Глава 4Методы интегральных преобразований

Ключевые слова: интегральное преобразование, преобразование Фурье, преобразование Лапласа, преобразование Меллина, преобразование Ханкеля, преобразование Мейера, преобразование Конторовича-Ле- бедева, преобразование Мелера-Фока, преобразование Гильберта, преобразование Лагерра, преобразование Лежандра, преобразование свертки, преобразование Бохнера, цепные преобразования, «всплесковые» преобразования, Z-преобразование, производящая функция, задачи теории колебаний, задачи теплопроводности, задача теории замедления нейтронов, задачи гидродинамики, задачи теории упругости, задача Буссинеска, уравнение коагуляции, физическая кинетика.

Основные понятия и обозначения

Интегральное преобразование— функциональное преобразование вида F(x) — J K(x,t)f(t)dt, где f(t) — оригинал, F(x) — образ (преобразование), Г — область комплексного евклидова пространства.

Преобразование Фурье — интегральное преобразование при К(х, t) = = е-*, Г = R".

Синус-преобразование Фурье — интегральное преобразование, в котором K(x,t) = sin (л?), Г= R+.

Косинус-преобразование Фурье — интегральное преобразование при К(х, t) =cos (xt), r=R'+.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование при К(х, t) =

= «Г", r=RV

Дискретное преобразование Лапласа последовательности f(n), 0 < < п < — функция комплексной переменной F(x) = X f(n)e~ILi\ периодическая с периодом 2л.

Производящая функция последовательности {/('0}Т=о — функция = если положить z = е~х, то получаем дискретное пре

образование Лапласа.

Z-преобразование последовательности {/(«)},Т=о ~~ функция F(z) = = Хн=0z~"f(n)\ если положить z = ек, то получаем дискретное преобразование Лапласа.

Преобразование Меллина — интегральное преобразование при К(х, /) =

= r=Ri,.

ПреобразованиеХанкеля — интегральное преобразование при К(х, t) — - Jv(xt)t, Jv — функция Бесселя, Г= R~

Преобразование Мейера — интегральное преобразование при К(х, /) = = Kv(xt)(xt)]/2, Kv — функция Макдональда, Г= R~

Преобразование Конторовича-Лебедева — интегральное преобразование при K(x,t) — \j2x?,h(Tix)Ko:(t)/\ftу Kv — функция Макдональда, Г = = R~

Преобразование Мелера-Фока — интегральное преобразование при K(x,t) = Ру(х) — сферическая функция Лежандра

первого рода, Г = R~

Преобразование Гильберта — интегральное преобразование при K(x,t) = (t-x)~l или ff(x,f) = ctg((f-x)/2), Г = R1

Преобразование Лагерра — интегральное преобразование при К(п, t) = e~'L„(t), L„ — полином Лагерра, Г = R^

Преобразование Лежандра — интегральное преобразование при К(п, t) = P„(t), Р„ — полином Лежандра, Г = [-1,1]

Преобразование Бохнера — интегральное преобразование при K(r, t) — = 2nrI-"/2y)l/2_1(27trt)r''/2, T=RV

Преобразование свертки — интегральное преобразование при К(х, t) = = G(x-t), Г= R1

Всплесковое преобразование — интегральное преобразование при К{а, b,,t) = -Ь)/а), Г = R", где у — «всплеск», т е функция с нулевым средним, достаточно быстро убывающая на бесконечности