях q и j, задающих ориентацию электронного облака в пространстве.
Для решения этого вопроса следует положить теперь постоянной координату r и исследовать поочередно две зависимости: y(j) и y(q). Исследование первой приводит к квантованию по углу j и появлению орбитального квантового числа l. Рассмотрим более простую вторую зависимость: y = y(q). Уравнение (3.51) при постоянных r и j запишется так:
 . | (3.60) |
Мы вновь получили уравнение, эквивалентное по своей структуре уравнению гармонических колебаний (3.37) . Это позволяет искать решение в виде простейших тригонометрических функций синуса или косинуса. Вводя параметр М, можем записать:
| Y(q) = Ym sin(Mq), либо Y(q) = Ym cos(Mq). | (3.61) |
Как обычно, допустимые значения М можно найти, подставляя функцию y(q) и её вторую производную в уравнение (3.60). Точный анализ полученных выражений вновь потребует применения специального математического аппарата, который позволит определить, когда и какую из функций (3.61) следует использовать. При этом выяснится, что параметр М может принимать не любые, а только фиксированные значения, определяемые магнитным квантовым числом ml, которое при l = 1 может иметь три значения: единица, ноль и минус единица.
Выражение (3.61) лучше иллюстрировать диаграммой, где угол q измеряется от оси OZ, как этого требует введение сферических координат (см. рис. 3.15). Очевидно также, что в случае использования функции косинуса, при q = 0 y будет максимальна, а в случае синуса она равна нулю. На рис. 3.17 показаны эти два предельных случая: амплитудное значение ym в первом случае отложено под углом q = 0, а во втором — под углом 90° к оси OZ. Возможна и третья ориентация — под углом – 90° к оси OZ.
 |
На рис. 3.18 приведены диаграммы, по которым можно определить значение y при любом угле q. Эти диаграммы построены по решениям уравнения (3.61) для разных значений числа ml. Величина y, соответствующая любому углу q, находится по длине отрезка ОА. Максимальное значение волновой функции равно ym.
Под каждой из приведенных диаграмм изображена соответствующая боровская орбита и показан вектор орбитального момента импульса 
. В случаях, изображённых на диаграммах а) и в), электрон вероятнее всего встретить в плоскости xoy, а на диаграмме б) — в плоскости xoz. Вероятность встретить электрон при несколько меньших или больших углах θ уже не равна нулю, как в модели Бора — Зоммерфельда.
Орбиты пролегают в той плоскости, где вероятность встретить электрон имеет максимум. Вновь налицо принцип соответствия. Новая волновая теория даёт более общее и подробное описание поведения электрона в атоме и не требует выдвижения постулатов (вспомним, в боровской модели их четыре!). Закономерности строения атома, аналогичные бόровским, получены на основе признания одного факта: волновой природы электрона. Но бόровская модель атома более наглядна и проста.