6.15. Внутреннее трение

Под внутренним трением мы понимаем трение между слоями движущегося газа (жидкости). У стенок сосуда (трубы), по которому течёт газ, слои движутся медленнее, чем по мере удаления от стенок.

На рис. 6.16(а) показана ось x, проведённая перпендикулярно течению газа (или жидкости). К примеру, от оси трубы к её стенке. Ясно, что скорость течения газа, и, следовательно, скорость направленного движения каждой молекулы, убывает в положительном направлении оси, что иллюстрируется графиком, приведённым на рис. 6.16(б). Через dS на рисунке 6.16(а) обозначена площадь соприкосновения слоёв, имеющих скорости направленного движения u₁ и u₂ .

Молекулы, двигаясь хаотично и обладая средней скоростью теплового движения u, будут перелетать из слоя в слой, перенося с собой количество движения. Рассмотрим случай, когда слои соприкасаются площадкой dS. Летящие вправо по оси молекулы несут количество движения m₀u₁, перелетающие влево – m₀u₂ каждая. Если обозначить число перелетающих из слоя в слой молекул через N₁ и N₂, то можно посчитать изменение импульса первого слоя, взять разность между импульсом,

полученным от всех прилетевших в слой молекул и импульсом, унесённым улетевшими из него молекулами. Первый будет m₀u₁N₂, второй – m₀u₁N₂.

Изменение количества движения приводит к появлению импульса силы:

.

(6.98)

где F – величина силы, подействовавшей на слой.

Для того, чтобы найти изменение импульса слоя, происшедшее за время Dt, необходимо посчитать число молекул, перелетающих за это время из слоя в слой. Прежде, чем приступить к этому расчёту, отметим следующее: вдоль оси x скорость направленного движения меняется от точки к точке, то есть в соседних точках оси x скорости разные. Обозначим скорость направленного движения в произвольной точке оси x через u. Условимся, что u₁ будет скорость в точке, отстоящей на расстоянии l от dS – площадки, через которую осуществляется перелёт молекул. Если u₂ отстоит от тоже на , то можно считать, что молекулы перелетают из слоя в слой без столкновений. Это значит, что они, перелетая, не теряют скорость направленного движения в результате ударов.

Очевидно, что через площадку dS за Dt секунд перелетят те молекулы, которые имеют составляющую скорости u хаотического движения, направленную вдоль оси x. Если все направления хаотического движения равноправны, то возможны шесть движений молекулы ( три оси и два направления у каждой). Следовательно, вдоль оси в нужном направлении будет двигаться только 1/6 часть всех молекул. Поскольку средняя скорость движения молекул определённа, то за время Dt к площадке dS смогут подлететь лишь те молекулы, которые находятся достаточно близко, а именно, находящиеся на расстоянии uDt от dS. Это будут молекулы, содержащиеся в объёме uDtdS. Их число мы найдём, умножив этот объём на концентрацию n. И, наконец, в заданном направлении будет двигаться 1/6 общего числа молекул:

.

(6.100)

Тогда изменение количества движения слоя за время Dt

.

(6.101)

Разность скоростей можно найти по градиенту скорости, используя формулу Лагранжа для конечных приращений (Dy @ y'Dx):

,

(6.102)

поскольку градиент – это производная от скорости по перпендикулярной координате x, а расстояние Dx, которое разделяет слои, равно 2l.

,

(6.103)

или

.

(6.104)

Приравнивая полученный результат к силе вязкости, выраженной через макропараметры (6.93) и произведя сокращения, получим:

.

(6.105)

Полученное уравнение даёт возможность разобраться, от каких параметров будет зависеть вязкость. Так, с повышением температуры она должна возрастать из-за того, что скорость хаотичного движения делается при этом больше. В жидкостях мы наблюдаем как раз обратное: при охлаждении жидкости делаются более вязкими. Это противоречие на первых порах принималось как свидетельство ошибочности молекулярно-кинетической теории. Но более поздние опыты, проведённые с газами, показали, что температурная зависимость для газов как раз обратна той, что имеет место для жидкостей, т.е. уравнение (6.105) для газов оправдывается на опыте. Для жидкостей оно не имеет места, поскольку в нём не учтены характерные особенности движения молекул в жидкостях.