§ 5.13. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

При решении задач на применение материала этой главы используется формула (5.1.2) или (5.1.3) для вычисления работы при изобарном изменении объема газа, выражение (5.2.5) для количества теплоты, полученного телом при его нагревании или отданного им при охлаждении, а также уравнение теплового баланса (5.2.6).

Значительное количество задач решается с помощью первого закона термодинамики в форме AU = А + Q или Q = АС/ + А'.

При решении задач на тепловые двигатели применяются выражения для КПД (5.11.2) и (5.12.13).

Во многих случаях понадобится применять газовые законы и выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа U = ^

2 М

Задача 1

Вычислите работу идеального газа массой т при его изобарном нагревании на А Т.

Решение. Обозначим постоянное давление газа через р, начальный и конечный объемы газа — соответственно через Vx и V2, а начальную и конечную температуры — через Г] и Г2. Согласно уравнению Менделеева—Клапейрона имеем

pV^^RT^pVz^^RT,,

где М — молярная масса газа.

Вычитая почленно из второго уравнения первое, получим

piVz-VJ^^RiTz-TJ.

Ho p(V2 - = А! — работа газа. Следовательно,

(5.13.1)

Полученную формулу полезно запомнить и применять при решении других задач.

Задача 2

В каком случае вода в бадье нагревается больше: при опускании в нее горячего камня или такого же по объему нагретого до той же температуры куска металла? Удельные теплоемкости камня и металла относятся как 2:1, плотности как 3:13.

Решение. Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнения теплового баланса для двух пар веществ: вода — камень и вода — металл:

свтп3 (t - tj + скркУ (t - t2) = О, cBmv (f - + cMpMF (f - t2) = 0, (5.13.2)

где cB, cK, cM— удельные теплоемкости воды, камня и металла; тв— масса воды в бадье; рк и рм— плотности камня и металла; V — объем камня (металла); t^ — начальная температура воды в бадье; t2 — начальная температура камня (металла); t — температура, установившаяся в бадье после опускания в нее камня, a t' — после опускания металла.

Перепишем уравнения (5.13.2) так:

cB/nB (t - = cKpKF(*2 - t), свт„ (f - fx) = cMpMV(t2 - *').

Разделив почленно первое уравнение на второе, получим

<5ЛЗ-4)

Так как — = f , а — = А, то уравнение (5.13.4) принимает см 1 Рм id

(5.13.5)

t'-t1 ~ 13 t2-t"

Относительно температур tut' можно высказать три предположения: 1) t > t'; 2) t = t' и 3) t < t'.

вид

В первом случае в уравнении (5.13.3) левая часть больше единицы, а правая меньше. Значит, первое предположение несправедливо. Во втором случае (t = t') левая часть уравне-

ния (5.13.5) равна единице, а правая равна ^ • Следовательно, неверно и второе предположение.

Таким образом, правильным является третье утверждение: t < Ґ, т. е. при опускании металла вода нагреется больше.

Задача 3

После опускания в воду, имеющую температуру = 10 °С, тела, нагретого до температуры t2 = 100 °С, через некоторое время установилась общая температура t = 40 °С. Какой станет температура воды t', если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое тоже до температуры t2 = 100 °С?

Решение. Пренебрегая нагреванием сосуда и тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса после опускания первого тела:

сътъ (t - tj) + cTmT (t - t2) = 0, (5.13.6)

где св и ст — удельные теплоемкости воды и тела, a ms и тТ — массы воды и тела.

После опускания еще одного такого же тела имеем

свтв (Ґ -t) + сТтТ (Ґ -t) + cTmT (Ґ - t2) = 0. (5.13.7)

Преобразуем уравнения (5.13.6) и (5.13.7) так:

свтв (t - f і) = cTmT (t2 - t), cBmB (f -t) = cTmT (fa + t - 21').

После почленного деления второго уравнения на первое по-лучим

t'_t t2 + t-2t'

Отсюда

г = 2; , * 1 « 55 °С.

12 + t-2tx

Задача 4

В цилиндре под тяжелым поршнем, перемещающимся без трения, находится углекислый газ массой m = 20 г. Газ нагревается от температуры tl = 20 °С до температуры t2 = 108 °С.

Какое количество теплоты было при этом сообщено газу? Молярная теплоемкость углекислого газа (теплоемкость 1 моль) при постоянном объеме Cv = 28,8 Дж/(К • моль).

Решение.

Ср = Су + R.

Удельная теплоемкость

_ Ср _CV + R СР~ М М '

где М — молярная масса газа.

Следовательно, искомое количество теплоты

Q = СрТП (t2 - *i) = S (*2 - *i) (Cv + R) = 1480 Дж. Задача 5

В двух цилиндрах, имеющих объемы V1 = 3 л и V2 = 5 л, находится одинаковый газ при давлениях р1 = 0,4 МПа и р2 = = 0,6 МПа и температурах = 27 °С и t2 = 127 °С. Цилиндры соединяют трубкой с краном. Определите, какая температура Т и какое давление р установятся в цилиндрах после того, как кран соединительной трубки будет открыт.

Решение. Внутренние энергии газа в первом цилиндре, газа во втором цилиндре и газа в цилиндрах после смешивания соответственно равны = bv^!, U2 = bv2T2 и U = b(vx + v2)T. Здесь b — коэффициент пропорциональности, зависящий от

g

природы газа (для одноатомного газа b = ^ -R); vi — число молей газа в первом цилиндре; v2 — число молей газа во втором цилиндре.

Согласно закону сохранения энергии

Отсюда

Vl^+V^

Т= \ ¦ (5.13.13)

vl+v2

Из уравнений состояния до смешивания газов следует p1V1 = v1RT1,p2V2 = v2RT2.

Выразим отсюда количества газов:

Pl l P2V2 ,е191,.

Vi = = RT~2- (5.13.14)

Подставив значения и v2 в формулу (5.13.13), получим

Т= Р\УУ2:Р2У2Т: - 366 К, или 93 °С.

Из уравнения состояния для смеси газов Р(У, + V2) = (v! + V2)RT,

используя найденные значения для v1( v2 и Т, получим

PlVl+P2V2 кок „ р = —77—^— = 525 кПа.

12

Задача 6

В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого меняется следующим образом: при переходе из состояния 1 в состояние 2 давление увеличивается при постоянном объеме V; при переходе 2—3 увеличивается объем при постоянном давлении Рх; переход 3—4 происходит с увеличением объема при постоянной температуре; при переходе 4—1 газ возвращается к первоначальному состоянию при постоянном давлении р2. Изобразите в координатах р, V; р, Т и V, Т графики изменения состояния газа и определите, при каких процессах газ получает теплоту, при каких отдает; как при этом меняется температура и какая работа совершается газом.

Решение.

Процесс 2—3 — изобарное расширение; температура уве-личивается (Т3 > Т2); газ совершает положительную работу (А2 > 0). Это видно из формулы А2 = pl (F3 - V2). Так как температура увеличивается, то внутренняя энергия тоже увеличивается, т. е. AU > 0. Поэтому из первого закона термодинамики в форме Q = AU + А2 следует, что Q > 0, и при этом процессе к газу подводится некоторое количество теплоты.

Процесс 3—4 — изотермическое расширение; температура остается постоянной. Газ совершает положительную работу, так как он расширяется (А'г > 0). Для изотермического процесса первый закон термодинамики имеет вид Q = А'3, поэтому Q > 0, т. е. теплота поглощается газом.

Т3= const

Ат-г^

> V = const

7 р1 = const

V = const

?3

const

Т3 = const

1/ р2 = const 4 О

О Рис. 5.21

Рис. 5.20 13-2915 Процесс 4—1 — изобарное сжатие (Vx < V4); температура уменьшается (Тх < Т4). Газ совершает отрицательную работу: А'4 = p2(Vj - V4). Так как газ охлаждается, то его внутренняя энергия уменьшается (AU < 0). Следовательно, как видно из первого закона термодинамики: Q = AU + А'4, газ отдает некоторое количество теплоты окружающим телам (Q < 0).

Графики изменения состояния в координатах р, Т и V, Т приведены на рисунках 5.20 и 5.21.

Задача 7

Одноатомный идеальный газ при давлении рх = 3-Ю5 Па и температуре ti = 0 °С занимает объем Vx = 2 м3. Газ сжимают без теплообмена с окружающей средой, совершая при этом работу А = 35 кДж. Найдите конечную температуру газа Т2.

Решение. Согласно формуле (15.8.1) для одноатомного иде-ального газа изменение внутренней энергии

А и=1^ЩТ2-Т1). (5.13.15)

стояния газаp^Vi = ^i?Tx найдем

Из уравнения Менделеева—Клапейрона для начального corn

MJ

тп Р lVl

(5.13.16)

Подставляя выражение (5.13.16) в уравнение (5.13.15), получим

АС7= (5.13.17)

Так как газ сжимают без теплообмена с окружающей средой (адиабатный процесс), то в соответствии с первым законом термодинамики имеем

AU = А.

Следовательно, уравнение (5.13.17) можно записать так:

Откуда

Т2 = + j - 284 К, или 11 °С.

Задача 8

Увеличится ли внутренняя энергия воздуха в комнате, если в ней протопить печь?

Решение.

U1 = срТ,

где с — постоянный коэффициент пропорциональности. Согласно уравнению состояния идеального газа

pV

т

где В — постоянная величина.

Так как р = ^, то рГ = ^ . Следовательно, Ul = ^р, т. е.

энергия определяется только давлением. Давление же в ком-нате равно атмосферному и не меняется при нагревании воздуха в комнате. Нагреваясь, воздух частично вытекает через щели наружу, что и обеспечивает постоянство энергии, несмотря на нагревание. Только в герметически закрытой ком-нате внутренняя энергия возрастала бы с нагреванием.

Задача 9

Тепловая машина совершает работу А = 2- 103Дж при за-трате количества теплоты Q1 = А -103 Дж. Известно, что КПД такой машины составляет 0,75 (75%) максимально возможного КПД (Птах). Определите температуру нагревателя машины fj, если температура холодильника t2 = 0 °С.

Решение. Согласно условию задачи КПД тепловой машины равен

тпВ, Л = 0,75

Ті -т2

Т1 ' По определению

QI+Q2 = А_ Qi Qi 13*

195 8. Отсюда

0,75Q1T2 Tl ~ 0,75^-A'

или

* 0,75q\-A ~ 273 = 546 °C- Упражнение 4

Если бы реки потекли вспять, означало бы это нарушение закона сохранения энергии?

Покажите, что нарушение второго закона термодинамики в формулировке Клаузиуса ведет к нарушению второго закона термодинамики в формулировке Кельвина. Понизится ли температура в комнате, если открыть дверцу работающего холодильника?

В вертикальном цилиндре под поршнем, площадь поперечного сечения которого S = 20 см2, находится столб газа высотой h = 60 см при температуре t = 27 °С. Поршень может перемещаться без трения. Масса поршня т = 10 кг. Цилиндр нагрели на AT = 50 К. Определите работу А', совершенную газом. Атмосферное давление р

= 105Па.

Каковы первоначальная температура и объем гелия, цдхо- дящегося под поршнем в цилиндре, если при охлаждении газа до t = -23 °С поршень с лежащим на нем грузом общей массой т: = 16 кг совершает работу А = 400 Дж? Площадь поршня S = 200 см2, атмосферное давление р0 нормальное, масса гелия т1 = 5 г.

При изобарном расширении некоторого количества идеального газа он совершает работу А = 4000 Дж.

В калориметр теплоемкостью С = 63 Дж/К было налито масло массой mx = 250 г при температуре = 12 °С. После опускания в масло медного тела массой т2 = 500 г при температуре t2 — 100 °С установилась температура t = 33 °С. Какова удельная теплоемкость сх масла по данным опыта? Удельная теплоемкость меди с2 = 380 ДжДкг • К).

Стальной осколок снаряда, падая с высоты h = 500 м, имел у поверхности Земли скорость v — 50 м/с. На сколько градусов увеличится температура осколка при падении? Считать, что механическая энергия, потерянная осколком, полностью превратилась во внутреннюю энергию. Удельная теплоемкость стали с = 460 Дж/(кг • К).

На тележку массой М, двигающуюся горизонтально с постоянной скоростью у0, опускают сверху кирпич массой т. Определите, какое количество теплоты при этом выделится.

Свинцовая дробинка, летящая со скоростью v = 100 м/с, попала в доску и застряла в ней. На сколько градусов по-высилась температура дробинки, если 50% механической энергии дробинки превратилось во внутреннюю энергию? -=- =— — 9. Рис. 5.22

Предложен следующий проект вечного двигателя (рис. 5.22). Закрытый сосуд разделен на две половины герметичной перегородкой, сквозь которую пропущены трубка и водяная турбина в кожухе с двумя отверстиями. Давление воздуха в нижней части больше, чем в верхней. Вода поднимается по трубке и наполняет открытую камеру. В нижней части очередная порция воды выливается из камеры турбины, подошедшей к отверстию кожуха. Почему машина не будет работать вечно?

В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой т = 2 кг. Для повышения температуры кислорода на AT = 5 К ему сообщили количество теплоты Qj = 9160 Дж. Найдите работу, совершенную кислородом при расширении, и увеличение его внутренней энергии.

В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот массой т = 0,2 кг при температуре t1 = 20 °С. Азот, расширяясь, совершает работу А' = 4470 Дж. Найдите из-менение внутренней энергии азота и его температуру после расширения. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме cv = 745 Дж/(кг • К).

Давление азота, находящегося в сосуде объемом V = 3 л, после нагревания возросло на Ар = 2,2 МПа. Определите количество теплоты, сообщенное газу, а также работу, совершенную газом, и изменение его внутренней энергии.

В сосуде находится одноатомный газ при температуре t = = 17 °С и давлении р = 100 кПа. Объем сосуда V = 3 л. Газ изохорно нагревают на At = 100 °С. Определите изменение внутренней энергии газа. Какое количество теплоты было передано газу в этом процессе?

Идеальный газ переводят изотермически из состояния 1 в состояние 2 (V2 < Fj), затем его переводят изобарно в состояние 3 и возвращают изохорно в состояние 1. Положительную или отрицательную работу совершает газ в каждом из процессов и целиком за цикл? Происходит ли теп-лообмен между газом и окружающей средой? Начертите график зависимости р от V.

Газ, занимающий объем V1 = 1 л при давлении р = 105Па, расширился изотермически до объема V2 = 2 л. Затем при этом объеме давление газа было уменьшено в 2 раза. В дальнейшем газ расширялся при постоянном давлении до объема V3 = 4 л. Начертите график зависимости р от V и, используя его, установите, при каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу.

Некоторое количество газа занимает объем V1 = 10 л и находится под давлением = 100 кПа при температуре Tl ~ = 300 К. Затем газ был нагрет без изменения объема до температуры Т2 = 320 К, а после этого нагрет при постоянном давлении до температуры Т3 = 350 К (рис. 5.23). Найдите работу А, которую совершил газ, переходя из перво-начального состояния 1 в состояние 3.

Холодильник, потребляющий мощность W за время т, охладил до 0 °С воду массой тп при температуре t. Какое количество теплоты выделил холодильник в комнате за это Pt Р2

¦ &

2

время при условии, что теплоемкостью холодильника можно пренебречь?

Pi

21. В идеальной тепловой машине газ отдал холодильнику 67% теплоты, полученной от нагре-вателя. Определите температуру Т2 холодильника, если темпе- О

= V

1 У 2

Vs V

ратура нагревателя Тг = 430 К.

Рис. 5.23

Какую максимальную работу может совершить идеальный тепловой двигатель, если он в каждом цикле получает количество теплоты Qj = 103 Дж от нагревателя с температурой Тх = 1000 К? Температура окружающей среды (холодильника) Т2 = 293 К.

Чтобы принять ванну, необходимо нагреть воду объемом V = 200 л от температуры = 7 °С до температуры t2 = = 47 °С. Если такое количество теплоты сообщить идеальной тепловой машине, работающей при температуре нагревателя t2 и температуре холодильника tx, то с помощью

этой машины можно поднять груз массой m = 4,2* 104кг на высоту Н = 10 м. Определите по этим данным удельную теплоемкость воды. Плотность воды р = 103 кг/м3. Ускорение свободного падения g ~ 10 м/с2.